Nel contesto della turbolenza superfluida, l'anisotropia è una caratteristica fondamentale che dipende dalla geometria e dalle dinamiche del groviglio vorticoso. Quando un fluido superfluido è sottoposto sia a controcorrente che a rotazione, si crea una situazione intermedia tra due estremi: un groviglio isotropico, tipico della controcorrente pura, e una disposizione totalmente anisotropa di vortici paralleli all'asse di rotazione. In questa situazione, la geometria del groviglio vorticoso si altera e si sviluppano fenomeni interessanti di polarizzazione, che influenzano notevolmente le proprietà di trasporto, come la conduzione del calore.

Per comprendere meglio questi effetti, si considera la descrizione matematica della geometria del groviglio, che è essenziale per determinare l'anisotropia del flusso di vorticità. Il prodotto diadiatico ⟨s′s′⟩\langle s's' \rangle descrive la distribuzione statistica delle direzioni delle linee di vortice e il suo comportamento, che può essere proiettato lungo una direzione scelta, ad esempio l'asse xx. La polarizzazione lungo una direzione si definisce come la proiezione media di s′s' lungo quella direzione, ed è rappresentata da ⟨px⟩=⟨sx′⟩\langle p_x \rangle = \langle s'_x \rangle, dove il modulo della polarizzazione ∣p∣|p| varia tra 0 e 1. Questo parametro misura l'anisotropia direzionale delle linee di vortice: ∣p∣=1|p| = 1 indica un sistema di vortici paralleli, mentre ∣p∣=0|p| = 0 indica un groviglio isotropico.

L'anisotropia del groviglio può essere ulteriormente descritta utilizzando il tensore ⟨U−s′s′⟩\langle U - s's' \rangle e il tensore di Ricci ⟨W⋅s′⟩\langle W \cdot s' \rangle, che permettono di caratterizzare in modo dettagliato la geometria del groviglio vorticoso. Questi tensori sono particolarmente utili quando la simmetria assiale non è presente, come nei casi in cui il flusso di controcorrente e la rotazione coesistono, o nei sistemi con rapporto di aspetto elevato, come accade in alcune stelle di neutroni. In tali situazioni, ⟨U−s′s′⟩\langle U - s's' \rangle fornisce una descrizione unificata di vari aspetti della geometria globale del groviglio vorticoso.

Inoltre, per caratterizzare l'anisotropia del groviglio in modo alternativo, si utilizzano le quantità scalari I∥I_{\parallel} e I⊥I_{\perp}, che sono strettamente correlate al tensore ⟨U−s′s′⟩\langle U - s's' \rangle. Queste quantità misurano l'intensità dell'anisotropia nelle direzioni parallele e perpendicolari rispetto al flusso di controcorrente. La loro applicazione permette di descrivere il comportamento del groviglio anche in assenza di simmetria assiale, come ad esempio in sistemi con rotazione e controcorrente simultanei.

Nel caso della turbolenza superfluida sotto l'influenza combinata di controcorrente e rotazione, la geometria del groviglio vorticoso si modifica significativamente. La rotazione tende ad allineare le linee di vortice lungo l'asse di rotazione, mentre la controcorrente provoca una distorsione che porta a un certo grado di polarizzazione tra 0 e 1. Il tensore di anisotropia Γ\Gamma che descrive questa situazione è dato dalla somma di due componenti: Γs\Gamma_s, legato alla distribuzione isotropica delle linee di vortice, e Γa\Gamma_a, legato alla simmetria e all'orientamento delle linee di vortice rispetto al flusso.

In particolare, la rotazione pura crea una disposizione dei vortici paralleli all'asse di rotazione, mentre la controcorrente tende a produrre un groviglio isotropico, ma con alcune deviazioni dalle linee rette, che possono essere descritte dal tensore ΓR\Gamma_R. In questo scenario, il parametro di anisotropia aa gioca un ruolo cruciale nell'indicare quanto il sistema devii dall'isotropia, ed è legato alle osservazioni sperimentali di attenuazione della seconda suono in funzione della direzione del flusso di controcorrente.

La descrizione matematica della turbolenza superfluida sotto l'influenza simultanea di controcorrente e rotazione è utile anche per comprendere il comportamento della resistenza termica del groviglio. Ad esempio, la resistenza termica tra le linee di vortice e il flusso di calore può essere modellata considerando l'orientamento delle linee di vortice rispetto alla direzione del flusso. Se le linee di vortice sono ortogonali al flusso, la resistenza termica sarà massima, mentre se sono parallele, la resistenza sarà nulla. Questo effetto è descritto in modo quantitativo dalla relazione tra il parametro di anisotropia aa e l'intensità del flusso termico.

Le osservazioni sperimentali hanno dimostrato che la dipendenza della resistenza termica dal flusso Q˙\dot{Q} segue una legge di potenza, con un esponente che può deviare dal comportamento standard previsto dalla legge di Gorter–Mellink. In particolare, l'esponente sperimentale 3.43.4 osservato da Sato è un esempio di come l'anisotropia del groviglio vorticoso possa influenzare significativamente la dinamica termica in sistemi turbolenti.

Come il Modello Idrodinamico della Turbolenza Superfluida Contribuisce al Comportamento dei Vortici

Nel contesto della turbolenza superfluida, il modello idrodinamico rappresenta un quadro fondamentale per comprendere le dinamiche complesse che emergono in presenza di flussi convettivi e interazioni tra componenti normali e superflui. Partendo dalle equazioni fondamentali che governano il comportamento del fluido, è possibile analizzare come l'interazione tra vortici e velocità fluida influenzi i parametri termici e meccanici del sistema.

Consideriamo innanzitutto le equazioni che descrivono il comportamento del flusso nel modello idrodinamico della turbolenza superfluida. Le equazioni per la velocità normale u(n)u(n) e superfluida u(s)u(s) possono essere scritte come segue:

∂u(n)∂t+(v⋅∇)u(n)=−1ρ∇p−ρS∇ηT+∇2u(n)+Fns\frac{\partial u(n)}{\partial t} + (v \cdot \nabla) u(n) = -\frac{1}{\rho} \nabla p - \rho S \nabla \eta T + \nabla^2 u(n) + F_{ns}
∂u(s)∂t+(v⋅∇)u(s)=−1ρ∇p+S∇ηT−Fns+T\frac{\partial u(s)}{\partial t} + (v \cdot \nabla) u(s) = -\frac{1}{\rho} \nabla p + S \nabla \eta T - F_{ns} + T

Queste equazioni, pur nella loro complessità, offrono una descrizione quantitativa dell'interazione tra il flusso convettivo e i vortici presenti nel sistema. La termodinamica del fluido e la sua risposta alle perturbazioni esterne sono determinanti per prevedere la formazione e l'evoluzione dei vortici, con impatti diretti sul comportamento termico e sulla dissipazione di energia nel sistema.

Un aspetto centrale di tale analisi è il termine di attrito FnsF_{ns} e la tensione del vortice TT, che possono essere espressi in termini di parametri fisici fondamentali come LL, II, JJ, e β\beta, che rappresentano rispettivamente la densità di linee di vortice, la curva di energia per unità di lunghezza e altri coefficienti di attrito che giocano un ruolo cruciale nelle interazioni tra i componenti normali e superflui. Le relazioni generali per questi termini sono:

Fns=αρsκL−β⋅uns+β~c1L1/2+αIJF_{ns} = \alpha \rho_s \kappa L - \beta \cdot u_{ns} + \tilde{\beta} c_1 L^{1/2} + \alpha I J
ρsT=εVL<s′′>=εVc1(p)L3/J\rho_s T = \varepsilon_V L < s'' > = \varepsilon_V c_1(p)L^3/J

Anche se queste espressioni sono più generali rispetto ad altre formulazioni semplificate, come quella di Fns=ρsκLunsF_{ns} = \rho_s \kappa L u_{ns}, esse permettono una comprensione più profonda dei fenomeni in gioco, riuscendo a descrivere in modo dettagliato gli effetti della tangle dei vortici sulle velocità normali e superfluide.

Un altro aspetto cruciale da considerare è il confronto con le equazioni di Hall-Vinen-Bekarevich-Khalatnikov (HVBK), che sono un modello fondamentale nella teoria della turbolenza superfluida. Le equazioni HVBK descrivono come l'orientamento e la densità dei vortici influenzano le velocità normali vnv_n e superfluide vsv_s in un sistema di fluido bipartito. Queste equazioni, pur essendo utili, richiedono una certa cautela nella loro applicazione, poiché la formulazione incompleta delle pressioni effettive e dei termini convettivi, che sono riferiti separatamente a vnv_n e vsv_s, non sempre si adatta al contesto più generale trattato nelle equazioni precedenti.

Nel contesto della turbolenza superfluida, è importante anche considerare l'evoluzione della densità delle linee di vortice in flussi convettivi. La relazione tra la vorticità ∇×v\nabla \times v e la formazione di vortici quantistici è determinante per descrivere il comportamento complesso dei flussi superflui. L'equazione dell'evoluzione della densità di linee di vortice, che prende in considerazione l'effetto del flusso convettivo sulla formazione e la dinamica dei vortici, può essere scritta come:

dLdt=−∣∇×v∣2+βκL2+α0Vns+α2κL3/2−v∣∇×v∣\frac{dL}{dt} = - \sqrt{ \left| \nabla \times v \right|^2 + \beta \kappa L^2 + \alpha_0 V_{ns} + \alpha_2 \kappa L^{3/2} - v | \nabla \times v |}

Questa equazione descrive come la vorticità generata dal flusso contribuisca alla densità di linee di vortice, introducendo nuove forme di dinamiche turbolente quando si considerano flussi come il flusso Couette e Poiseuille.

Nel flusso Couette, che consiste nel movimento di un fluido tra due cilindri rotanti, l’apparizione dei vortici avviene quando una velocità angolare critica è raggiunta. Questo flusso è un esempio di come la velocità di rotazione del fluido, insieme alla geometria del sistema, possa determinare la formazione di vortici. Allo stesso modo, nel flusso Poiseuille, che si verifica tra due pareti parallele in movimento, la vorticità dipende dalla velocità del fluido e dalle condizioni al contorno. In entrambi i casi, la densità di linee di vortice è direttamente influenzata dalle caratteristiche del flusso e dai parametri geometrici, come il raggio e la velocità di rotazione.

In generale, comprendere la relazione tra i flussi convettivi e la formazione dei vortici è essenziale non solo per descrivere la turbolenza superfluida, ma anche per prevedere l’effetto che questi vortici hanno su proprietà termiche come la resistenza termica e l'attenuazione del secondo suono. La combinazione delle equazioni per la densità di linee di vortice, la vorticità e la velocità, assieme alla termodinamica del sistema, fornisce una visione completa dei fenomeni in gioco.

In definitiva, il modello idrodinamico della turbolenza superfluida con contributi convettivi è essenziale per la comprensione dei sistemi superflui e per lo sviluppo di teorie più raffinate che possano essere confrontate con esperimenti e analisi microscopiche. Approfondire la comprensione della dinamica dei vortici, della loro interazione con il flusso e degli effetti sulla trasmissione del calore è cruciale per applicazioni future in fisica dei fluidi e in tecnologie che sfruttano la superfluidità.

Come la Turbolenza Superfluida si Confronta con la Turbolenza Classica: Cascade di Energia e Comportamenti Quantistici

Nel contesto della teoria della turbolenza superfluida, uno degli aspetti centrali è la cascata di energia, che descrive come l'energia venga trasferita dalle lunghezze d'onda maggiori verso quelle minori attraverso i vari strati della turbolenza. Nella turbolenza classica, questo processo segue uno spettro ben noto, descritto dalla legge di Kolmogorov, che prevede una distribuzione di energia tra i vari modi di fluttuazione, in funzione del vettore d'onda kk. Questo fenomeno, tuttavia, cambia radicalmente nel caso dei fluidi superfluidi, dove l'interazione tra le componenti normali e superfluide aggiunge una complessità maggiore.

In un fluido turbolento, l'equazione che descrive l'evoluzione della velocità media vv nel caso di un fluido unico può essere scritta come un'equazione di Navier-Stokes modificata, includendo anche un termine di dissipazione dovuto al flusso di calore. La turbolenza in questi sistemi segue una legge di conservazione dell'energia, che nel dominio spettrale è espressa come:

∂∂tE(k,t)+ϵ(k,t)=0\frac{\partial}{\partial t} E(k,t) + \epsilon(k,t) = 0

dove E(k,t)E(k,t) rappresenta l'energia cinetica turbolenta in una modalità con un dato vettore d'onda kk, e ϵ(k,t)\epsilon(k,t) è il flusso di energia tra le modalità. Nel regime idrodinamico, si assume che la dissipazione viscosa non avvenga in un ampio intervallo di valori di kk (chiamato "intervallo inerziale"), dove l'effetto principale è la rottura dei vortici. La legge di Kolmogorov, che governa questo comportamento, stabilisce che l'energia si distribuisce secondo la seguente legge:

E(k)=CK41ϵ2/3k−5/3E(k) = C K_{41} \epsilon^{2/3} k^{ -5/3}

dove ϵ\epsilon è il tasso di dissipazione dell'energia. Questo risultato è valido per la turbolenza "intermittente", che differisce dalla turbolenza classica per l'irregolarità del trasferimento di energia a scale più piccole. In questo caso, la cascata di energia assume una forma modificata, come nel caso:

E(k)∼ϵ2/3k−5/3(kL0)βE(k) \sim \epsilon^{2/3} k^{ -5/3} (k L_0)^\beta

dove L0L_0 è la dimensione caratteristica del processo di agitazione che fornisce energia al sistema, e β\beta è legato alla dimensione frattale della turbolenza intermittente. Ciò significa che l'agitazione ha un impatto lungo tutta la cascata, invece di essere "dimenticata" nelle scale intermedie del regime inerziale, come accade nella turbolenza classica.

Nel caso della turbolenza superfluida, la cascata di energia si comporta in modo diverso, specialmente quando si considera il trasferimento di energia dalle grandi vortici a quelli più piccoli. Quando l'energia viene somministrata a un fluido superfluido, il comportamento cambia rispetto a quello di un fluido classico. In superfluido elio, per esempio, se l'energia è somministrata nello stesso modo di un fluido classico (utilizzando un uncino o una griglia, ad esempio), il comportamento segue ancora lo spettro di Kolmogorov nel regime idrodinamico. Tuttavia, quando si entra nel regime quantistico, si osserva un comportamento diverso: la distribuzione dell'energia segue una legge k−1k^{ -1} invece di k−5/3k^{ -5/3}, come accade nei fluidi classici.

Inoltre, nell'intervallo intermedio di k≪1k \ll 1, si osserva una regione di transizione relativamente stretta che mostra un comportamento di equipartizione (k2k^2). In queste regioni, un'interpolazione tra i regimi k−5/3k^{ -5/3} e k−1k^{ -1} è proposta dalla formula:

E(k)=A⋅k−1+AK41⋅k−5/3tanh⁡[A(k0−k)]E(k) = A \cdot k^{ -1} + A K_{41} \cdot k^{ -5/3} \tanh \left[ A(k_0 - k) \right]

dove i parametri AA e K41K_{41} sono costanti numeriche, e la funzione tanh⁡\tanh descrive la transizione tra i due regimi di comportamento. La forma di questa interpolazione è essenziale per descrivere accuratamente il comportamento osservato in esperimenti di turbolenza superfluida.

Le situazioni di flusso controcorrente e superfluo sono analoghe in quanto entrambe dipendono dalla velocità relativa tra le due componenti del fluido, ma si differenziano nel tipo di fluttuazioni. Nel flusso controcorrente, la velocità relativa tra le componenti è nulla, mentre nel flusso superfluido la velocità è costante. In quest'ultimo caso, la variabile principale che fluttua è la vorticità, e si osserva un comportamento del tipo k−3k^{ -3} nel regime idrodinamico e k−1k^{ -1} nel regime quantistico.

L'analisi dimensionale permette di derivare alcune caratteristiche importanti della turbolenza superfluida, ma non è sufficiente per ottenere risultati definitivi sui valori esatti degli esponenti nella cascata di energia. In ogni caso, l'interpretazione fisica di questi comportamenti è cruciale: la turbolenza quantistica e quella classica sono legate da una cascata di energia che si differenzia per la natura delle fluttuazioni, con la turbolenza superfluida che mostra comportamenti più complessi e irregolari.

Le Equazioni di Evoluzione del Modello e la Dinamica dei Fluidi Superfluidi

Nel descrivere l'evoluzione di un sistema fisico, è fondamentale fornire un insieme di equazioni dinamiche che descrivano le variabili in gioco. Queste equazioni devono essere consistenti con la seconda legge della termodinamica e confrontate successivamente con i dati sperimentali per verificarne la validità. In questo contesto, viene presentata una breve introduzione alle caratteristiche fisiche essenziali del modello a due fluidi, senza considerare gli effetti dissipativi che saranno introdotti nella sezione successiva.

Le equazioni di evoluzione di Landau descrivono il comportamento dell'Elio II ai limiti di temperatura zero, dove sono assenti i fenomeni dissipativi. Per il sistema di Elio II, le variabili fondamentali sono la densità ρ\rho, la velocità v\mathbf{v}, e la velocità del fluido superfluido vs\mathbf{v}_s, e devono essere trattate attraverso le equazioni di continuità e di bilancio del momento. L'equazione di continuità per la densità e il flusso di massa è data da:

∂ρ∂t+∇⋅(ρv)=0.\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0.

Questa equazione esprime la conservazione della massa, mentre l'equazione del bilancio del momento è:

∂(ρv)∂t+∇⋅(ρvv+pU)=0.\frac{\partial (\rho \mathbf{v})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v} \mathbf{v} + p \mathbf{U}) = 0.

In quest'ultima, pp rappresenta la pressione termodinamica e U\mathbf{U} è il tensore identità. Per descrivere correttamente l'evoluzione della velocità del fluido superfluido vs\mathbf{v}_s, è necessaria un'ulteriore equazione che garantisca la condizione ∇×vs=0\nabla \times \mathbf{v}_s = 0, affermando che la velocità del fluido superfluido è un gradiente di qualche funzione scalare. In Landau, questa è espressa come:

∂vs∂t+∇⋅(1ρsvs2)+μ=0,\frac{\partial \mathbf{v}_s}{\partial t} + \nabla \cdot \left( \frac{1}{\rho_s} \mathbf{v}_s^2 \right) + \mu = 0,

dove μ\mu è lo potenziale chimico, che può essere identificato attraverso la relazione:

∇μ=1ρ∇p−s∇T.\nabla \mu = \frac{1}{\rho} \nabla p - s \nabla T.

Di conseguenza, l'equazione per vs\mathbf{v}_s assume la forma:

∂vs∂t+∇⋅(ρsρvs)=−∇pρs+ρsρs∇T.\frac{\partial \mathbf{v}_s}{\partial t} + \nabla \cdot \left( \frac{\rho_s}{\rho} \mathbf{v}_s \right) = - \frac{\nabla p}{\rho_s} + \frac{\rho_s}{\rho} s \nabla T.

Questa equazione ha la struttura di quella di Eulero per i fluidi perfetti, ma con l'aggiunta del termine relativo alla temperatura.

Per quanto riguarda le quantità termodinamiche, sono necessarie anche equazioni evolutive per l'entropia e l'energia. L'energia interna specifica per unità di massa, ee, e l'entropia specifica ss devono evolversi secondo principi di conservazione. La condizione che l'entropia si conservi nell'assenza di effetti dissipativi ha portato Landau a scrivere per la densità di entropia ss:

∂(ρs)∂t+∇⋅(ρsvn)=0.\frac{\partial (\rho s)}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho s \mathbf{v}_n) = 0.

In queste equazioni, la densità ρ\rho, il potenziale chimico μ\mu, e l'entropia ss sono funzioni delle variabili termodinamiche tradizionali, come la pressione pp e la temperatura TT, ma anche della velocità relativa tra i componenti normali e superfluidi, Vns\mathbf{V}_{ns}, che è essenziale per il comportamento del sistema.

L'energia interna specifica, ϵ0\epsilon_0, è legata alle altre grandezze come segue:

d(ρϵ0)=μdρ+Td(ρs)+Vns⋅dj0.d(\rho \epsilon_0) = \mu d\rho + T d(\rho s) + \mathbf{V}_{ns} \cdot d\mathbf{j}_0.

Questa relazione implica per la pressione la forma:

p=−ρϵ0+ρsT+ρμ+ρnVns2.p = - \rho \epsilon_0 + \rho s T + \rho \mu + \rho_n V_{ns}^2.

Inoltre, l'energia del sistema si conserva attraverso l'equazione:

∂ρϵ∂t+∇⋅Q=p∇⋅v,\frac{\partial \rho \epsilon}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{Q} = p \nabla \cdot \mathbf{v},

dove Q\mathbf{Q} è il flusso di energia e può essere scritto come:

Q=(ρϵ+p)v+ρsTvn+ρn(Vns⋅vn)vn−Vns2v.\mathbf{Q} = (\rho \epsilon + p) \mathbf{v} + \rho_s T \mathbf{v}_n + \rho_n (\mathbf{V}_{ns} \cdot \mathbf{v}_n) \mathbf{v}_n - V_{ns}^2 \mathbf{v}.

La presenza dei termini di dissipazione, descritti dal flusso termico convettivo e conduttivo, è essenziale per rappresentare accuratamente il comportamento termodinamico del sistema.

Nel contesto della teoria razionale dei fluidi misti, il modello a due fluidi può essere generalizzato per includere effetti dissipativi e per ammettere una piccola quantità di entropia trasportata dal componente superfluido. In effetti, sperimentalmente si è osservato che l'entropia trasportata dal fluido superfluido è inferiore al 2% rispetto a quella trasportata dal fluido normale. La modellizzazione dei processi dissipativi, come vischiosità e conduttività termica, è un aspetto cruciale per comprendere completamente la dinamica del sistema.

Le equazioni che descrivono il bilancio di massa, momento ed energia per ciascun componente (normale e superfluido) sono quindi fornite dai seguenti sistemi:

∂ρα∂t+∇⋅(ραvα)=τα,\frac{\partial \rho_\alpha}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho_\alpha \mathbf{v}_\alpha) = \tau_\alpha,
∂ραvα∂t+∇⋅(ραvαvα+Pα)=mα,\frac{\partial \rho_\alpha \mathbf{v}_\alpha}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho_\alpha \mathbf{v}_\alpha \mathbf{v}_\alpha + P_\alpha) = m_\alpha,
∂ρϵ∂t+∇⋅(ρϵv+q)=P:∇v.\frac{\partial \rho \epsilon}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \epsilon \mathbf{v} + \mathbf{q}) = P : \nabla \mathbf{v}.

In queste equazioni, τα\tau_\alpha e mαm_\alpha sono rispettivamente la produzione di massa e momento dei due componenti. La formulazione di stress parziali per ciascun componente e la decomposizione dello stress totale della miscela in termini di pressione, viscosità e contributi relativistici completano la descrizione del sistema.

L'accurata comprensione di queste equazioni è fondamentale per prevedere la dinamica del fluido in condizioni di temperature estremamente basse, dove fenomeni come il flusso controcorrente e la conservazione dell'entropia assumono un ruolo centrale. Solo attraverso l'analisi combinata di queste leggi fisiche è possibile ottenere una comprensione completa dei processi che avvengono in sistemi superfluidi come l'Elio II.

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