Come il Metodo di Sensibilità e l’Inferenza Bayesiana Migliorano l’Aggiornamento dei Modelli FEM con Dati Sperimentali Multivariati

L’aggiornamento di modelli basati su elementi finiti (FEM) è una pratica cruciale per avvicinare la rappresentazione numerica di strutture complesse alla realtà sperimentale, specialmente quando si considerano le incertezze intrinseche sia nelle misurazioni che nelle caratteristiche geometriche e materiali. Nel contesto di un banco di prova costituito da trenta modelli di aerei prodotti con variazioni controllate sulle dimensioni geometriche—precisamente l’apertura alare (a) e la corda dell’estremità alare (b)—viene illustrata una metodologia rigorosa per calibrare un modello FEM, incorporando queste incertezze in modo stocastico.

I modelli sperimentali subiscono test di vibrazione in condizioni di sospensione libera, con eccitazione non a contatto tramite altoparlante e misurazioni effettuate mediante vibrometro laser, al fine di ridurre al minimo l’influenza di errori dovuti all’installazione. Le frequenze naturali osservate contengono così un doppio livello di incertezza: da un lato quella sperimentale legata a rumore ambientale, errori di osservazione e tolleranza dei sensori; dall’altro quella “sintetica” generata dalla variazione probabilistica delle dimensioni geometriche a e b.

Il modello FEM iniziale utilizza elementi esadecagonali tridimensionali e focalizza l’attenzione su sette parametri da calibrare, inclusi i parametri geometrici a e b e i moduli di Young (E1, E2) associati ai giunti tra fusoliera, ali e impennaggi, riconosciuti come fonti di errore di modellazione dovuti alla semplificazione delle connessioni bullonate. La calibrazione di questi parametri viene effettuata tramite un processo stocastico di aggiornamento che mira a riprodurre la distribuzione statistica delle frequenze naturali osservate.

Per quantificare la discrepanza tra dati simulati e misurati, la funzione di verosimiglianza non si limita a confrontare singoli valori, ma adotta la distanza di Bhattacharyya, una misura statistica capace di valutare la differenza tra due distribuzioni di probabilità. Questa distanza può essere calcolata sia per singole frequenze naturali sia per la distribuzione congiunta multidimensionale delle prime cinque frequenze, permettendo un confronto più sofisticato che tiene conto dell’intera forma delle distribuzioni.

L’algoritmo TMCMC (Transitional Markov Chain Monte Carlo) viene utilizzato per aggiornare le distribuzioni posteriori dei parametri incerti, guidato dalla funzione di verosimiglianza definita in termini della distanza di Bhattacharyya. La prima versione, che considera una media uniforme delle distanze per tutte le cinque frequenze, migliora significativamente la corrispondenza per le prime quattro frequenze ma mostra limiti evidenti nella calibrazione della quinta.

Una modifica chiave consiste nel pesare maggiormente la quinta frequenza nella funzione di verosimiglianza, raddoppiando il suo contributo nel calcolo della distanza media. Questa modifica produce un miglioramento marcato nella corrispondenza della distribuzione della quinta frequenza, evidenziando la sensibilità e l’importanza della scelta delle ponderazioni nella definizione della funzione di verosimiglianza. Tuttavia, questo miglioramento comporta un compromesso: la qualità della corrispondenza per le altre quattro frequenze diminuisce leggermente. Questo risultato esplicita la natura intrinseca del problema di aggiornamento modelli, in cui l’ottimizzazione su un sottoinsieme di dati può degradare l’accuratezza su altri, soprattutto in presenza di modelli FEM non perfetti.

L’esempio illustra quindi come l’approccio bayesiano, combinato con misure di distanza probabilistica come quella di Bhattacharyya, consenta di integrare efficacemente molteplici fonti di incertezza e di guidare l’aggiornamento stocastico di modelli complessi. La scelta della funzione di verosimiglianza e dei pesi associati ai diversi dati osservati è un elemento cruciale che deve essere adattato alle priorità applicative e alle caratteristiche specifiche del problema.

Oltre alle considerazioni già esposte, è essenziale per il lettore comprendere che l’accuratezza finale di un modello aggiornato non dipende unicamente dalla quantità e qualità dei dati sperimentali, ma anche dalla capacità del modello numerico di rappresentare realisticamente i fenomeni fisici. In presenza di semplificazioni o ipotesi non realistiche (come le approssimazioni nei giunti strutturali), anche un metodo di aggiornamento sofisticato non potrà garantire una perfetta corrispondenza con i dati osservati. L’approccio bayesiano fornisce allora un quadro per quantificare e gestire queste incertezze residue, enfatizzando il ruolo di una modellazione critica e consapevole nella fase di progettazione e calibrazione. Inoltre, l’interazione tra vari parametri incerti spesso richiede un’analisi di sensibilità preliminare per identificare quali influenzano maggiormente le risposte modellate, così da ottimizzare gli sforzi di calibrazione su quei parametri che effettivamente condizionano le prestazioni del modello.

Qual è il ruolo dei polinomi interi e dei loro zeri nelle equazioni differenziali e nei problemi di vibrazione?

L'analisi delle disuguaglianze e delle funzioni intere fornisce una base solida per comprendere vari fenomeni in ambito matematico e fisico, in particolare nei problemi di vibrazione diretta e inversa. Consideriamo l'ineguaglianza che descrive il comportamento del logaritmo naturale di una funzione, e come questa si relazioni a sequenze di numeri complessi. L'espansione della funzione logaritmica, quando sviluppata in una serie di potenze, mostra una relazione fondamentale tra le variabili di interesse.

L’ineguaglianza che si ottiene,

| \ln E(u; p) | \leq 2 |u|^{p+1},

è una delle chiavi per il calcolo preciso delle approssimazioni in problemi non lineari. Utilizzando la serie di potenze della funzione logaritmica, si deduce che l'ordine di crescita del logaritmo è controllato dalla variabile $u$ . Se si considera l'intervallo di validità in cui $|u| < 1$ , si ottiene un controllo sul comportamento asintotico della funzione stessa, permettendo così una predizione accurata delle soluzioni.

Passando a un contesto più generale, si considera la sequenza di numeri complessi $\{ z_n \}$ che soddisfa determinate condizioni di crescita, tra cui $z_1 = 0$ , $|z_k| \leq |z_{k+1}|$ , e $\lim_{n \to \infty} z_n = \infty$ . La presenza di una funzione intera, come $f(z)$ , che annulla per tutti i valori di $z_k$ , offre un interessante caso di studio per applicazioni nei problemi di vibrazione, dove la convergenza di una serie infinita di zeri rappresenta un aspetto cruciale per la stabilità delle soluzioni.

Il teorema che segue fornisce un’importante generalizzazione: esiste una funzione intera che annulla in ogni punto della sequenza, e questa funzione può essere scritta come prodotto infinito di fattori del tipo:

f(z) = \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{z}{z_n}\right).

Questo risultato è particolarmente utile per l’approfondimento delle caratteristiche asintotiche delle soluzioni in problemi di vibrazione, dove la funzione intera gioca un ruolo importante nel modellare il comportamento delle frequenze e delle lunghezze d'onda.

In aggiunta, si può definire un esponente di convergenza per una sequenza di zeri, $\{a_n\}$ , che segue la condizione di convergenza della serie:

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{|a_n|^\lambda},

dove l'esponente di convergenza, denotato come $\tau$ , gioca un ruolo determinante nel determinare la natura della funzione. In particolare, l'esponente di convergenza si relaziona direttamente all'ordine della funzione intera, e può essere utilizzato per caratterizzare la distribuzione dei suoi zeri, il che è fondamentale per comprendere le soluzioni di equazioni differenziali che modellano fenomeni fisici complessi come la vibrazione in sistemi continui.

La teorizzazione della fattorizzazione di Hadamard fornisce ulteriori strumenti per rappresentare una funzione intera in termini dei suoi zeri, portando ad una descrizione particolarmente utile nelle applicazioni pratiche. Ad esempio, la funzione seno, che è un caso emblematico di funzione intera, può essere scritta come prodotto infinito, come segue:

\sin z = z \prod_{k=1}^{\infty} \left(1 - \frac{z^2}{k^2 \pi^2}\right).

Questo tipo di espansione è estremamente utile in contesti fisici, poiché consente di esprimere soluzioni oscillanti in termini di frequenze normali, che sono fondamentali per la risoluzione di problemi di vibrazione.

Oltre alla teoria dei polinomi interi e delle funzioni di ordine finito, un altro aspetto importante da considerare è il comportamento asintotico delle soluzioni delle equazioni differenziali alle alte frequenze. Nel caso del problema di Sturm-Liouville, quando il parametro $\lambda$ cresce, la soluzione tende ad assumere una forma asintotica che può essere approssimata tramite un'espansione WKB. Questo approccio è essenziale per analizzare la distribuzione delle frequenze nei sistemi fisici complessi, come quelli modellati da equazioni di vibrazione.

In particolare, quando si applica l'espansione WKB, si può ottenere una rappresentazione del tipo:

u(x) \approx C \exp \left( i \sqrt{\lambda} \int_0^x \sqrt{m(t)} \, dt \right),

dove $m(x)$ è la funzione che caratterizza la densità di massa nel problema di vibrazione. Questo tipo di soluzione evidenzia come le oscillazioni del sistema si evolvano in funzione della frequenza $\lambda$ , e come la forma della soluzione dipenda dalla struttura della funzione di massa.

Infine, è fondamentale notare che la teoria delle funzioni intere e delle serie di potenze non è solo una curiosità matematica, ma trova applicazioni in numerosi campi della fisica teorica e dell'ingegneria, in particolare nello studio delle vibrazioni, dove la stabilità e il comportamento delle soluzioni sono determinati dalle caratteristiche analitiche delle funzioni che descrivono il sistema fisico.

Qual è il ruolo delle funzioni generalizzate nelle soluzioni di vibrazioni dirette e inverse?

Il caso 3, che consideriamo, è quello in cui la funzione $q(\lambda)$ è minore di $a + b$ . In questa situazione, il sistema fondamentale delle soluzioni è descritto dalle seguenti equazioni:

u_{01}(x) = \gamma_1 a \gamma_2^2 + 1 - \lambda ab \, a \gamma_2 + 1 - \lambda ab \, \gamma_1 x - \gamma_2 s \, 1 a\lambda (\lambda ab - 1) q(\lambda) a \lambda (\lambda ab - \sin \gamma_2 x)

w_{01}(x) = a \gamma_2^1 + 1 - \lambda ab \, \cos \gamma_1 x + \cos \gamma_2

u_{02}(x) = 1 (- \cos \gamma_1 x + \cos \gamma_2 x)

w_{02}(x) = - (a \gamma_2 1 + 1 - \lambda ab \sin \gamma_1 x + a \gamma_2^2 + 1 - \lambda ab \sin \gamma_2 x)

Qui, i valori di $\gamma_1$ e $\gamma_2$ sono espressi come segue:

\gamma_1 = \sqrt{\frac{\lambda}{2}} \quad \text{e} \quad \gamma_2 = \sqrt{\frac{\lambda}{2}}.

Per comprendere meglio la dinamica dei sistemi in cui sono coinvolte vibrazioni, le equazioni di base possono essere risolte utilizzando una convoluzione, che permetterà di ottenere una soluzione particolare del sistema.

La soluzione generale di queste equazioni in questo caso è la seguente:

u_0(x) = C_1 \cos \gamma_1 x + C_2 \sin \gamma_1 x + C_3 \cos \gamma_2 x + C_4 \sin \gamma_2 x + \sum_{p=1}^{n} \left( H(x - x_p) Q_{p11}(x, \lambda) u_p + Q_{p12}(x, \lambda) w_p \right)

w_0(x) = \left( C_1 \sin \gamma_1 x - C_2 \cos \gamma_1 x \right) + \left( \gamma_1 \right) a \gamma_2 + 2 + 1 - \lambda ab \left( C_3 \sin \gamma_2 x - C_4 \cos \gamma_2 x \right) + \sum_{p=1}^{n} \left( H(x - x_p) Q_{p21}(x, \lambda) u_p + Q_{p22}(x, \lambda) w_p \right)

L'importanza di questi termini è che forniscono una visione completa delle vibrazioni di un sistema con discontinuità, in quanto includono effetti di forze esterne e soluzioni particolari che si sovrappongono ai modi naturali di vibrazione. A queste soluzioni particolari si aggiungono anche funzioni di convoluzione che descrivono l'interazione tra i vari punti del sistema.

Quando si differenziano queste equazioni, si ottengono i seguenti risultati:

u_0'(x) = -C_1 \gamma_1 \sin \gamma_1 x + C_2 \gamma_1 \cos \gamma_1 x - C_3 \gamma_2 \sin \gamma_2 x + \sum_{p=1}^{n} \left( H(x - x_p) R_{p11}(x, \lambda) u_p + R_{p12}(x, \lambda) w_p \right)

w_0'(x) = a \gamma_1 + 1 - \lambda ab \left( C_1 \cos \gamma_1 x + C_2 \sin \gamma_1 x \right) + a \gamma_2 2 + 1 - \lambda ab \left( C_3 \cos \gamma_2 x + C_4 \sin \gamma_2 x \right) + \sum_{p=1}^{n} \left( H(x - x_p) R_{p21}(x, \lambda) u_p + R_{p22}(x, \lambda) w_p \right)

Queste espressioni sono fondamentali per determinare la risposta dinamica del sistema, compreso l'effetto delle forze applicate in modo esterno, ma anche la risposta dovuta alla presenza di discontinuità, come le crepe simulate da molle.

Per ottenere una soluzione non banale, si impone la condizione che il determinante del sistema di equazioni sia uguale a zero, il che porta alla determinazione degli autovalori $\lambda$ . Quando il sistema è integro, i valori propri derivano dalla soluzione dell'equazione trigonometriche:

\sin b\lambda l = 0

\sin a\lambda l = 0

Queste condizioni forniscono i modi naturali del sistema, determinando le frequenze a cui il sistema può vibrare.

È importante notare che, se le crepe sono simulate da una singola molla, la soluzione del sistema è notevolmente semplificata, ma mantiene comunque la struttura complessa delle soluzioni delle vibrazioni con discontinuità. Quando il sistema è modellato correttamente, si osserva che i modi di vibrazione naturali sono fortemente influenzati dalla presenza di crepe e da come queste alterano la distribuzione della rigidezza del sistema.

Quando si analizzano le vibrazioni di una trave di Timoshenko indebolita da crepe trasversali con estremità libere, è utile studiare l’asintotica delle frequenze naturali per alte frequenze. La condizione al contorno per estremità libere implica che la derivata prima delle funzioni di spostamento sia nulla sia all'origine che alla fine della trave.

Questo comportamento, insieme alle equazioni di stato, consente di ottenere una descrizione precisa della distribuzione delle frequenze naturali per il sistema, anche in condizioni di frequenze molto elevate, dove la soluzione diventa un caso di separazione asintotica.

Come Ricostruire le Proprietà del Mezzo e la Funzione Sorgente tramite Problemi Inversi

Il problema di ricostruzione delle proprietà di un mezzo e della funzione sorgente in un contesto di imaging acustico è strettamente legato all'analisi delle onde acustiche e alla loro propagazione. In particolare, l'obiettivo è determinare le proprietà del mezzo, come la densità di massa $\rho_0(x)$ e il modulo di compressibilità $k_0(x)$ , a partire da misurazioni della funzione di tempo di viaggio $\zeta(x_0, \cdot)$ su una superficie di misura accessibile $\partial \Omega$ . La conoscenza di queste grandezze è cruciale per la ricostruzione di immagini precise e affidabili in varie applicazioni scientifiche e mediche.

Per cominciare, il primo passo consiste nel recuperare la funzione di tempo di viaggio $\zeta(x_0, z)$ che descrive la propagazione dell'onda acustica all'interno del mezzo. Questa funzione può essere ottenuta variando la coordinata $z$ all'interno del dominio $\Omega$ e analizzando l'andamento nel tempo delle misurazioni acquisite a $x_0 \in \partial \Omega$ . Con la funzione di tempo di viaggio nota, possiamo quindi applicare l'equazione di Eikonal per determinare la velocità del suono $c_0(x)$ nel mezzo. L'equazione di Eikonal è una relazione fondamentale che lega la velocità del suono alla geometria del dominio e alla velocità di propagazione dell'onda.

Una volta che la velocità del suono è recuperata, il passo successivo è la separazione delle proprietà del mezzo dalla velocità del suono. In generale, le proprietà del mezzo come la densità $\rho_0(x)$ e il modulo di compressibilità $k_0(x)$ sono correlate alla velocità del suono, ma per poterle ricostruire separatamente, è necessario conoscere almeno una di esse a priori. Supponiamo, ad esempio, che la densità di massa $\rho_0(x)$ sia già nota. In tal caso, possiamo recuperare $k_0(x)$ utilizzando le relazioni matematiche che legano la velocità del suono al modulo di compressibilità. Questo processo implica l'uso di un modello di propagazione delle onde acustiche e la risoluzione di un problema inverso.

Nel caso più generale, quando entrambe le proprietà del mezzo sono sconosciute, è sufficiente ricostruire una delle due proprietà (ad esempio, la densità o il modulo di compressibilità) per determinare anche l'altra. Questo si ottiene sfruttando il fatto che esiste una relazione tra la velocità del suono e il rapporto tra le proprietà del mezzo. In questo caso, l'analisi della funzione di tempo di viaggio e la sua relazione con la misura acquisita permettono di isolare una delle due proprietà, facilitando la ricostruzione completa del mezzo.

Oltre alla ricostruzione delle proprietà fisiche del mezzo, il problema inverso può anche implicare la ricostruzione della funzione sorgente $J(x, t)$ che descrive l'origine delle onde. Una volta che la velocità del suono $c_0(x)$ e la funzione di onda $v(x, t)$ sono state ricostruite, è possibile applicare equazioni differenziali parziali (PDE) per determinare la funzione sorgente. Questo è un passaggio cruciale per ottenere una comprensione completa del comportamento del mezzo e delle sue interazioni con l'onda acustica.

Nel contesto di imaging fotoacustico, la situazione cambia leggermente. In questo caso, l'onda acustica è generata da un effetto fotoacustico, in cui un impulso laser provoca un riscaldamento del target, creando così fluttuazioni di pressione che si propagano nel mezzo. Le informazioni sulle proprietà del mezzo vengono ricostruite analizzando la pressione generata dall'assorbimento dell'energia del laser. Esistono due modelli principali per descrivere questo fenomeno: il modello coerente e il modello incoerente. Nel modello coerente, si assume che solo l'intensità del campo elettrico generato dal laser sia rilevante, mentre nel modello incoerente si considera l'intero campo elettrico, risolvendo l'intero sistema di Maxwell. Quest'ultimo approccio è noto anche come modello opto-acustico ed è più complesso da trattare, ma permette di ottenere una descrizione più dettagliata e precisa dell'interazione tra luce e materia.

Nel modello coerente, l'onda acustica generata è descritta da un'equazione che coinvolge la pressione $p(x,t)$ , la densità del mezzo $\rho(x)$ e la velocità dell'onda $c(x)$ . La funzione sorgente, che è collegata all'intensità del campo laser, entra nell'equazione come un termine che dipende dalla distribuzione dell'assorbimento della luce nel mezzo. La soluzione di questa equazione permette di ricostruire l'immagine del mezzo e di determinare le sue proprietà fisiche, come la densità e il modulo di compressibilità, utilizzando tecniche di tomografia acustica.

Infine, è importante sottolineare che il successo di queste tecniche dipende dalla qualità e dalla precisione delle misurazioni raccolte. Le onde acustiche devono essere misurate in modo accurato su una superficie di raccolta accessibile, e il modello di propagazione deve essere sufficientemente preciso da permettere una ricostruzione affidabile delle proprietà del mezzo. Inoltre, la complessità del problema inverso richiede l'uso di metodi numerici avanzati e una buona comprensione delle equazioni differenziali che descrivono il comportamento delle onde acustiche e della luce.

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