Quali sono le soluzioni stazionarie nei sistemi quasi-Hamiltoniani con metodi di media stocastica?

La soluzione stazionaria in un sistema quasi-Hamiltoniano può essere espressa come una funzione probabilistica di densità (PDF) che dipende dai parametri del sistema, come le variabili di stato e i coefficienti di eccitazione casuale. Un esempio di tale soluzione è la forma della densità stazionaria data dalla seguente equazione:

p(I_1, I_2, h_3) = C \exp\left[-\lambda(I_1, I_2, h_3)\right]

dove la funzione $\lambda(I_1, I_2, h_3)$ è una soluzione che può essere derivata risolvendo le equazioni differenziali parziali associate al sistema. Queste equazioni richiedono che vengano soddisfatte alcune condizioni di compatibilità tra i coefficienti di smorzamento e l'intensità dell'eccitazione casuale, come mostrato nella seguente relazione:

\frac{\alpha_{12}}{K_1} = \frac{\alpha_{21}}{K_2}, \quad \frac{\alpha_{13} + \alpha_{14}}{K_1} = \frac{\alpha_{31} + \alpha_{41}}{K_3 + K_4}, \quad \frac{\alpha_{23} + \alpha_{24}}{K_2} = \frac{\alpha_{32} + \alpha_{42}}{K_3 + K_4}

Queste condizioni garantiscono che la soluzione stazionaria esatta dell'equazione FPK media ridotta venga trovata sotto forma di un'espressione complessa, che include termini di smorzamento, eccitazione e interazioni non lineari. La forma finale della PDF stazionaria può essere scritta come:

p(I_1, I_2, h_3) = C (1 + 4b h_3)^{ -1} \exp\left\{ -\left[\frac{\alpha_{10} \omega_1 I_1}{\pi K_1} + \frac{\alpha_{20} \omega_2 I_2}{\pi K_2} + \frac{\alpha_{30} + \alpha_{40}}{\pi(K_3 + K_4)} h_3 + \cdots \right]\right\}

Questa espressione non solo è un risultato teorico della soluzione stazionaria, ma offre anche un quadro completo per la comprensione delle dinamiche stocastiche nei sistemi quasi-Hamiltoniani. Le soluzioni stazionarie derivanti da questi metodi di media stocastica sono utili per analizzare il comportamento a lungo termine di sistemi complessi sotto l'influenza di eccitazioni casuali.

Nel caso di un sistema con due gradi di libertà e forze di impatto come il sistema vibratorio con molla e smorzatore descritto, l'analisi delle soluzioni stazionarie richiede l'introduzione di equazioni di movimento che possano descrivere le interazioni tra le masse e le pareti elastiche. Quando tali sistemi vengono eccitati da rumori bianchi gaussiani, le equazioni di movimento prendono una forma che può essere convertita in un sistema quasi-Hamiltoniano. In tal caso, la PDF stazionaria del sistema può essere ottenuta utilizzando metodi di media stocastica o simulazioni Monte Carlo, con una buona corrispondenza tra i risultati numerici.

In particolare, il metodo di media stocastica consente di trattare le soluzioni di sistemi complessi, dove la non integrabilità del sistema può variare in funzione dei parametri. Quando i parametri del sistema soddisfano condizioni specifiche, come quelle presentate per il sistema di due gradi di libertà, la soluzione stazionaria può essere esatta. Tuttavia, in assenza di tale soddisfazione delle condizioni, si utilizzano soluzioni approssimative che offrono comunque previsioni molto accurate per il comportamento del sistema.

In conclusione, è essenziale per il lettore comprendere che, sebbene esista una soluzione stazionaria esatta in alcuni casi, la natura stocastica dei sistemi quasi-Hamiltoniani spesso richiede l'uso di metodi numerici come le simulazioni Monte Carlo per ottenere una stima realistica delle distribuzioni di probabilità. La comprensione di come le condizioni di compatibilità influenzano la validità delle soluzioni stazionarie è cruciale per l'applicazione pratica di questi metodi in ingegneria e fisica teorica.

Metodi di Media Stocastica per Sistemi Quasi-Hamiltoniani Eccitati da Rumori Bianchi Gaussiani e Poissoniani

Nel contesto della dinamica stocastica, si assume generalmente che le eccitazioni siano processi casuali continui, mentre in alcuni casi rari possano essere composti da processi di salto casuali. Tuttavia, in molti problemi pratici in scienza, ingegneria e società, le eccitazioni casuali possono derivare da processi sia continui che di salto, come nel caso di terreni irregolari o turbolenze del vento. Fino ad oggi, sono stati condotti pochi studi sulla dinamica stocastica dei sistemi non lineari eccitati da processi casuali combinati, ovvero da rumori bianchi sia di tipo Gaussiano che Poissoniano. Poiché i metodi di media stocastica sono tecniche analitiche approssimate molto potenti per lo studio della dinamica di sistemi non lineari a gradi di libertà multipli (MDOF), in questo capitolo vengono presentati i metodi di media stocastica per sistemi quasi-Hamiltoniani eccitati da rumori bianchi Gaussiani e Poissoniani combinati. Si dimostra che gli effetti dei due tipi di rumore bianco possono essere separati durante la procedura di media. Pertanto, i metodi di media stocastica descritti in questo capitolo possono essere applicati anche a sistemi quasi-Hamiltoniani eccitati esclusivamente da rumori bianchi Poissoniani, semplicemente eliminando i termini causati dai rumori bianchi Gaussiani.

Consideriamo un sistema quasi-Hamiltoniano con n gradi di libertà eccitato da rumori bianchi Gaussiani e Poissoniani. Le equazioni del moto di tale sistema sono espressibili come:

\frac{\partial H'}{\partial Q_i} \dot{Q}_i = \sum_{j=1}^{n} \left( \frac{\partial H'}{\partial P_j} \right) c_{ij}(Q, P) W_g(t) + f_{il}(Q, P) W_p(t)

dove $Q = [Q_1, Q_2, ..., Q_n]$ e $P = [P_1, P_2, ..., P_n]$ sono i vettori degli spostamenti generalizzati e dei momenti, rispettivamente, e $H'$ è l'Hamiltoniano infinitamente differenziabile del sistema. Le funzioni $c_{ij}(Q, P)$ rappresentano i coefficienti di smorzamento quasi-lineari, $W_g(t)$ sono i rumori bianchi Gaussiani con funzioni di correlazione definite precedentemente, e $W_p(t)$ sono i rumori bianchi Poissoniani con arrivi medi $\lambda_l$ e ampiezze di impulsi distribuiti secondo una legge Gaussiana. Queste equazioni possono essere riscritte come equazioni differenziali stocastiche di tipo Stratonovich, dove le variabili di rumore sono trattate come processi di Wiener e Poisson.

Nel caso dei sistemi quasi-Hamiltoniani eccitati da rumori bianchi combinati, l'analisi stocastica si sviluppa secondo il metodo di media stocastica, che prevede una separazione degli effetti dei rumori durante la media. In particolare, i rumori bianchi Gaussiani e Poissoniani possono essere trattati separatamente, semplificando notevolmente il processo di calcolo delle soluzioni mediate. Un aspetto importante di questo approccio è che le correzioni di Wong-Zakai, derivanti dal rumore bianco Gaussiano, possono essere separate in due componenti: una conservativa e una dissipativa. La parte conservativa può essere combinata con i termini Hamiltoniani, mentre la parte dissipativa viene utilizzata per modificare i termini di smorzamento.

I risultati ottenuti per questi sistemi, che coinvolgono eccitazioni stocastiche miste, hanno applicazioni in molte aree della scienza e dell'ingegneria, dove si riscontrano fenomeni dinamici influenzati da disturbi sia continui che di salto, come nel caso di modelli meteorologici, sistemi strutturali complessi, e dispositivi meccanici soggetti a vibrazioni casuali.

Importante è notare che l'applicazione dei metodi di media stocastica può essere estesa ad altri tipi di sistemi dinamici non lineari che presentano eccitazioni miste, come quelli con rumori a più variabili o eccitazioni di tipo ibrido. Tuttavia, la difficoltà principale di questi sistemi sta nel trattamento matematico delle interazioni tra i vari tipi di rumore, che richiede un'accurata formulazione dei termini di correzione e una comprensione profonda delle caratteristiche di ogni tipo di eccitazione. Inoltre, è cruciale comprendere che i metodi di media stocastica forniscono soluzioni approssimate, il che implica la necessità di un'analisi rigorosa dei margini di errore associati a tali metodi, specialmente in presenza di rumori fortemente correlati o di ampiezza variabile.

Come trovare la soluzione stazionaria di un sistema Hamiltoniano eccitato da rumori bianchi di Poisson

Nel contesto della dinamica stocastica, per trovare la soluzione stazionaria di un sistema Hamiltoniano eccitato da rumori bianchi di Poisson, è essenziale utilizzare metodi di media stocastica, i quali permettono di semplificare l'analisi di sistemi complessi riducendo il numero di variabili stocastiche a una rappresentazione più gestibile.

Il metodo inizia con l'ipotesi che la funzione di densità di probabilità (PDF) stazionaria, indicata come $p(h)$ , possa essere espressa come una serie di potenze in $\epsilon$ , dove $\epsilon$ è un parametro di piccola ampiezza. Questa serie assume la forma:

p(h) = p_0(h) + \epsilon p_1(h) + \epsilon^2 p_2(h) + \dots

Sostituendo questa espressione nell'equazione di Fokker-Planck media (6.77), e imponendo che i termini di ordine uguale in $\epsilon$ siano nulli, si ottiene una sequenza di equazioni differenziali ordinarie per i coefficienti $p_0(h), p_1(h), p_2(h), \dots$ . Risolvendo queste equazioni una dopo l'altra, si ottiene la soluzione stazionaria del sistema. In base a quanto descritto nell'Equazione (5.18), la PDF stazionaria approssimata dei dislocamenti generalizzati e dei momenti generalizzati è data da:

p(q,p) = \frac{1}{T(h)} \left| h = h(q,p) \right|

Questa formula rappresenta una generalizzazione del concetto di PDF stazionaria in presenza di eccitazioni stocastiche, tenendo conto delle dinamiche non-lineari e della dipendenza da più variabili stocastiche.

Prendiamo come esempio un sistema di due oscillatori di Van der Pol, accoppiati linearmente e non linearmente, eccitati da rumori bianchi di Poisson. Le equazioni del moto di questo sistema sono:

\ddot{X}_1 - \beta_1 \dot{X}_1 + \alpha_1 X_1^2 \dot{X}_1 + \omega_1^2 X_1 + a X_2 + b(X_1 - X_2) = c_1 X_1 W_{p1}(t)

\ddot{X}_2 - (\beta_1 - \beta_2) \dot{X}_2 + \alpha_2 X_2^2 \dot{X}_2 + \omega_2^2 X_2 + a X_1 + b(X_2 - X_1) = c_2 X_2 W_{p2}(t)

dove $W_{p1}(t)$ e $W_{p2}(t)$ sono due rumori bianchi di Poisson indipendenti, con ampiezze gaussiane di impulso e tassi di arrivo medi $\lambda_1$ e $\lambda_2$ , rispettivamente. In questo sistema, la funzione Hamiltoniana associata a queste equazioni è:

H = \frac{P_1^2}{2} + \frac{P_2^2}{2} + U(Q_1, Q_2)

dove il potenziale $U(Q_1, Q_2)$ è dato da:

U(Q_1, Q_2) = \omega_1^2 Q_1^2 + \omega_2^2 Q_2^2 + a Q_1 Q_2 + b(Q_1 - Q_2)^4

Il sistema Hamiltoniano può essere trasformato in un sistema di equazioni stocastiche (SDE) come segue:

dQ_1 = \frac{\partial H}{\partial P_1} dt, \quad dP_1 = -\frac{\partial H}{\partial Q_1} dt + c_1 Q_1 dC_1(t)

dQ_2 = \frac{\partial H}{\partial P_2} dt, \quad dP_2 = -\frac{\partial H}{\partial Q_2} dt + c_2 Q_2 dC_2(t)

Queste equazioni, che descrivono l'evoluzione temporale delle variabili del sistema in presenza di rumori stocastici, possono essere risolte utilizzando il metodo delle medie stocastiche, che fornisce una rappresentazione approssimata della distribuzione di probabilità stazionaria.

Risolvendo numericamente, si ottengono le PDF stazionarie approssimate per l'Hamiltoniano $H$ e per i dislocamenti generalizzati $Q_1$ . Confrontando i risultati con le simulazioni Monte Carlo, si osserva che la soluzione approssimata ottenuta con il metodo delle medie stocastiche è in buona concordanza con i risultati simulati, mentre l'approssimazione gaussiana, purtroppo, sovrastima lievemente la risposta del sistema.

Un altro esempio interessante è un sistema di vibrazione-urto a due gradi di libertà eccitato da rumori bianchi di Poisson. Le equazioni del moto per questo sistema sono:

\ddot{X}_1 + c_1 \dot{X}_1 + k_1 X_1 + k_2 (X_1 - X_2) = f_1 W_{p1}(t)

\ddot{X}_2 + c_2 \dot{X}_2 + k_2 (X_2 - X_1) + g(X_2) = f_2 W_{p2}(t)

dove $g(X_2)$ è una funzione non lineare che dipende da $X_2$ , rappresentando l'effetto dell'urto. Anche in questo caso, il sistema può essere trasformato in un sistema di equazioni stocastiche, dove l'analisi stocastica consente di ottenere una descrizione accurata delle distribuzioni stazionarie in presenza di rumori bianchi.

Per comprendere appieno il comportamento di tali sistemi stocastici, è cruciale non solo risolvere le equazioni differenziali, ma anche considerare gli effetti di media stocastica sui parametri del sistema. L'accuratezza delle soluzioni dipende dalla corretta implementazione di questi metodi e dalla considerazione delle dinamiche stocastiche che modellano i processi di eccitazione.

Come gestire sistemi hamiltoniani quasi-integrabili con metodi stocastici

Nel contesto dei sistemi hamiltoniani quasi-integrabili, la comprensione della dinamica e della stocasticità gioca un ruolo fondamentale. Questi sistemi, che si caratterizzano per una combinazione di variabili d'azione e angolari, presentano comportamenti complessi che non sono completamente prevedibili senza l'uso di metodi di approssimazione stocastica. Il processo di media stocastica frazionata è uno strumento efficace per analizzare tali sistemi, in particolare quelli che mostrano risonanza interna, dove le variabili d'azione sono accoppiate attraverso una relazione di risonanza.

Iniziamo considerando un sistema hamiltoniano associato all'equazione (7.3), che si assume essere integrabile e in risonanza interna. In questo caso, le variabili angolari possono essere descritte da combinazioni specifiche delle variabili angolari stesse, come indicato nell'equazione (7.39). A partire da queste definizioni, si possono derivare le equazioni stocastiche per le variabili angolari e d'azione, che coinvolgono il movimento di un sistema dinamico caratterizzato da rumore stocastico.

I metodi di media stocastica frazionata, sviluppati da Xu et al. (2014a, b), permettono di ottenere equazioni differenziali stocastiche mediate che descrivono il comportamento del sistema in una forma semplificata ma ancora sufficientemente precisa. Queste equazioni hanno la forma di un sistema a variabili lente (che evolvono lentamente nel tempo) e veloci (che oscillano rapidamente), con l'idea che il sistema possa essere ridotto a dimensioni inferiori tramite la media temporale e spaziale. Ad esempio, i processi stocastici di fase, descritti nelle equazioni (7.41), possono essere risolti tramite simulazioni Monte Carlo per ottenere la funzione di densità stazionaria del sistema, utile per analizzare le probabilità di distribuzione dello stato del sistema.

Un caso interessante è quello in cui il sistema non è completamente integrabile, ma parzialmente integrabile, come descritto nell'analisi dei sistemi hamiltoniani non-resonanti. In questo caso, si osserva che il sistema possiede dei "primi integrali", ossia delle quantità conservate, che rendono il comportamento del sistema più prevedibile, ma non ancora del tutto deterministico. La presenza di queste variabili integrate consente una separazione parziale del sistema in sottosistemi, come mostrato nell'equazione (7.51), e rende possibile l'analisi di ciascun sottosistema individualmente, attraverso metodi simili a quelli già discussi.

Questi sistemi possono essere modellizzati mediante l'introduzione di variabili d'azione e angolari, come illustrato nell'esempio specifico dei sistemi hamiltoniani quasi-integrabili e in risonanza interna (equazione 7.44). Le equazioni stocastiche risultanti per le variabili angolari e d'azione, come l'equazione (7.45), forniscono un quadro chiaro del comportamento del sistema sotto l'influenza di forze esterne, modellate da rumori stocastici.

In conclusione, l'applicazione della media stocastica frazionata permette di ridurre la complessità del sistema originale, ottenendo modelli più semplici che possono essere analizzati tramite simulazioni numeriche. La congruenza tra i risultati ottenuti da questi modelli semplificati e quelli ottenuti dai modelli originali, come mostrato nelle simulazioni descritte nelle figure, conferma l'affidabilità di questi metodi per l'analisi dei sistemi hamiltoniani stocastici.

È importante notare che, sebbene la riduzione dimensionale offerta dai metodi di media stocastica consenta una comprensione più facile del sistema, rimane fondamentale tenere in considerazione gli effetti di lunga memoria e le possibili influenze non-lineari che potrebbero alterare la previsione del comportamento a lungo termine del sistema. Per esempio, l'approssimazione di sistema quasi-integrabile potrebbe non catturare tutte le dinamiche complesse del sistema, in particolare quelle associate a risonanze interne più sottili. Pertanto, una corretta comprensione del fenomeno di "risonanza" è essenziale per evitare errori nell'interpretazione delle dinamiche a lungo termine.

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