La Teoria del Rumore Bianco di Poisson e le sue Applicazioni nei Sistemi Stocastici

Il rumore bianco di Poisson è una classe particolare di rumore che gioca un ruolo fondamentale nella modellizzazione di fenomeni stocastici, soprattutto nei sistemi fisici e ingegneristici. Esso si basa su una distribuzione di probabilità discreta che descrive il verificarsi di eventi casuali, noti come "processi di Poisson". La principale caratteristica di un processo di Poisson è la sua natura di evento a tempo stocastico, dove gli eventi si verificano in maniera indipendente l'uno dall'altro e la loro probabilità di occorrenza in un determinato intervallo temporale è costante.

Nel contesto dei sistemi stocastici, il rumore bianco di Poisson può essere utilizzato per descrivere fenomeni impulsivi che si verificano con una certa frequenza media. Un processo di Poisson omogeneo è caratterizzato da tre proprietà principali: l'indipendenza degli arrivi, la stazionarietà degli arrivi e l'isolamento degli arrivi. Queste caratteristiche sono fondamentali per comprendere come le fluttuazioni stocastiche influenzino il comportamento dinamico dei sistemi.

Sebbene la media di un processo di Poisson cresca nel tempo, la funzione di correlazione di questo processo dipende dai tempi di osservazione, il che lo rende non stazionario. La correlazione tra i valori del processo a due istanti di tempo differenti, $t_1$ e $t_2$, è descritta dalla funzione di correlazione:

Inoltre, è possibile derivare la funzione di densità spettrale di questo processo, che risulta essere una costante, evidenziando così la natura del rumore bianco:

Un altro aspetto importante del rumore di Poisson è che può essere rappresentato come la derivata di un "rumore di Poisson composto", che è definito come una somma di impulsi casuali. La formulazione matematica di questo processo è data da:

Infine, un aspetto fondamentale da considerare è l'interpretazione fisica dei processi di Poisson. Questi sono frequentemente utilizzati per modellare fenomeni come gli impatti delle onde oceaniche, l'arrivo di passeggeri in una stazione, o eventi rari e casuali in un sistema dinamico. La comprensione del comportamento di questi rumori è cruciale quando si progettano sistemi ingegneristici o si analizzano fenomeni fisici in cui la variabilità è determinata da eventi stocastici.

Come Modellare Sistemi Dinamici Non Lineari Stocastici

Un sistema dinamico stocastico può essere descritto dalle seguenti equazioni differenziali stocastiche:

Le eccitazioni $\xi_l(t)$ vengono definite come parametriche (o moltiplicative) se la funzione associata $g_{jl}$ dipende da $X$; altrimenti, vengono definite eccitazioni esterne (o additive). Quando tutte le funzioni $f_j$ sono lineari in $X$ e le funzioni $g_{jl}$ sono costanti, il sistema è lineare. Quando tutte le funzioni $f_j$ e $g_{jl}$ sono lineari in $X$, si parla di sistema lineare eccitato parametricamente, anche se, in sostanza, è non lineare, poiché il principio di sovrapposizione non è più applicabile. Se almeno una delle funzioni $f_j$ e $g_{jl}$ è non lineare, il sistema diventa non lineare.

Nel presente trattato, si considera esclusivamente il caso in cui le eccitazioni siano stocastiche, mentre le proprietà del sistema, rappresentate dalle funzioni $f_j$ e $g_{jl}$, sono determinate in modo preciso e non stocastico.

Le equazioni del moto di molti sistemi meccanici e strutturali sono solitamente derivabili tramite la seconda legge di Newton o le equazioni di Lagrange, in base alla natura fisica del sistema. Le equazioni del moto appaiono spesso sotto la forma:

dove $Z = [Z_1, Z_2, \dots, Z_n]^T$ e $\dot{Z} = [\dot{Z}_1, \dot{Z}_2, \dots, \dot{Z}_n]^T$ sono i vettori di spostamenti e velocità, rispettivamente, e $h_j(Z, \dot{Z})$ e $u_j(Z)$ rappresentano le forze di smorzamento e le forze restauratrici. Rappresentando $X_{2j-1} = Z_j$, $X_{2j} = \dot{Z}_j$, e $X = [X_1, X_2, \dots, X_{2n}]^T$, il sistema $(3.2)$ può essere trasformato nella forma:

Confrontando $(3.3)$ e $(3.1)$, si può osservare che il sistema $(3.3)$ è un caso speciale del sistema $(3.1)$. Un altro modo per formulare un sistema dinamico stocastico è come un sistema Hamiltoniano stocasticamente eccitato e dissipato, governato dalle seguenti equazioni:

In queste equazioni, $Q_j$ e $P_j$ sono gli spostamenti e i momenti generalizzati, rispettivamente, $Q = [Q_1, Q_2, \dots, Q_n]^T$, $P = [P_1, P_2, \dots, P_n]^T$, e $H = H(Q, P)$ è la funzione Hamiltoniana. Il sistema Hamiltoniano stocasticamente eccitato e dissipato $(3.4)$ è anch'esso un caso speciale del sistema $(3.1)$.

Le equazioni del moto del sistema $(3.1)$ sono matematicamente più generali rispetto a $(3.2)$ e $(3.4)$, poiché le ultime due possono essere trasformate nel sistema $(3.1)$. Tuttavia, per molti sistemi ingegneristici, le equazioni $(3.2)$ vengono solitamente derivate direttamente dalle equazioni di Lagrange, e successivamente trasformate in $(3.4)$, per descrivere le relazioni tra i vari gradi di libertà. Pertanto, le tecniche e le procedure introdotte in questo libro, sebbene applicabili al sistema generale $(3.1)$, sono particolarmente adatte per i sistemi $(3.2)$ e $(3.4)$.

Come risolvere l'equazione FPK ridotta in presenza di rumore bianco di Poisson

Nel contesto di sistemi eccitati da rumore bianco di Poisson, l'equazione FPK ridotta per il processo di ampiezza presenta una serie di difficoltà matematiche che non permettono una soluzione esatta. L’equazione differenziale parziale risultante è caratterizzata da un numero infinito di termini, rendendo necessaria l'adozione di metodi approssimativi per risolverla. Un approccio comunemente utilizzato in questi casi è quello della perturbazione, che permette di affrontare il problema in modo graduale e sistematico.

Un fatto fondamentale da considerare è che quando il tasso medio di arrivo λ tende all'infinito, il rumore bianco di Poisson si comporta come rumore bianco gaussiano. In questa situazione, si definisce un parametro di perturbazione ε = λ^(-1/2). Con tale parametro, i momenti della densità spettrale del rumore di Poisson possono essere espressi come ε^k, dove k è l'ordine del momento. Ciò porta alla definizione di un parametro Ik per ogni ordine k, che rappresenta una serie di derivate delle variabili di stato rispetto al tempo.

Questa struttura consente di scrivere la soluzione dell'equazione come una serie di potenze in ε, dove la soluzione approssimata al primo ordine è data da:

$p(a) = p_0(a) + \varepsilon p_1(a) + \varepsilon^2 p_2(a) + \dots$

Sostituendo questi sviluppi nell'equazione FPK, si ottengono una serie di equazioni differenziali ordinarie, ognuna corrispondente a un ordine di perturbazione. La soluzione dell'equazione al primo ordine porta alla distribuzione di Rayleigh, che è ben nota in questo tipo di problemi. L'uso di questa distribuzione come soluzione di partenza permette poi di calcolare le correzioni ai successivi ordini, sia analiticamente che numericamente.

Nel caso in cui si tratti di un sistema governato da un oscillatore di Rayleigh eccitato da rumore bianco di Poisson, la formulazione della dinamica del sistema diventa:

dove $W_p(t)$ è il rumore bianco di Poisson. La soluzione di questo sistema richiede l'uso di un procedimento simile a quello descritto, con il passaggio alla forma di Poisson composta per ridurre il problema a una serie di equazioni differenziali ordinarie. Un approccio simile si applica anche per oscillatori non lineari come nel caso di un oscillatore di van der Pol soggetto a rumore bianco di Poisson.

Oltre agli esempi di sistemi con rumore bianco di Poisson, sono di interesse anche i casi in cui il sistema presenta smorzamento dipendente dall'energia o smorzamento di potenza. Questi tipi di smorzamento descrivono fenomeni fisici complessi, come la dissipazione di energia che varia a seconda dell'ampiezza del movimento. La risoluzione di questi sistemi segue la stessa logica, con l’adozione del metodo di perturbazione per ottenere una soluzione approssimata.

Quando si trattano sistemi con smorzamento di potenza, come nel caso di un sistema con smorzamento di ordine α, l'equazione del moto assume una forma in cui la dipendenza dall'ampiezza è espressa in termini di un parametro α che varia in funzione delle caratteristiche del materiale, descrivendo frizione interna da piccoli a grandi movimenti. Anche in questi casi, il procedimento di perturbazione fornisce una via per determinare le soluzioni approssimate, utilizzando sviluppi in serie.

Un altro aspetto cruciale che emerge da questi sistemi è l'analisi dell'energia del sistema, che è una funzione sia delle variabili di stato che della potenza dissipata attraverso lo smorzamento. La formula dell'energia del sistema prende in considerazione la somma tra l'energia cinetica e quella potenziale, ed è da essa che derivano importanti informazioni riguardanti la stabilità e il comportamento asintotico del sistema in presenza di eccitazioni stocastiche.

In generale, l’approccio della media stocastica permette di semplificare l'analisi di sistemi complessi, come quelli con eccitazioni di Poisson, permettendo di descrivere i comportamenti stocastici attraverso metodi analitici efficaci, sebbene approssimati. L'importanza di comprendere la natura di queste soluzioni è fondamentale per progettare sistemi che possano operare in ambienti stocastici, dove il rumore bianco di Poisson o simili eccitazioni casuali sono comuni.

Come studiare i sistemi hamiltoniani quasi-non-integrabili con metodi di media stocastica

I sistemi hamiltoniani quasi-non-integrabili sono sistemi complessi che, pur avendo una struttura hamiltoniana, mostrano un comportamento non integrabile a causa di forze stocastiche o perturbazioni nonlineari. Questi sistemi sono particolarmente interessanti per lo studio delle dinamiche caotiche e dei fenomeni di dissipazione stocastica, dove la soluzione esatta è difficile da ottenere, ma l'approccio di media stocastica offre un modo pratico per affrontarli.

La struttura del sistema hamiltoniano

Consideriamo un sistema hamiltoniano composto da due oscillatori accoppiati di Van der Pol, che interagiscono tra loro sotto l'influenza di rumori bianchi gaussiani e di Poisson. La dinamica di questi oscillatori è descritta da un sistema di equazioni differenziali non lineari accoppiate, che esprimono le equazioni del moto per le due variabili di posizione e momento $X_1, X_2$ e $\dot{X}_1, \dot{X}_2$. Le equazioni del moto possono essere scritte nel seguente modo:

Introducendo una trasformazione nelle variabili, le equazioni del moto possono essere riscritte come un sistema hamiltoniano, dove il nuovo Hamiltoniano $H$ rappresenta l'energia totale del sistema e dipende dalle variabili $Q_1, Q_2$ e $P_1, P_2$. La forma esplicita del Hamiltoniano è:

dove $U(Q_1, Q_2)$ rappresenta l'energia potenziale del sistema:

Metodo di media stocastica per sistemi quasi-non-integrabili

Un approccio comune per trattare questi sistemi consiste nell'uso di metodi di media stocastica. L'idea principale è quella di ridurre il sistema di equazioni differenziali stocastiche a un sistema di equazioni "medie" più semplici, trascurando gli effetti di alta ordine delle perturbazioni.

L'equazione di Fokker-Planck per un sistema stocastico approssimato è data dalla seguente forma:

Soluzione approssimata e calcolo delle PDF marginali

Una volta che si è ottenuta l'equazione FPK media, il passo successivo è risolverla usando metodi di perturbazione, che permettono di ottenere una soluzione stazionaria approssimata per la PDF marginale delle variabili dinamiche del sistema.

Per esempio, la PDF marginale $p(q_1)$ per la variabile di posizione $q_1$ può essere calcolata integrando la PDF congiunta su tutte le altre variabili, come segue:

Allo stesso modo, è possibile calcolare il valore medio quadrato $E[Q_1^2]$ della posizione $q_1$, che fornisce informazioni importanti sulle fluttuazioni del sistema:

I risultati di queste analisi possono essere confrontati con simulazioni Monte Carlo per verificarne l'accuratezza. Le simulazioni Monte Carlo permettono di ottenere una stima numerica della distribuzione di probabilità, che può essere utilizzata per validare le soluzioni analitiche ottenute tramite i metodi di media stocastica.

Implicazioni pratiche e considerazioni finali

Le distribuzioni di probabilità stazionarie calcolate per questi sistemi offrono insight importanti sul comportamento a lungo termine del sistema, e possono essere utilizzate per prevedere le risposte del sistema a diversi tipi di perturbazione. Per un'analisi completa, è anche cruciale considerare le interazioni tra le variabili di stato e il loro impatto sulla stabilità e sulle fluttuazioni del sistema, che sono spesso governate da dinamiche non lineari complesse.

Come applicare il metodo di media stocastica ai sistemi quasi-Hamiltoniani con forze di smorzamento non lineari

Nel contesto dei sistemi quasi-Hamiltoniani, l'uso dei metodi di media stocastica si è dimostrato utile per ridurre la complessità computazionale nella simulazione di sistemi complessi. Consideriamo un sistema originale descritto da equazioni di moto con forze di smorzamento non lineari. Il sistema presenta oscillatori lineari e non lineari accoppiati, dove i parametri non lineari come i coefficienti $\alpha_{ij}$ determinano la natura delle interazioni tra le variabili del sistema.

Un aspetto cruciale dell'analisi è la riduzione della dimensione del sistema. La dimensione $r + \beta$ della versione media è infatti inferiore alla dimensione originale $2n$, il che implica che la simulazione della versione media richiede meno tempo computazionale rispetto a quella del sistema originale. Questo è un vantaggio significativo, soprattutto quando si lavora con sistemi di grandi dimensioni o quando è necessario eseguire molte simulazioni.

Il metodo di media stocastica può essere applicato anche a sistemi non integrabili parzialmente, come nel caso di sistemi con più sottosistemi accoppiati, dove l'integrazione di alcuni sottosistemi può essere realizzata mentre altri rimangono non integrabili. Un esempio di questo tipo di sistema è mostrato nell'equazione (7.87), che descrive un sistema con due sottosistemi che interagiscono tra loro tramite termini non lineari. In questi casi, l'uso delle variabili d'azione-angolo consente di esprimere il sistema in termini di variabili più semplici, come indicato nelle equazioni (7.89) e (7.90).

Inoltre, il confronto tra le simulazioni del sistema originale e quelle del sistema con SDE frazionaria media, come descritto nell'equazione (7.91), evidenzia come la semplificazione del sistema con il metodo di media stocastica mantenga la coerenza dei risultati. La simulazione della versione media richiede tempi computazionali significativamente ridotti, il che è vantaggioso in contesti applicativi che richiedono una rapida esecuzione di simulazioni. Ad esempio, nel caso di 10.000 campioni, il tempo di calcolo per il sistema originale è stato di 85,3 secondi, mentre per il sistema medio frazionario è stato di soli 48,7 secondi.

Oltre alla riduzione dei tempi di simulazione, è importante osservare che il metodo di media stocastica consente anche una migliore gestione dell'incertezza derivante dal rumore stocastico. Il rumore con esponenti di Hurst superiori a 1/2 comporta una maggiore correlazione temporale e una dinamica più complessa rispetto al rumore bianco, il che può influenzare la previsione dei comportamenti stazionari del sistema.

In sintesi, l'applicazione del metodo di media stocastica a sistemi quasi-Hamiltoniani eccitati da rumore fGn consente una notevole riduzione della complessità computazionale, senza compromettere l'accuratezza dei risultati. Questo approccio è particolarmente utile nei casi in cui il sistema presenta una dimensione elevata e la simulazione diretta del sistema originale sarebbe troppo costosa.