A G22 kifejezés ellenőrzése, amelyet az Einstein-egyenletek (19.35), (19.31) és (19.32) segítségével végeznek, igen időigényes és bonyolult feladat. Az algebrai számításokat kézi számításokkal elvégezni rendkívül nehéz, ezért javasolt számítógépes algebrai programok használata. Ha ilyen programot használunk, akkor az első lépésként el kell végezni a G22 kiszámítását a megfelelő metrikából, amelyet a (19.11) egyenlet ad meg.

A G22 számításához először is helyettesíteni kell a megfelelő változókat, például C, rr és C, r-t az (19.46) egyenletből. Ennek eredményeként egy bonyolult kifejezés keletkezik, amely tartalmazza a méretű paramétereket és a különféle deriváltakat, mint például a R, t, R, r, A, t és A, tt kifejezéseket. Az ilyen típusú kifejezések helyettesítése és manipulálása folytatásával egy bonyolult egyenletet kapunk, amelyet az algebrikus számítógépes programok segítenek a legjobban kezelni.

A számítógépes programok alkalmazása előnyös, mivel lehetővé teszik a G22 és a hozzá kapcsolódó egyenletek hatékony ellenőrzését, miközben minimalizálják a manuális hibák lehetőségét és gyorsítják a folyamatot. Az egyes lépések során folyamatosan helyettesítjük a változókat és alkalmazzuk a megfelelő egyenleteket, amelyek fokozatosan egyszerűsítik a kifejezéseket.

Ezeket a lépéseket követve, a program segíthet abban, hogy a G22 kifejezést véglegesen leegyszerűsítsük, és ellenőrizzük, hogy az megfelel-e az Einsteini egyenletek követelményeinek. Az eredmények pontos számítása és a változók megfelelő behelyettesítése kulcsfontosságú a helyes eredmény eléréséhez.

Bár a számítógépes programok jelentősen segítenek ebben a folyamatban, a matematikai háttér megértése és a megfelelő lépések alkalmazása nélkül nem lehet teljesen biztos abban, hogy a helyettesítések és a különböző változók használata helyes-e. A programok a bonyolult kifejezések kezelésére szolgálnak, de az emberi szakértelem és a helyes megértés elengedhetetlen a pontos eredmények eléréséhez.

Ezenkívül, ha az ilyen típusú problémákat tovább kívánjuk bonyolítani, fontos figyelembe venni a különböző változók kölcsönhatásait és azok hatását az egyenletek egyszerűsítésére. A pontos helyettesítések és deriváltak alkalmazása nélkül a kifejezések túlságosan összetetté válhatnak, és az eredmény helyessége kétségessé válhat. Az ilyen típusú számítások mindig precizitást és figyelmet igényelnek, mivel a matematikai modellek és az Einstein-egyenletek alkalmazása szoros összefüggésben áll a relativitáselmélet alapjaival.

Mivel az Einstein-egyenletek és a kapcsolódó kifejezések bonyolultsága nagy odafigyelést és precizitást igényel, a felhasználóknak mindig tisztában kell lenniük azokkal az alapvető matematikai és fizikai fogalmakkal, amelyek lehetővé teszik számukra az ilyen típusú problémák helyes kezelését. Az algebrikus számításokat és a helyettesítéseket nem szabad elhamarkodottan végezni, mivel ezek döntő hatással vannak az eredményre.

Hogyan befolyásolják a geodetikus eltérések és a redshift drift az általános relativitás elméletében a kozmosz modellezését?

A relativisztikus kozmológia egyik kulcskérdése, hogy miként befolyásolják a geodetikus eltérések és a fényvisszaverődések az univerzum tágulásának és fejlődésének megértését. A geodetikus eltérés az, amikor két párhuzamosan mozgó objektum közötti távolság változik a gravitációs tér hatására. Ez a jelenség különösen fontos, ha a fény útját követjük a távoli égitestek irányába. Az alábbiakban megvizsgáljuk, hogyan kapcsolódnak egymáshoz az egyes téridőbeli vektorok és hogyan képezhetjük le a relativisztikus kozmológiai modelleket.

A téridőben egy objektum mozgása akkor tekinthető geodetikusnak, ha a sebességével párhuzamos vektorokat a tér görbületének megfelelően szállítják. Ennek pontosabb megértéséhez először definiáljuk a következő vektorokat: ha uOμu^\mu_{\mathcal{O}} az objektum sebességi vektora, amely párhuzamosan halad az γ0\gamma_0 görbével, akkor DuOμ=0Du^\mu_{\mathcal{O}} = 0 azaz a vektor szállítása nulla, azaz nem változik a mozgás irányában. Ezáltal biztosítjuk, hogy a pálya geodetikus. Az ilyen típusú vektorok a kozmológiai objektumok mozgásának és eltérésének precíz modellezésére szolgálnak.

A következő lépésben bevezetjük a bμb^\mu vektort, amely az Xμ=uOμ+bX^\mu = u^\mu_{\mathcal{O}} + b egyenlet segítségével definiálható. Ebben az esetben a bμb^\mu nullává válik az λO\lambda_{\mathcal{O}} paraméter mentén, és különféle geometriai feltételek szerint az élettartama során állandó marad. Fontos megjegyezni, hogy a bμb^\mu vektor nem felel meg teljes mértékben a geodetikus eltérések egyenletének, mivel egyes esetekben nem hozza létre az elvárt viselkedést. Ebből következik, hogy a bμb^\mu vektor felbontása további elemzéseket igényel.

A továbbiakban figyelmet kell fordítanunk a geodetikus eltérésekhez és azok hatásaira a fényvisszaverődés szempontjából. Az ilyen eltérések szerepe az, hogy biztosítják a távoli fényforrások és az azokkal kapcsolatos megfigyelések közötti összefüggéseket. Az egyik fontos következmény az, hogy a redshift drift egy olyan fizikai jelenség, amely meghatározza, hogyan változik a fényhullámok eltolódása, miközben a fényforrások a téridőben mozognak. Az ilyen típusú modellek segítenek jobban megérteni az univerzum tágulásának hatásait.

Az XμX^\mu vektorok projekcióját egy adott megfigyelő síkján és az kμk^\mu vektornál figyelembe kell venni a kozmológiai jelenségek modellezésekor. A megfigyelők egy-egy saját vektorának, uOμu^\mu_{\mathcal{O}}, a képletekben történő alkalmazása segíthet az olyan komplex paraméterek kiszámításában, mint az ősrobbanás utáni időszakokban való fényhullámok sebessége és a vöröseltolódás hatása.

A dinamikai egyenletek további kiterjesztései lehetővé teszik, hogy meghatározzuk az egyes geodetikus eltérések és drift hatását, például a fényforrások elhelyezkedésének változását az univerzumban. A kozmológiai mérések során alapvető, hogy a megfigyelők és az objektumok közötti eltéréseket jól modellezzük, és ezek az eltérések segíthetnek a tágulási sebesség és egyéb dinamikai paraméterek kiszámításában.

Az ilyen típusú modellek kiterjesztése további fontos kutatási irányokat eredményez, különösen az olyan fizikailag motivált képletek, mint a vöröseltolódás, a Jacobi mátrix és az area- és luminositás távolság driftek. Az ezekhez kapcsolódó további irodalom, például a Korzyński és Kopiński (2018), illetve Grasso, Korzyński és Serbenta (GKS, 2019) munkái, részletesebb és elmélyültebb megértést biztosítanak ezen jelenségek fizikájáról. Érdemes ezeket az alapvető megközelítéseket követni a kozmológiai modellek pontosabb kifejlesztéséhez.

Az ilyen típusú modellezés elmélete nem csupán a matematikai formulák kezelését jelenti, hanem a tér-idő bonyolult összefüggéseinek valódi megértését is. Mivel a relativisztikus kozmológia szoros összefüggésben áll az univerzum tágulásával és az anyag eloszlásával, a fény útjának követése és a geodetikus eltérések alkalmazása egyre fontosabb szerepet kap a jövőbeli kozmológiai kutatásokban. A fejlődő modellek és az új mérési technikák révén a pontosabb és részletesebb kozmológiai térképek elkészítése válik lehetségessé.

Hogyan befolyásolja a gravitációs és kozmológiai háttér a Lemaître–Tolman modelleket?

Az Einstein és Straus eredményei évtizedekig a relativitás általános következményeként voltak elfogadva. Azonban a (18.68) egyenlet nem szükséges, hogy érvényes legyen, ha az Einstein–Straus konfigurációt csupán egyetlen pillanatban, t = t₀-ként kezdeti feltételként alkalmazzuk egy L–T modellhez. Ekkor más tanulmányok (például Sato, 1984 és a hivatkozott munkák, Lake és Pim, 1985) eredményei arra mutatnak, hogy ha m < μ(rb), akkor a vákuum határa gyorsabban fog tágulni, mint a Friedmann háttér, míg ha m > μ(rb), akkor olyan kezdeti feltételek alkalmazhatók, amelyek hatására a vákuum összeomlani kezd. Ez azt jelzi, hogy az Einstein–Straus konfiguráció instabil a (18.68) állapot zavarására, és így egy kivételes helyzetet képez. Ez a jelenség Gautreau (1984) másik módszerével is vizsgálat alá került, aki egy E = 0 L–T modellt alkalmazott a (18.221) görbületi koordinátákban.

Ezekben a koordinátákban R az önszimmetria csoportjának pályáinak görbületi sugara, amelyek nem vesznek részt a kozmikus tágulásban. Ezért R bármelyik pálya esetében hosszmértékként használható. Gautreau konfigurációjában egy központi, véges kiterjedésű tömeg van egy táguló háttérbe ágyazva, amely a központi objektum felszínéig terjed. Az időbeli geodézikák egyenleteinek vizsgálatával Gautreau megmutatta, hogy ebben a modellben körpályák nem léteznek. Ez valójában egy Newtoni jelenség: Gautreau modelljében a kozmikus anyag sűrűsége kiterjed az egész bolygórendszerre, és a kozmikus tágulás következtében az anyag minden R állandóval rendelkező gömbfelületről kiáramlik. Ennek következményeként minden bolygó olyan gravitációs erő hatására mozog, amely idővel csökken, így az orbitális pálya spirálisan kifelé mozdul el. Gautreau levezette a Newtoni képletet az orbitális sugár változásának ütemére: dR/dt = 8πR⁴Hρ/(2μ), ahol R az orbitális sugár, H a Hubble-paraméter és ρ a kozmikus anyagsűrűség. Az effektus így nagyobb pályák esetén erősebb: Szaturnusz esetén (dR/dt)S = 6 × 10⁻¹⁸ m évente. Ez természetesen mérhetetlen (egy proton átmérője 1000 évenként!). Egy csillag esetén, az Androméda galaxis szélén, az effektus (dR/dt)gal = 1100 km évente lenne. Az effektus tehát rendkívül kicsi, de nem nulla. Az Einstein–Straus megközelítésében ez pontosan nulla volt. Mint korábban említettük, az Einstein–Straus modell instabil a (18.68) feltételek zavarásával szemben, ezért kevésbé reális, mint Gautreaué.

A következőkben az L–T modelleket fogjuk vizsgálni Λ = 0 esetén. Ahogy a 16.5. szakaszban meghatároztuk, az "apró horizont" (AH) a bezárt, csapdába esett felületek egy régiójának külső határa, míg a csapdába esett felület St olyan felület, ahonnan lehetetlen divergens fénynyalábokat küldeni – mivel mind a kifelé, mind a befelé irányuló nyalábok azonnal összefutnak: kμ;μ ≤ 0 St-n. Mivel az L–T modell gömbszimmetrikus, az AH-nak is gömbszimmetrikusnak kell lennie. A könyv legnagyobb részében az "apró horizont" kifejezés ezzel a jelentéssel fog szerepelni (azonban lásd a 18.13. szakaszt – a csapdába esett felületek és horizontok, amelyek nem tartalmazzák a központot, radikálisan különböznek). Így ennek meghatározásához és vizsgálatához elegendő, ha a fénysebes geodézikák családjait tekintjük, amelyek merőlegesen indulnak el egy r = konstans felületről. Az AH helyének meghatározásához meg kell keresnünk azt a felületet, ahol a kμ;μ minden jövőbeli irányú rádiós null-geodézissel nullává válik. Ehhez Szekeres (1975b) módszerét fogjuk alkalmazni.

A különböző L–T modellek, különböző szimmetriák és háttértágulás mellett, mindegyik esetben bemutatják, hogy a kozmikus háttér és a gravitációs hatások miként alakítják a fejlődő univerzumok geometriáját és a benne lévő objektumok viselkedését. Az ilyen típusú modellekben, amelyek különböző típusú pályákat és eseteket tartalmaznak, figyelembe kell venni a tágulás és a gravitáció kölcsönhatását, amelyek minden egyes rendszerre egyedi hatásokat gyakorolnak. Fontos megjegyezni, hogy a kozmológiai tágulás és a helyi gravitációs hatások, mint például a galaxisok és bolygórendszerek esetében, bár extrém kicsik lehetnek, mégis alapvetően formálják a kozmikus struktúrákat és azok időbeli fejlődését.

Hogyan segíthet a Netdata az infrastruktúra hatékony nyomon követésében és monitorozásában?
Miért válhatnak az alkohol- és drogproblémák bűnözői viselkedéssé és a társadalmi költségek hogyan növekednek?
Hogyan érte el a háború véget és mit jelentett ez a hétköznapi emberek számára?
Hogyan válik Wesley Malone a társadalom részesévé: A "Cop Out" és a magány tematizálása