A játékok magja és a koalíciós stabilitás szerepe

A játékok elméletében a koalíciók stabilitása és a játékok kimenetele közötti kapcsolat központi szerepet kap. A játékok magja (Core) az a halmaz, amely a legstabilabb eredményeket kínálja, mivel a benne lévő kimenetek nem javíthatók semmilyen koalíció által. A játékokat gyakran koalíciós versenyeknek tekinthetjük, amelyekben az egyes játékosok csoportosulásainak érdekei egyensúlyba kerülnek, és senki nem képes jobb eredményt elérni saját koalícióján belül, mint amit az egész csoport együttesen kínál.

Az alapvető fogalmak közé tartozik az "improvement upon" (javítás) és az "imputation" (elosztás). Egy koalíció S javíthatja a kimenetet egy adott hasznosítási profil szerint, ha létezik egy S által elérhető kimenet, amely minden tag számára előnyösebb, mint a központi kimenet. Ezt akkor mondjuk, hogy az adott kimenetet a koalíció "blokkolja". Más szóval, ha egy koalíció a saját erőforrásait felhasználva jobb eredményt tud elérni, mint amit az egész csoport javasol, akkor ez a koalíció a javasolt kimenetet nem fogadja el.

A "mag" (Core) fogalmát először Shapley (1952) és Gillies (1953) vezette be a TU játékok számára, majd Aumann (1961) bővítette ki NTU játékokkal. A mag definíciója szerint egy kimenet a játék magjában van, ha nincs olyan koalíció, amely javíthatna rajta. Az ilyen kimenet biztosítja, hogy minden koalíció számára lehetetlen jobb eredményt elérni, mint amit az adott kimenet kínál, tehát a játékosok kooperációja stabil marad.

A mag a stabil kooperációt eredményezi, mivel nem fordulhat elő, hogy egy kisebb koalíció egyetértsen a központi kimenet elleni fellépésben. A koalíciók nem tudják saját erőforrásaikkal javítani a helyzetüket, így a központi kimenet elosztása stabil marad. A "mag" tehát egy olyan elosztás, amelyet semmilyen koalíció nem tud felülírni.

Az alábbiakban bemutatott példák segítenek megérteni a mag stabilitásának működését. Egy gazdasági játékban, ahol minden szereplő a saját fogyasztása alapján nyer hasznot, és a kimenet egy meghatározott termelési függvény alapján van elosztva, az egyes háztartások számára javasolt elosztás akkor stabil, ha a koalíciók nem tudnak jobb eredményt elérni, mint amit az egész társaság kínál. Ez a stabilitás a termelési függvény monotónia tulajdonságának köszönhető, ami azt jelenti, hogy a termelés növekedése nem csökkenő hozamot eredményez.

A mag létezésének biztosításához fontos szerepet játszik a játék "balansz" jellemzője. Egy játék akkor rendelkezik nem üres maggal, ha minden koalíció számára az elosztott haszon és a koalíciók közötti erőforráselosztás egyensúlyban van. Ezt a jellemzőt "kiegyensúlyozottság"-nak nevezzük, és Shapley és Bondareva (1963) munkájában található leírás alapján egy játék akkor rendelkezik nem üres maggal, ha minden koalíció számára teljesíthetők a megfelelő feltételek, amelyek biztosítják az elosztás stabilitását.

A nem üres magokkal kapcsolatos további fontos fogalom a "piaci játék" (market game). A piaci játékok esetében a játékosok között az elosztás a rendelkezésre álló erőforrások és az egyes játékosok preferenciái alapján történik. A piaci játékok mindig nem üres maggal rendelkeznek, és ezek a magok erősebb stabilitást biztosítanak a koalíciók számára.

A mag és a piaci játékok közötti kapcsolatot a teljesen kiegyensúlyozott játékok (totally balanced games) fogalmával is leírhatjuk. Ezek azok a játékok, ahol minden aljáték is nem üres maggal rendelkezik. Ezt a jellemzőt Scarf (1967) bizonyította, és az ilyen játékok mindig piaci játékok, így ezek a stabilitás szempontjából kiemelkedően fontosak.

A koalíciók stabilitása és a mag létezése mellett a méltányosság (fairness) is fontos szempont a játékok elméletében. A méltányos elosztás azt jelenti, hogy az egyes játékosok között a nyereség egyenlően oszlik meg, figyelembe véve az ő hozzájárulásukat a közös cél eléréséhez. Ez a fogalom kiterjeszthető több játékosra is, és a cél mindig az, hogy a koalíciók közötti elosztás méltányos és igazságos legyen.

A játék elmélete alapján tehát a mag fogalma és annak stabilitása kulcsfontosságú, mivel ezek biztosítják, hogy a játékosok kooperációja hosszú távon fenntartható legyen, és hogy senki ne tudjon az egyes koalíciók érdekei ellen fellépni. A mag létezésének és stabilitásának biztosítása érdekében figyelembe kell venni a balanszot, a piaci jelleget és a méltányosságot, amelyek mind hozzájárulnak a játékosok közötti igazságos elosztáshoz és stabil együttműködéshez.

Hogyan érhetünk el gazdasági egyensúlyt, és milyen feltételek szükségesek hozzá?

A gazdaságok működésének egyik legnagyobb kihívása az, hogy miként érhetjük el azt az állapotot, amelyben az egyéni döntéshozók önérdekei közötti konfliktusok ellenére az összes gazdasági szereplő szükségletei és preferenciái összeegyeztethetők. Az ilyen egyensúlyi állapot kérdése sokszor rendkívül összetett, mivel a gazdasági szereplők döntései nemcsak hogy önállóak, hanem kölcsönösen befolyásolják egymást. A gazdaságokban résztvevő ügynökök száma gyakran elérheti a milliárdokat, és minden egyes szereplő számos termék és szolgáltatás iránti keresletét és kínálatát próbálja kiegyensúlyozni saját érdekeinek megfelelően. A kérdés tehát: miért nem vezet mindez kaotikus helyzetekhez, például a kereslet és a kínálat közötti hatalmas eltérésekhez? Miért nincs túlzott kínálat vagy kereslet?

A közgazdaságtan egyik alapvető kérdése az, hogy miként találhatók meg azok a körülmények, amelyek lehetővé teszik az egyensúlyi állapotok létrejöttét. Debreu (1998) szerint egy gazdaságban, ahol a szereplők döntései önállóak és különböző érdekeik vannak, mégis rendkívül ritka, hogy az egyes termékek piacán tartósan áruhiány vagy túlzott készlet halmozódik fel. Debreu kérdése arra irányul, hogy hogyan lehetséges, hogy az önérdekű döntéshozók közötti konfliktusok ellenére egyensúlyi állapotok jönnek létre a gazdaságban.

A gazdasági egyensúly létezésének kérdése nem csupán elméleti, hanem nagyon is gyakorlati jelentőséggel bír. Ha az egyensúlyi állapotok léteznek, akkor az azt jelenti, hogy az egyéni döntések összessége valamilyen módon összhangba hozható, és a gazdaság stabilitása biztosított. De vajon ez az egyensúlyi állapot minden gazdaságban jelen van, vagy bizonyos feltételekhez kötött? A történelmi tapasztalatok azt mutatják, hogy nem minden gazdasági rendszer éri el ezt az egyensúlyt. Az egyes gazdasági rendszerek fejlődésében számos olyan időszak volt, amikor a túlzott kereslet vagy kínálat, vagy az egyik piac egyensúlyának megbomlása volt tapasztalható. Ezért a gazdasági egyensúly csak bizonyos körülmények között valósulhat meg, és fontos, hogy ezek a körülmények tisztázva legyenek, ha valóban stabil és fenntartható gazdasági rendszert kívánunk építeni.

A gazdaságokban bekövetkező egyensúlyi állapotok meglétének és fenntartásának egyik alapvető kérdése az, hogy mi történik, amikor a gazdaság valamilyen zűrzavar, például túlzott kereslet vagy kínálat következtében kibillen az egyensúlyából. Hogyan lehet a gazdaságot visszaterelni az egyensúlyi állapotba? A gazdasági stabilitás kérdése tehát az, hogy hogyan és milyen mechanizmusok révén képes a gazdaság alkalmazkodni a változó körülményekhez. Az alkalmazkodás folyamata az úgynevezett „piaci tisztulás”, amely során az árak és a termelés nagysága a kereslet és a kínálat változásaihoz igazodik.

A piaci tisztulás folyamatának eredményeként a gazdaság képes visszatérni az egyensúlyi állapotba, és stabilizálódik. Azonban nem minden gazdaság képes gyorsan alkalmazkodni, és nem minden gazdasági mechanizmus vezet automatikusan egyensúlyhoz. Éppen ezért, a gazdaságok stabilizálására irányuló politikai döntések gyakran abból a meggondolásból születnek, hogy hogyan lehet a gazdaságot az egyensúlyi állapotba terelni, különösen akkor, ha a piacok nem képesek ezt önállóan elérni.

A másik fontos kérdés a gazdasági egyensúly állapotainak számának és jellegének meghatározása. Milyen körülmények között létezik egyetlen egyensúlyi állapot, és mikor lehetséges, hogy több egyensúly is létezik? Az egyensúlyi állapotok sokfélesége különösen fontos lehet a gazdasági politika szempontjából, mivel a gazdaság különböző részei más-más módon reagálhatnak a változásokra. Ha az egyensúly többféle formában is létezhet, akkor könnyen előfordulhat, hogy a gazdaság más úton halad el, mint amit a politikai döntéshozók előre meghatároztak.

Fontos megérteni, hogy a gazdasági egyensúly nem csupán elméleti konstrukció, hanem a gazdaság stabil működésének alapvető eleme. A jól működő gazdaságok azok, amelyek képesek az egyensúly állapotait elérni és fenntartani, miközben képesek reagálni a külső és belső változásokra. A piaci mechanizmusok és az állami politikák együttesen alakítják ki azt a környezetet, amely lehetővé teszi az egyensúlyi állapotok megteremtését és fenntartását.

Miért fontos a stabilitás és a jól viselkedő komparatív statika a dinamikus modellekben?

A komparatív statika és a dinamikus elemzés kapcsolata alapvetően fontos szerepet játszik a gazdasági modellezésben. Christensen és Cornwell (2018) munkája különösen jelentős ezen a téren, mivel azt állítják, hogy a diszkrét időben történő stabilitás szükséges és elégséges feltétel ahhoz, hogy a komparatív statikák jól viselkedjenek egy széleskörű, sima, lokálisan monotón modellek osztályán. Az általuk felállított eredmények különösen hasznosak lehetnek azok számára, akik a gazdasági modellek dinamikai stabilitásával és a paraméterek változásaira adott válaszok vizsgálatával foglalkoznak.

A komparatív statika, amely a változó gazdasági paraméterek hatását vizsgálja a rendszer egyensúlyára, alapvetően azzal a kérdéssel foglalkozik, hogy mi történik egy rendszerben, ha bizonyos paraméterek megváltoznak. Az ilyen típusú elemzés gyakran alapvető fontosságú a gazdaságpolitikai döntések előkészítésében, mivel lehetőséget ad a gazdasági rendszer reakcióinak előrejelzésére. Azonban ahhoz, hogy a komparatív statika jól viselkedjen, az egyensúlynak stabilnak kell lennie.

Christensen és Cornwell eredményei szerint a dinamikai folyamatokban való stabilitás nem csupán egy hasznos elméleti feltétel, hanem szükséges a jól viselkedő komparatív statika megértéséhez és alkalmazásához. A stabilitás azt jelenti, hogy egy rendszer egy kis zavar hatására nem esik ki az egyensúlyból, hanem képes visszatérni rá. A diszkrét időben való stabilitás ugyanis alapot ad arra, hogy a modellben szereplő paraméterek változásai ne okozzanak váratlan, irreverzibilis változásokat a rendszer viselkedésében.

A dinamika és a stabilitás fogalmának meghatározása nélkülözhetetlen ahhoz, hogy a gazdasági rendszerek és azok reakciói valósághűen modellezhetők legyenek. A változások hatása, mint a kereslet és a kínálat változása, vagy a gazdasági sokkhatások elemzése a rendszer viselkedésének tanulmányozásával válik érthetővé. Az ilyen típusú vizsgálatok során különböző dinamikai rendszerek, például a Walras-féle cseregazdaságban végbemenő árfolyamszabályozás, szoros figyelmet igényelnek.

Christensen és Cornwell megállapításai, amelyeket az egyensúlyi viselkedéshez és a jól viselkedő komparatív statikákhoz kapcsolódóan tettek, segítenek megérteni, hogyan lehetséges a dinamikai modellekben előrejelezni az egyensúly változásait. A jól viselkedő komparatív statika arra utal, hogy ha a változás iránya egy adott paraméter esetén biztosan meghatározható, akkor az egyensúlyban bekövetkező változások is világosan és érthetően megjósolhatóak. Az ilyen előrejelzések elengedhetetlenek a gazdasági rendszerek stabilitásának megértésében, mivel lehetővé teszik a döntéshozók számára, hogy hatékonyabban reagáljanak a változó gazdasági környezetekre.

A stabilitás és a jól viselkedő komparatív statika közötti kapcsolat kulcsfontosságú az empirikus modellek érvényességének meghatározásában is. Ha azt feltételezzük, hogy csak stabil egyensúlyok relevánsak a gazdasági modellekben, akkor a stabilitás szükségessége és elegendősége biztosítja a rendszer reális és alkalmazható eredményeit. Mindez különösen fontos, ha figyelembe vesszük, hogy a gazdasági modellek, amelyek monotón dinamikákkal rendelkeznek, jelentős empirikus tartalommal bírnak, mivel képesek cáfolható előrejelzéseket adni.

Christensen és Cornwell eredményei arra is rávilágítanak, hogy a dinamikus modellek nem csupán elméleti konstrukciók, hanem valós gazdasági rendszerek viselkedését is képesek tükrözni. Az általuk felállított eredmények, amelyek a stabilitás és a jól viselkedő komparatív statika kapcsolatát vizsgálják, azt mutatják, hogy a megfelelő stabilitás mellett a gazdasági rendszer megfelelő válaszokat adhat a paraméterek változásaira. Ezen túlmenően a dinamikus modellek jól alkalmazhatóak a gazdaságpolitikai döntések megalapozásában, hiszen a paraméterek és azok hatásainak előrejelzése segítheti a stabil gazdasági környezet kialakítását.

Végül, ha továbbra is fontos szerepet kapnak a dinamikus rendszerek stabilitásának kérdései, akkor a diszkrét időbeli modellek mellett a folyamatos időbeli tâtonnement dinamikák is alkalmazhatók. Christensen és Cornwell szerint a diszkrét és a folytonos időbeli modellek között nincs alapvető különbség ezen az alapon, és az alkalmazott elméleti eszközök adaptálhatók a különböző típusú időbeli modellekre is.

Hogyan alakíthatók a vámreformok a jóléti növekedés érdekében?

A két ország jóléti szintjét az alábbi egyenletek jellemzik: u₁(x₁₁, x₁₂) = x₁₁, x₁₂ és u₂(x₂₁, x₂₂) = x₂₁, x₂₂. A lehetséges elosztások halmaza S = {(x₁, x₂) | x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0 és x₁ + x₂ = ω₁ + ω₂}. Az országok csak az 1-es áru vámját vethetik ki, és az i ország által kivetett vám ti = i 0 és t₀.5₁ = −0,0,0, t₅₂ = 0,0. A negatív ti értékek támogatást jelentenek. Ez a kereskedelmi adóstruktúra azt jelenti, hogy ha az 1-es ország exportálja az 1-es árut, akkor az exportot támogatja, míg ha a 2-es ország importálja az 1-es árut, akkor vámot vet ki rá. Az i országban a hazai árak vektora qi = pw + ti. Az egyensúlyi feltételek: ∇ₓᵢu∑ᵢ(xᵢ) ∝ q∑ᵢ (hasznosság maximalizálása); pTw · (xᵢ − ωᵢ) = 0 (költségvetési korlát); és i xᵢ = i ωᵢ (piac tisztulása). A meghatározott ellátottságok, hasznosságok és kereskedelmi adók/támogatások mellett az egyensúlyi fogyasztási elosztások a következők: x₁ ≈ [2,30], x₂ ≈ [1,48], x₁₂ ≈ 2,52 és pw₁ ≈ 0,69.

Az egyensúlyi állapotban felmerül a kérdés, hogy létezik-e olyan hatékony és Pareto javító változtatás az elosztás terében (S), és ha igen, mi lenne annak formája? Yun megközelítése az ilyen kérdések megválaszolására az alábbi optimalizálási problémákon alapul. Az első optimalizálási program: Adott pozitív számok {ch}, h = 1, . . . , n, minimalizálja a λ ∈ Δ1,n−1 |πK h λhchvh| kifejezést. A második optimalizálási program: λ ∈ rel int(Δ1,n−1) esetén maxd Πh(vTh · d)λh, úgy, hogy d ∈ K D, vTh · d ≥ 0 minden h = 1, . . . , n esetén.

Yun (2010) megjegyzi, hogy az első probléma a teljes túlfizetésre vonatkozó részesedési arányok kiválasztásával foglalkozik, és említi Malinvaud (1972) MDP cserefolyamatát. Kiderül, hogy az első problémában alkalmazott kifejezés a Pareto hatékony pontok jellemzésére egy Pareto javító változást eredményez a Pareto hatékony pontokból való eltérés esetén. Ugyanakkor ennek a problémának a hátránya, hogy a megoldás az értékkritériumok hosszának kiválasztásától függ. A második probléma ezt elkerüli, mivel az egyéni túlfizetések általánosított Nash-termékének kitevőit választva definiálható. Ennek a problémának a megoldása nem függ a kritériumvektorok hosszától.

A fentiek alapján fontos figyelembe venni, hogy amikor különböző vámváltoztatásokat elemzünk, nemcsak a közvetlen hatásokat kell figyelembe venni, hanem az optimális változásokhoz vezető egyes tarifák közötti összefüggéseket is. A tanulmányban szereplő egyensúlyi fogyasztási elosztások és vektoregyenletek megértése segít a különböző vámváltoztatások hatásainak mérlegelésében, és alapot ad egy hatékony és Pareto javító tarifaváltoztatás kiszámításához.

Mindezek alapján a vámreformok hatékonyságának maximalizálása érdekében az alapvető közgazdasági modellek és az optimalizálási problémák megoldása szükséges. Az optimális vámváltoztatás kiválasztásakor a legfontosabb tényező, hogy minden változtatásnak közvetlenül javítania kell a jólétet anélkül, hogy negatív hatásokkal lenne. Ez megvalósítható a vámok és a kereskedelmi adók finomhangolásával, hogy azok a lehető legnagyobb jóléti növekedést hozzák, miközben figyelembe veszik a gazdaság általános egyensúlyi állapotát. A matematikai megközelítések és az optimalizálási módszerek alkalmazása segíthet az ilyen reformok tervezésében, figyelembe véve a gazdaság különböző szintjeit és szektorait.

Hogyan határozzák meg az egyensúlyi árakat és azok számát egy gazdaságban?

A matematika és gazdaságtan egyesített megközelítéseiben gyakran találkozhatunk azzal a kérdéssel, hogyan jellemezhetőek a gazdaságok különböző egyensúlyi állapotai. A Walras-i egyensúly elmélete, amelyet számos közgazdász, így például Balasko (1980, 1988, 2009) is kifejtett, segít megérteni, hogyan kapcsolódik az egyensúlyok számának ismerete azok pontos értékeinek meghatározásához. Ez a megközelítés különösen akkor érdekes, ha az egyensúlyok száma nem egyszerűen egy vagy két, hanem több is lehet.

A Walras-i egyensúlyi állapotok és azok meghatározása, bár alapvetően geometriai eszközökkel is leírható, nem csupán a matematikai érdeklődők számára hasznos. A gazdasági rendszerek modellezése során fontos szempont, hogy hogyan történik az erőforrások elosztása, és hogyan befolyásolja ez a különböző gazdasági ágakat és azok dinamikáját. A bemutatott modell, amely a háromszögek területének ortogonális vetítésével kapcsolatosan hoz példát, egyaránt használható a valós gazdasági rendszerek egyszerűsített modellezésére.

Képzeljük el, hogy egy gazdaság állapotát az úgynevezett egyensúlyi felület jellemzi. Ezen a felületen egyes állapotok — mint például az egyensúlyi árak vagy jövedelmek — nem csupán véletlenszerűen jelennek meg, hanem egy meghatározott struktúra mentén, amely a gazdaság összes döntéshozójának preferenciáira és erőforrás-előállítási lehetőségeire épít. A fontos megfigyelés itt az, hogy az egyensúlyoknak van egy konkrét geometriai és mérési tartományuk, és a különböző gazdasági helyzetek, amelyeket különböző piacokon találunk, más-más típusú egyensúlyokat eredményezhetnek. Ezt a jelenséget úgy is értelmezhetjük, hogy a gazdaság különböző részei különböző "rétegekbe" rendeződnek, és minden egyes réteghez egy konkrét piac és annak kereslete és kínálata tartozik.

Fontos szem előtt tartani, hogy míg egy-egy gazdasági rendszer több egyensúlyt is elérhet, ezek a gazdaságok jellemzően nem azonos módon reagálnak a piaci változásokra. A Walras-i egyensúlyi rendszerekben — különösen a "szabályos" gazdaságok esetében — az egyensúlyi állapotok és azok kapcsolata pontosan meghatározottak, és ezek az állapotok nem véletlenszerűen változnak. A rendszer stabilitása és az egyensúlyi árak értékeinek kiszámíthatósága gyakran elengedhetetlen az optimális döntéshozatalhoz, legyen szó a kormányzati szabályozásról vagy a piaci szereplők stratégiáiról.

A gazdasági egyensúlyok számának és természetének megértéséhez elengedhetetlen, hogy tisztában legyünk a különböző típusú gazdaságok jellemzőivel. A Walras-i egyensúly modellezése azokat az eseteket is leírja, amikor a gazdaságok nem egy, hanem több egyensúlyi állapotot is elérhetnek, és ez a több egyensúlyú rendszer hogyan befolyásolja az egész gazdasági szövetet. Az egyensúlyi állapotok száma és azok pontos értékei kulcsfontosságúak ahhoz, hogy megbízható előrejelzéseket készíthessünk a gazdaságok jövőbeli viselkedéséről.

Mindezek mellett a gazdaságokban előforduló "kritikus" vagy "szingularitás" állapotok, ahol az egyensúlyok viselkedése nem állandó, szintén fontos szerepet játszanak a modell teljes megértésében. Azok az állapotok, ahol az egyensúlyi árak vagy jövedelmek nem lineárisan változnak, hanem hirtelen elmozdulásokkal reagálnak a piaci környezet változásaira, gyakran előre nem látható következményekkel járhatnak. Az ilyen típusú gazdaságok nemcsak matematikailag érdekesek, hanem valós gazdasági elemzések során is figyelembe kell őket venni.

Ezért elengedhetetlen, hogy a gazdaságok különböző egyensúlyi állapotait ne csupán a rendelkezésre álló adatok alapján modellezzük, hanem figyelembe vegyük a különböző típusú piaci viselkedéseket és azok kölcsönhatásait is. Az egyensúlyi árak és azok száma tehát nemcsak statikus matematikai objektumok, hanem dinamikusan változó tényezők, amelyek a gazdasági döntéshozók, a piaci struktúrák és a globális gazdasági trendek függvényében módosulhatnak.