A szeparabilitás elérése az általános relativitáselmélet és a Maxwell-egyenletek kombinált megoldásaiban kulcsfontosságú szerepet játszik. A Kerr-metrikus megoldás különböző fizikai folyamatokat ír le, különösen akkor, ha az elektromágneses mezőt is figyelembe vesszük. Az alapvető probléma az, hogy miként lehet a nemlineáris egyenletek megoldásait szeparálni, hogy a szimmetria és a gravitációs hatások különböző irányú variációikban is kezelhetők legyenek.

A nemlineáris differenciálegyenletekben, mint amilyen a Kerr-metrikus megoldás, a szeparálhatóság egy rendkívül fontos kérdés. A kérdés, hogyan választhatjuk el az egyes változókat, például a térbeli koordináták (r, μ) és az időt, alapvetően meghatározza a modellünk megoldásainak szerkezetét. Az előzőekben elérhető eredmények egyenletei arra mutatnak, hogy a szeparálás csak akkor valósítható meg, ha a változók szorzataként kifejezett formát kapunk, különálló funkciók formájában.

Az általános megoldás, hogy az egyenletet −g/Z tényezővel osztjuk, amely a szimmetriától függően r és μ változókon alapulhat. Ennek következményeként a térbeli koordináták függvényei külön választhatók, ezáltal egy egyszerűbb formát kapunk, amit a továbbiakban átalakíthatunk egy olyan egyenletté, amelyben Z = ZrQμ − ZμQr (21.68) típusú kifejezés szerepel. Azonban még ekkor is fennállhatnak problémák, például a m0 tartalmú tagok miatt, amelyek szintén szeparációs problémákat okozhatnak.

A szeparálhatóság további szükséges, de nem elégséges feltétele az, hogy a Z és a Q függvényei a megfelelő formában szerepeljenek, mint például Z = Uμ(μ) + Ur(r). Ebben az esetben a Z,rμ deriváltjának zérónak kell lennie, ami három különböző lehetőséget ad, hogy elérjük a szeparálhatóságot:

  1. Legalább az egyik Zr, Qμ, Zμ, Qr értéke nulla.

  2. Zr és Zμ konstansok.

  3. Qr és Qμ konstansok.

Ez a megközelítés egyszerűsíti a feladatot és közelíti a Schwarzschild-limitet, ahol az 1. eset a legáltalánosabb. A konstansok értékeinek megfelelő beállítása elvezet minket a kívánt metrikai formákhoz, amelyeket már az elektromágneses mezővel kiegészítve is alkalmazhatunk.

Amikor az elektromágneses mezőt figyelembe vesszük, a Klein-Gordon egyenletet kell módosítanunk, hogy figyelembe vegyük a 4-potenciál hatását. A legegyszerűbb esetben, amelyet a Schwarzschild-megoldás analógiájára veszünk, csak a t- és φ-komponensek különböztethetők meg, és ezek is kizárólag r és μ függvényei. A Maxwell-egyenletek, amelyek az elektromágneses tér leírására szolgálnak, szintén módosulnak, és a megfelelő egyenletek alkalmazásával meghatározhatjuk a mezőt, amely egy adott, r és μ változókon alapuló struktúrában van jelen.

A Maxwell-egyenletek és az Einstein-egyenletek megoldásai között különböző összefüggésekre figyelhetünk fel. Például az Einstein-tenzor komponensei és a megfelelő elektromágneses mező egyenletek közötti kapcsolat, amelyek segítenek meghatározni a térbeli és időbeli struktúrákat. A folyamat során fontos, hogy az egyenletekben szereplő konstansokat megfelelően válasszuk meg, mivel ezek meghatározzák az egyenletek fizikai jelentését és a megoldásokat. A Kerr-metrikus megoldásban a Maxwell-egyenletek megfelelő kezelése segít abban, hogy a téridő és az elektromágneses mező közötti kapcsolatot egyértelműen meghatározzuk.

Az egyenletek numerikus megoldása után a mérsékelt megoldások és a Schwarzschild-korlátok figyelembevételével az eredmények érdemi fizikai értékelése történhet. A különböző konstansok és paraméterek megfelelő beállítása után elérhetjük a kívánt fizikai következtetéseket, például a téridő görbületét és az elektromágneses mező hatásait a gravitációs térben.

Fontos figyelembe venni, hogy az ilyen típusú megoldásoknál mindig szükség van a megfelelő határfeltételek és a szimmetriák figyelembevételére. Ezek segítenek biztosítani, hogy az eredmények fizikailag ésszerűek legyenek, és elkerülhetők legyenek a nem kívánt szingularitások vagy más anomáliák, amelyek a fizikai magyarázatok szempontjából problémásak lehetnek.

Hogyan képezhetjük le a gravitációt a Fermi-koordinátákban?

A gravitáció általános relativitáselméletbeli leírása alapvetően a geodézikák tulajdonságainak vizsgálatán alapul, mivel a gravitáció az űr-idő görbületének eredménye. A geodézikák olyan trajektóriák, amelyek mentén egy szabadon mozgó test halad gravitációs erő hatására, és a mozgásuk egyenletes, azaz nincsenek más erők, amelyek hatnának rájuk. Az általános relativitáselméletben az egyik kulcsfontosságú eszköz a Fermi-koordináták használata, amelyek lehetővé teszik a helyi, inerciális referenciakeretek meghatározását egy adott geodéziskörnyezetben.

A Fermi-koordináták alkalmazásával egy adott timelike geodézist, G-t, amely egy adott test mozgását írja le, egy olyan koordináta-rendszerben ábrázolhatunk, amelyben a téridő görbülete mentén a Christoffel-szimbólumok eltűnnek. Ez azt jelenti, hogy az adott geodézisen, ha a megfelelő alapot párhuzamosan szállítjuk, akkor a Christoffel-szimbólumok nullává válnak, és így a geodézissel párhuzamosan történő szállítás nem vezet további elmozdulásokhoz a koordinátákban. A Fermi-koordináták tehát olyan lokális inerciális rendszert biztosítanak, amely a gravitációs tér nélküli viselkedést utánozza, tehát a szabad mozgás a geodézisen egyenes vonalú mozgásként jelenik meg.

Azonban a Fermi-koordináták nem minden geodézisen működnek egyformán. Ha a geodézisen szingularitások vagy rendellenességek vannak, akkor a koordináták nem adnak egyértelmű leírást. A Fermi-koordináták akkor működnek megfelelően, ha a vizsgált geodézis nem túl messze van az alapgeodézistől, különben a geodézisek, amelyek merőlegesek a vizsgált geodézisre, keresztezik egymást, ami torzítaná a leírást.

A Fermi-koordinátákban a tér és idő koordinátáit az alábbi módon definiálhatjuk: az idő koordináta az affine paraméter mentén változik, míg a tér koordinátákat a geodézisen párhuzamosan szállított alapok segítségével határozhatjuk meg. Ezen koordinátákban a geodézisek görbületét figyelmen kívül hagyva, a szabad mozgás egyenes vonalakként ábrázolható. Ez a viselkedés megerősíti, hogy a geodézisek a szabad mozgás trajektóriái, ami összhangban van az általános relativitáselmélet alapfeltevésével.

A Fermi-koordinátákban tehát a geodézisek szabad mozgásának ábrázolása nemcsak a gravitációs hatások eltűnését eredményezi, hanem egy lokális inerciális rendszert is biztosít, amely a geodézis görbületek nélküli viselkedését utánozza. Mindez segít abban, hogy jobban megértsük a gravitáció természetét azáltal, hogy a koordináták közvetlenül kapcsolódnak a geodézisekhez és az azok mentén végzett mozgáshoz.

Fontos megjegyezni, hogy az ilyen típusú koordináták használatakor figyelembe kell venni a téridő görbületének mértékét, és nem minden geodézisben működnek egyformán a Fermi-koordináták. A koherens modell kidolgozása tehát szükségessé teszi az olyan tényezők figyelembevételét is, amelyek a geodézisek közötti távolságot és az ezen távolságok mentén elvégzett szállításokat befolyásolják.

Az általános relativitáselmélet és a Newtoni gravitáció közötti kapcsolatot is fontos megérteni ezen az úton. Amikor a gravitációs tér hatásait nullázzuk, akkor a relativitáselmélet visszatér a speciális relativitás elméletéhez, amely a szabad mozgást az abszolút tér és idő elméleteként kezeli, és az elmélet egy olyan limitjéhez érkezünk, amely megfelel a Newtoni gravitációnak, ahol a fény sebessége végtelen nagy. Ezen elméletek közötti átmenet alapvetően a gravitációs tér elméleti viselkedésének megértésére szolgál, és segít a gravitációs egyenletek helyes alkalmazásában, különösen a kozmikus rendszerek leírása során.

A gravitációs mezőt az olyan tényezők, mint az energia, impulzus és a közvetlen anyag-energiatárolás, befolyásolják, így az energia-impulzus tenzor adja meg azokat az alapvető komponenseket, amelyek meghatározzák a gravitációs forrást. Az energia-impulzus tenzor segítségével az általános relativitáselmélet egyesíti a gravitációs és dinamikai hatásokat, és meghatározza, hogy miként viselkedik a gravitációs mező a különböző típusú anyagok és energiaminőségek mellett.

Miért az Einstein-egyenletek az alapja a gravitációs elméleteknek?

A gravitációs elméletek terjedelmes matematikai háttere az elmúlt évszázadok tudományos gondolkodásának alapvető részévé vált. A gravitáció mint fizikai jelenség évezredek óta foglalkoztatja az emberiséget, de a jelenlegi megértésünkhöz a legnagyobb hozzájárulást Albert Einstein tette a 20. század elején. Az Einstein-egyenletek, amelyek a generalizált relativitáselmélet szívét képezik, a gravitációt nem csupán egy erőként, hanem a téridő görbüléseként írják le, amelyet a benne lévő anyag és energia alakít.

Az Einstein-egyenletek származtatása a fizikában egyedülálló módon ötvözi a geometriai gondolkodást a fizikai jelenségek modellezésével. A gravitáció hatásait azzal a közvetlen összefüggéssel magyarázza, hogy a téridő görbülése hogyan függ az anyag eloszlásától. A kérdés, hogy miért választotta Einstein és más tudósok ezt a megközelítést, kulcsfontosságú, mivel a gravitációt korábban Newton klasszikus törvényei alapján vizsgálták, melyek egyenletes erőt feltételeztek, nem figyelembe véve a téridő szerkezetét.

Einstein az általa megalkotott matematikai formalizmusban a metrikus tenzort alkalmazza a gravitációs tér jellemzésére. A gravitáció hatása a téridőben a metrikus tenzor első és második deriváltjaiban keresendő, amely hasonló a Newtoni gravitációs potenciálhoz, de a relativitáselméletben a gravitáció nem egy egyszerű erő, hanem az anyag által meghatározott téridő görbülete. A gravitációs potenciál tehát egy összetettebb szerepet kap a geometriai szempontból, hiszen nemcsak az erő mértékét, hanem a téridő struktúráját is befolyásolja.

A Riemann-tenzor, amely a téridő görbületét írja le, egy negyedik rendű tenzor, míg az energia-momentum tenzor másodrendű. Ez azt sugallja, hogy ha a Riemann-tenzort egy olyan mennyiséggel egyenlővé tennénk, amely az energia-momentum tenzorból származik, akkor a gravitációs mező forrása a matéria sűrűségének kvadratikus függvénye lenne, ami megnehezítené az áttérést Newton elméletére. Ezért inkább a Riemann-tenzorból egy kiválasztott mennyiséget, az ún. Ricci-tenzort kell egyenlővé tenni az energia-momentum tenzorral.

A Ricci-tenzor tehát a gravitációs tér egyik kulcsfontosságú eleme, mivel az anyag sűrűségéből származó második deriváltak segítségével modellezi a téridő görbületét. Ezen okból kifolyólag egy jól működő jelölt a bal oldali egyenletre a gravitációs mezőt leíró egyenletekben a következő lehet: Rαβ = κTαβ, ahol κ egy konstans tényező. Azonban az ilyen típusú egyenletek nem egyeznek meg teljesen a várható eredményekkel, mivel a Ricci-tenzor nem teljesíti azt az identitást, amely a Bianchi-identitásokból adódik.

A Bianchi-identitásokból eredő összefüggések és a Ricci-tenzor analógiájaként egy másik fontos mennyiség is felmerül, amely az Einstein-tenzorként ismert. Az Einstein-tenzor a következő formában van definiálva: Gαβ = Rαβ − (1/2)gαβR. Ezen egyenletek a gravitációs mező forrásaként az energia-momentum tenzort tartják számon, és jól illeszkednek a téridő görbületének leírásához.

A legtöbb gravitációs elmélet, amely az újtoni elmélet és a speciális relativitáselmélet alapjaira épít, a variációs elvek alapján vezethető le, és ebben a kontextusban egy másik jelentős figura, David Hilbert szerepe is fontos. Hilbert különböző módszereket alkalmazott a gravitációs elméletek levezetésére, de az ő származtatása hasonló logikai vonalon haladt, mint Einsteiné. Míg Einstein a fizikát és matematikát egyesítve származtatta az egyenleteit, Hilbert a variációs elveket alkalmazva próbálta meg ugyanazt a célt elérni, és egyre inkább a matematikai struktúrák felé orientálódott.

Hilbert elképzelései különböztek Einsteinétől, de egyetértettek abban, hogy a gravitációs egyenleteknek matematikai axiómákból kell származniuk. Hilbert axiómái a következő elvekre építettek: az akciós integrálnak skaláris mennyiségnek kell lennie, és a mezőegyenletek másodrendű differenciálegyenleteknek kell lenniük. Ez biztosítja, hogy a gravitációs elmélet koherens legyen, és matematikailag is helyes legyen.

A variációs elvek alkalmazása azonban nem jelent egyetlen egyetlen megoldást a gravitációs elméletek számára. Az elméletben alkalmazott axiómák és az őket követő gondolatmenet lehetőséget adnak más alternatívák kialakulására, amelyek szintén koherens módon leírják a gravitáció hatásait, de a gravitációs elméletek többsége végül Einstein elméletének keretein belül maradt, mivel az sikeresen átment minden kísérleti teszten.

A gravitációs elméletek különböző változatai, bár érdekesek, mind az Einstein-elmélethez képest kisebb kiegészítéseket tartalmaztak, vagy nem tudták megmagyarázni azokat a kísérleti eredményeket, amelyeket a generalizált relativitáselmélet az idők során biztosított. Az Einstein-egyenletek tehát a gravitáció pontos leírása terén továbbra is a legszélesebb körben elfogadott és alkalmazott formát képviselik, megerősítve a relativitáselmélet helytállóságát.

Milyen szerepet játszanak a variációs elvek az Einstein-egyenletek deriválásában?

Ha 𝒱 ℋd4x egy skaláris mennyiség, akkor ℋ-nek a −1 súlyú skaláris sűrűségnek kell lennie, mert a térfogat eleme d4x skaláris sűrűség +1 súlyú. A legegyszerűbb −1 súlyú skaláris sűrűség −g. Így ℋ = −gH, ahol H egy megfelelő skaláris mennyiség.

Az Euler-Lagrange egyenletek rendje kétszerese a cselekvési integrál legmagasabb rendű deriváltjának. Ezért a legjobb, ha H csak gμν és gμν,λ függvénye. Azonban nem lehet nem-triviális skalárt alkotni algebrai módon gμν és gμν,λ = ρ g + ρ μλ νρ g νλ μρ kombinálásával, mivel a Christoffel-szimbólumok nem tenzorok. Ha H-ban gμν második deriváltjai szerepelnek, azok nem járulnak hozzá az Euler-Lagrange egyenletekhez, ha olyan divergenciába gyűjthetők, amely a integrálási térhatáron nulla. Ez akkor lehetséges, ha gμν,ρσ lineárisan lép be H-ba, vagyis csak olyan kifejezésekkel vannak kontrahálva, amelyek nem tartalmaznak gμν,ρσ-t. A Riemann-tenzor lineáris kifejezései ilyen formájúak. Az egyetlen kifejezések, amelyeket a Riemann-tenzorból fel lehet építeni és lineárisak gμν,ρσ-ban, a következők: Rρβρδ = Rβδ = −Rρβδρ és gαβRαβ ∫= R. Ezért H = gαβRαβ = R és √ Wg = −gRd4x. (12.22)

Pontosabban, ez az akcióintegrál a mezőegyenletek baloldalára vonatkozik. A teljes akcióintegrál így néz ki: ∫ W = Wg + Ld4x, (12.23), ahol L = 0 vákuumban. Mielőtt kiszámítanánk δWg/δgαβ , két segéd-egyenletet kell figyelembe venni:

1 δg = ϵα1...α4ϵβ1...β4gα 3 1β g1 α g 2β2 α3β δg! 3 α4β4 1 = gϵα1...α4gβ1ρ1 . . . gβ4ρ4ϵρ1...ρ gα g 3! 1β g g 1 α2β2 α3β δ4 3 α4β4 1 = gδα1...α4 ρ1 ρ2 3 ρ1...ρ δ δ 4 α1 α δρ3 β ρ α g 4 4δg 3 α4β = ggαβδgαβ , (12.24)

2 4 δgαβ = −gαρgβσδgρσ. (12.25)

(12.24)-ben az (3.39)-et, annak deriváltját, (7.103)-at, (3.32)-t és (3.37)-t használtuk. Az (12.25)-ben az egyenlet gαρgβρ = δαβ deriválásával következik. Érdemes megjegyezni, hogy a Christoffel-szimbólumok variációi különbségek a Christoffel-szimbólumok között, amelyeket különböző metrikus tenzorok számítanak ugyanazon a ponton:

δ = [g + δ} βγ βγ .. g..]− [g ] . ( βγ .. 12.26)

Ezért δ α egy tenzor, mivel a nem-tenzoriális tagok (4.23)-ban kioltódnak a (12.26)-os kombinációban. A δ α kovariáns deriváltját kiírva és összehasonlítva azt δR βγ αβ-al, amit a Riemann-tensor definíciója alapján számítunk, azt találjuk, hogy ρ ρ δRαβ = − δ ; + δ ; . (12.27)

Innen ∫ { 1 √ δW σ g = d4x − √ ggαβδg − }−)gg αρ]g}β Rαβδgρσ 𝒱 2 − αβR g 4 √ [ ( { }) ( { + −ggαβ − ρ ρ δ ; + δ ; . (1 .28) αρ β αβ ρ 2

A második sor kifejezése az alábbiaként írható: √ { }) − −ggαβ ρ √ ρ δ ; gαβδ ; 29) αρ β + −g αβ ρ (12. √ mert −g és gαβ kovariánsan állandóak. Azok a kifejezések, amelyek zárójelekben szerepelnek, −1 súlyú vektoriális sűrűségek. Így, ahogy az 4.1-es szakaszban is bemutattuk, a kovariáns divergenciájuk egyenlő az egyszerű divergenciájukkal: [ ( √ { }) ( { }) ] − ρ ggαβ (− ρ δ ; αρ β + δ ; αβ ρ √ { } √ { }) = − −ggαβ ρ δ + − β ggαρδ , 12.30) αρ αρ β ( (a második tagban ρ és β felcserélésre került). Most látható, hogy (12.30) egy egyszerű divergencia. Ebből Stokes tételéből következik, hogy:

√ { } √ { }) ∫ (− − ρ β ggαβδ { }+ −ggαρδ }),β d4x 𝒱 αρ αρ 4 √ β = − −ggαβ ρ √ { δ + −ggαρδ n 1) αρ αρ βd3x, (12.3 ∂𝒱4

Ahol nβ a terület ∂𝒱4 normálvektora, míg d3x a ∂𝒱4-ben található térfogatelem. Az előfeltételezés alapján, miszerint δgαβ (∂𝒱4) = 0, most már következik, hogy (12.29) integrálja nulla. Innen következik, hogy az (12.28)-ban:

1√ δW αβ √ g = d4x −g g R− −g Rαβ δgαβ = 0. (12.32)

Ezért, ha δL/δgαβ = −κ −g Tαβ , akkor a δW = 0 egyenlet (12.21)-et adja, (12.23) és (12.32) figyelembevételével. Hilbert módszere nem határozza meg, hogy mi legyen Tαβ; csak az elektromágneses tér vákuumbeli eseteire tudta meghatározni. Hilbert variációs elve teljes általánosságban alkalmazható az Einstein-egyenletek deriválására. Ha a metrikus tenzor nem általános, például szimmetriákkal, akkor a variációs elv olyan egyenleteket adhat, amelyeknek nincs kapcsolatuk Einstein egyenleteivel. Ez ismert, hogy több Bianchi-típusú modell esetén előfordul, mivel azok térbeli homogénitása miatt nem alkalmazhatóak az általános elvek. Amikor minden fiduciarikus metrikus térbeli homogén, a variációk is térbeli homogének. Így nem tekinthetők el a határfeltételek, mivel vagy mindenhol, vagy sehol nem nullázódnak le. Ennek következtében a határfeltételek nem hagyhatók el (további részletekért lásd MacCallum (1979)).

A variációs elvek alkalmazásának pontos körülményeit nem ismerjük teljesen, és vannak olyan esetek, amikor a variációs elvek használata nem adja meg a megfelelő mezőegyenleteket (lásd 13.6. szakasz).

Hogyan készítsünk ínycsiklandó vegetáriánus étkezéseket lassú főzőben?
Hogyan alakultak a harci szokások és a mitikus eszközök a kelta mitológiában?
Miért fontos Donald Trump önpromóciója és kommunikációs stílusa a politikai diskurzusban?
Hogyan készülj fel elsősegélynyújtásra és kezeld a vészhelyzeteket?