A Friedmann-modellekben az areális sugár R és a tömegsűrűség ϵ/c² közötti kapcsolat egyszerű: minél nagyobb az R, annál kisebb az ϵ. Az L-T modellekben azonban nincs ilyen egyszerű összefüggés, mivel lehetőség van lokális kondenzációk kialakulására, ahogyan azt itt be is bizonyítjuk. Az alábbiakban átírjuk az (18.23) egyenletet:

∫36MR3(M)−1 duR0=κMϵ(u)\int_3^6 M R_3(M)^{ -1} \, du R_0 = \frac{\kappa M}{ϵ(u)}

Itt R0 egy (esetleg időtől függő) integrációs állandó, és M0 egy másik állandó. Az (18.170) egyenlet azt jelenti, hogy bármely M értékhez tartozó R érték a teljes [M0, M] tartományban lévő ϵ értékektől függ. Az is igaz, hogy az (18.170)-hez tartozó inverz kapcsolat nemlokális — hogy meghatározzuk ϵ(t, M) értékét, szükség van R-re az M értékének környezetében.

Most feltételezzük, hogy ϵ₂ < ϵ₁ a [M₀, M] tartományban. Ekkor a következő egyenletet kapjuk:

\int \left( R_3(M) - R_3(M₁) - R_3_0(t₂) - R_3_6 M \right) \, du > 0

Ez azt jelenti, hogy R₂³(M) > R₁³(M), ha

\int M \left( R_3_0(t₂) - R_3_6 1 - 1 \right) + du > 0

Ez akkor igaz, ha például R₀(tᵢ) = 0, i = 1, 2, és ezen felül ϵ₂ < ϵ₁. A fordítottja azonban nem igaz, ami fizikailag könnyen érthető: ha R(t₂, M) > R(t₁, M) minden M ∈ [M₀, M₁] esetén, az azt jelenti, hogy minden állandó M = M̃ értékhez tartozó héj nagyobb sugárral rendelkezik t₂-n, mint t₁-en. Azonban a szomszédos héjak közelebb kerülhetnek M̃-hez t₂-n, mint t₁-en, ami lokális kondenzációt eredményezhet, és így ϵ(t₂, M̃) nagyobb lesz, mint ϵ(t₁, M̃). A Friedmann-határ esetén nem léphet fel ilyen jelenség, mivel a lokális kondenzációk kizárásra kerülnek a szimmetria-feltételek miatt.

A sűrűségfluktuációk alakulását az L-T modellben egyszerűen leírhatjuk a különböző perturbációk növekedésére és csökkenésére. A Friedmann modellekben a sűrűségfluktuációk klasszikusan két típusra oszlanak: azok, amelyek idővel nőnek, és azok, amelyek csökkennek. Ez az osztályozás az L-T és Szekeres modellekben is alkalmazható, ahogy azt Silk (1977) mutatta be, és amelyet itt más módszerrel dolgozunk át.

A Friedmann modellek pertubációinak tanulmányozásához használt mennyiségek a sűrűség- és görbületi kontrasztok: ϵ,r /ϵ és R(3),r /R (3), ahol R(3) az állandó t időpillanatra vonatkozó szcáláris görbület. Ezek a függvények a Friedmann-határ esetén nullák, mivel nem léteznek lokális perturbációk. Feltételezve, hogy E ≠ 0, a következő egyenletek adódnak a sűrűség- és görbületi pertubációk számára:

ϵ,rM,rr=−R,rR,rr(2−R(3))=−RE,rϵ,r M,rr = - \frac{R,r}{R,rr} (2 - R(3)) = - RE,r

Ezekből az egyenletekből megfigyelhetjük, hogy a pertubációk viselkedése a különböző határértékeknél is különbözik.

Különböző határértékek esetén, mint például η → 0 és η → ∞, az ϵ,r /ϵ viselkedését kell figyelembe venni. Az E > 0 esetén az egyenlet az alábbi formát ölt:

ϵ,rM,rrrrlim⁡=−E,rϵ,r M,rr rr \lim = - E,r

Ahogy η → 0, a pertubációk eltűnnek a kezdeti szingularitásnál és végül egy véges értékre konvergálnak, míg a görbületi pertubációk pontosan ellenkező viselkedést mutatnak. A pertubációk tehát a kezdeti és a végső szingularitás felé is másképp viselkednek, amit alapvetően fontos figyelembe venni a szerkezetek kialakulásának modellezésekor.

A tB,r = 0 és [(2E)3/2/M],r = 0 esetén, az ϵ,r és ΔK eltérő határokkal rendelkezik:

lim⁡η→0ϵ,r/ϵ=0,lim⁡η→∞ΔK=0\lim_{\eta \to 0} ϵ,r /ϵ = 0, \quad \lim_{\eta \to ∞} ΔK = 0

Ez azt jelenti, hogy a Friedmann-sűrűség pertubációja a kezdeti szingularitásnál eltűnik, de véges határt ér el, míg a görbületi pertubációk pontosan ellenkező irányban fejlődnek.

Mindezeket figyelembe véve világossá válik, hogy a pertubációk, amelyek az univerzum fejlődése során kialakulnak, két különböző típusú viselkedést mutatnak: növekvő és csökkenő pertubációkat, melyek egyaránt fontos szerepet játszanak a struktúrák kialakulásában. Az L-T modellekben a lokális kondenzációk lehetősége alapvetően más szempontok figyelembevételét igényli, és a pertubációk pontos leírása segíthet jobban megérteni az univerzum szerkezeti fejlődését.

Miért fontos a töltött por a relativisztikus összeomlás és a gravitációs hatások megértésében?

A töltött por viselkedését az elektromágneses mező és a gravitációs tér kombinációja nagymértékben befolyásolja. A gravitáció és az elektromágnesesség hatása különböző módon érvényesül, különböző körülmények között, ami különböző fizikai jelenségeket eredményezhet. A töltött por számára az elektromágneses erők és a gravitációs vonzás egyensúlya kulcsfontosságú, és a különböző töltési állapotok és tömegű rendszerek más-más dinamikát mutatnak, különösen a relativisztikus környezetben.

A negatív tömegű (M < 0) rendszerek esetén a BB/BC szingularitás elkerülhető, ha E > 0, és a szükséges feltételek teljesülnek, anélkül, hogy további kényszerítő körülmények lennének a töltés sűrűségére (ρe). Az ilyen rendszerekben a por összeomlása megállítható és visszafordítható, ahogy a relativisztikus vonások is egyre inkább érvényesülnek. Mivel a relativisztikus hatások nem fordulnak elő Newtoni határok között, a rendszer által mutatott viselkedés az alapvető elektromágneses erőkkel módosul, és az összeomlás dinamikája egyértelműen változik. A porok kölcsönhatása az elektromágneses térrel olyan korrekciókat vezet be az effektív tömegre, amely hatással van a gravitációs vonzás erősségére. Az elektromos töltés kis mértékben gyengíti a gravitációt, ezzel segítve az összeomlást, míg a nagyobb töltés esetén a gravitációval szemben erősebb elektromos taszítást eredményez, amely akadályozhatja a por összeomlását.

Ha a töltés sűrűsége elegendően kicsi (Q²N < G/c⁴), a rendszer még mindig képes elkerülni a szingularitást, és a kölcsönhatások így egy állandó állapotba juthatnak, amely statikus, de instabil. A por minden kismértékű perturbációra reagálhat, és két lehetőség jöhet szóba: az összeomlás, amely a középpontba, R = 0-ra vezet, vagy az expanzió, ahol R → ∞. Az, hogy mi történik, attól függ, hogy az energia E pozitív vagy negatív, mivel E > 0 esetén csak az expanzió lehetséges, míg E < 0 esetén az összeomlás következik be.

A töltött por olyan esettel is találkozhat, amely az elektromágneses erők és a gravitáció kombinációját alkalmazza a radikális eséseken. Ha Q, N = G/c⁴, a rendszer időfüggetlen megoldást adhat, ahol a gravitációs és elektromos erők pontosan kiegyenlítődnek. Ez egy statikus, de instabil konfigurációt eredményez. Az elektromágneses taszítás képes elérni egy olyan állapotot, ahol a gravitációs vonzásnak és elektromágneses taszításnak köszönhetően az összeomlás nem folytatódik, de csak abban az esetben, ha a szükséges feltételek teljesülnek. Ha a por a középpont körüli térben található, a rendszer mindvégig olyan részecskéket tartalmaz, amelyek a különböző R-értékekkel rendelkeznek, beleértve R = 0-t is.

A Reissner-Nordström téridőben tapasztalt jelenségek is hasonlóak: a töltés hatása antigravitációs hatást eredményezhet, ha a töltés megfelelően kicsi a tömeggel összevetve. Az ilyen hatások az elektromágneses tér és a gravitáció interakciójának különleges vonatkozásait tárják fel, és segítenek abban, hogy a szingularitások elkerülhetők legyenek, ami egy új irányt nyit a csillagászati és kozmológiai kutatásokban. Az elektromágneses erők tehát nemcsak a közvetlen hatásokra van hatással, hanem a gravitációs összeomlás viselkedésére is.

Még ha a töltés elég kicsi ahhoz, hogy az elektrosztatikus taszítás elégséges legyen a BB/BC szingularitás elkerülésére, a Shell Crossing jelenség továbbra is elkerülhetetlen, és egy ilyen helyzetben nem történhet a rendszer szingularitásán való áthaladás. A különféle koordinátarendszerek, mint a görbületi és tömeg-görbületi koordináták, segíthetnek abban, hogy jobban megértsük a töltött por viselkedését egy ilyen összetett gravitációs és elektromágneses térben. A számítások és a matematikai modellek egyre inkább azt mutatják, hogy a töltött porok viselkedésének teljes megértéséhez elengedhetetlen a különböző fizikai hatások részletes figyelembevétele és modellezése.

A porok és a töltött részecskék dinamikája kulcsfontosságú lehet abban, hogy új képet alkossunk a fekete lyukak, a csillagok és más égitestek viselkedéséről, miközben a gravitáció és az elektromágnesesség közötti finom egyensúly új fényt vethet a kozmológiai fejlődés megértésére.

Hogyan alakulnak át a sűrűségek a világűrben? L-T geometriával és a modellek dinamikájával

A kozmológiai modellezés egyik alapvető kérdése, hogy miként alakulnak át a sűrűségi eloszlások az idő múlásával a világűrben. A sűrűség időbeli változásának megértése kulcsfontosságú a világegyetem szerkezetének és evolúciójának vizsgálatában. Ebben a fejezetben a Lemaître–Tolman (L-T) geometriát alkalmazva tárgyaljuk a sűrűség és téridő változásának összefüggéseit, figyelembe véve a térgörbület különböző eseteit (pozitív, nulla, negatív energia).

A modell alapját a sűrűség eloszlásának és a térbeli távolságok függvényében történő időbeli változásának vizsgálata képezi. A t1 és t2 időpontok közötti változások a következő módon modellezhetők: adott két különböző időpillanatra (t1 és t2) és az ezekhez tartozó sűrűségi eloszlásokra (ρ1 és ρ2), amelyek függnek az anyag tömegétől (M). A L-T modell ezen eloszlások evolúcióját írja le. Az alapfeltevés az, hogy a világűrban az anyag a két időpont között kitágult, azaz t2 > t1.

A sűrűség változásának meghatározásához a következő kifejezés alkalmazható:

ρi(M)=ρ(ti,M)=ϵ(ti,M)c2\rho_i(M) = \rho(t_i,M) = \frac{\epsilon(t_i,M)}{c^2}

Ez a képlet az energia sűrűséget az anyag tömege (M) és a sebesség fény sebességének négyzetével osztva adja meg. A továbbiakban az evolúciós egyenletek segítségével meghatározzuk a téridőbeli távolságokat is, ahol az R(t,M) függvény a következőképpen alakul:

MRi(M)=R(ti,M)=12E(cosh⁡ηi−1)M R_i(M) = R(t_i,M) = \frac{1}{2E} \left( \cosh \eta_i - 1 \right)

Ezeket az egyenleteket egy bonyolult matematikai konstrukción keresztül oldjuk meg, és az energia paraméter (E) különböző értékeit figyelembe véve képesek vagyunk meghatározni a világegyetem szerkezetének változását.

Ha E > 0, akkor az alábbi egyenletek segítenek a modellek megoldásában:

MRi(M)=R(ti,M)=12E(cosh⁡ηi−1)M R_i(M) = R(t_i,M) = \frac{1}{2E} \left( \cosh \eta_i - 1 \right)

Ennek megoldása szükségszerűen az evolúciót egyes időpontok között (t1 és t2) meghatározó egyenlethez vezet. A legfontosabb kérdés, hogy létezik-e egyáltalán olyan megoldás, amely kielégíti az egyenletet, és hogy ez a megoldás egyedüli-e. A megfelelő matematikai struktúra biztosítja a megoldás egyediségét és stabilitását.

Amennyiben E < 0, a helyzet még bonyolultabbá válik, mivel az inverse koszinusz (arccos) függvény alkalmazása nem azonos az [0, π] és [π, 2π] intervallumokban. Az ilyen típusú evolúciók esetében két különböző forgatókönyvet kell figyelembe venni, amelyek a továbbiakban részletesen kifejtésre kerülnek.

A matematikai szempontok és egyenletek mellett a gyakorlatban is fontos figyelembe venni a világegyetem különböző típusú struktúráit. A megfelelő modell kialakítása és az időbeli változások megértése alapvető ahhoz, hogy a struktúrák fejlődését, valamint a galaxisok és csillagrendszerek kialakulását megértsük.

Fontos figyelembe venni, hogy a bemutatott egyenletek és modellek csak akkor adnak érdemi választ, ha a helyes kezdeti feltételek biztosítottak. Az initális sűrűségi eloszlások és az ezekhez kapcsolódó feltételek meghatározása nélkül a számítások és modellezések nem adhatnak pontos eredményt. A helyes kezdeti feltételek alkalmazása nélkül a modell hibásan fogja tükrözni a valóságot, és az ilyen típusú hibákra külön figyelmet kell fordítani.

A modellezésben említett fontos szempontok közé tartozik a shell crossing jelenség, amely az anyagi részecskék összeütközését jelenti a gravitációs térben. Az ilyen jelenségek figyelmen kívül hagyása jelentősen befolyásolhatja a végső eredményeket, és ezért elengedhetetlen a shell crossing-ek megfelelő kezelése. A világűr struktúrái nemcsak hogy a sűrűség eloszlásának, hanem a megfelelő időbeli viselkedésnek is a függvényei.

A továbbiakban a modell pontosításához szükséges a sűrűségek és sebességek kapcsolatának figyelembevétele is. Az energia paraméterek és a téridő görbületek szerepe az evolúcióban alapvető fontosságú, különös figyelmet érdemel, hogy a különböző típusú görbületek hogyan befolyásolják a világegyetem fejlődését az egyes időpontok között.

Mi rejlik az idegen inváziók mögött?
Hogyan forgathatjuk a 3D objektumot az érintés helyzete alapján Androidon OpenGL ES segítségével?
Mi a leghatékonyabb módja az öregedés lassításának a mozgás és táplálkozás révén?
Milyen módon alakíthatjuk át a bűnügyi történetek struktúráját, hogy még inkább izgalmasak legyenek?