A kvantumtérelméletben, különösen a gauge elméletek és a kvantum-fizikai propagátorok tanulmányozásakor, kulcsfontosságú szerepe van a vertikális korrekcióknak, valamint azok megfelelő összegzésének, amelyek egy részecskére irreducibilis (1PI) vertikális korrekciót eredményeznek. Ezen összegzések és korrekciók hatására kialakuló viselkedést és a kvantumtérelmélet szimmetriáit rendkívül fontos figyelembe venni a különböző szabályozási eljárások során, különösen az úgynevezett Ward-identitás alkalmazásakor.

A Ward-identitás, amely az egyes részecske-interakciók szimmetriáját tükrözi, közvetlen kapcsolatban áll a propagátorok és a szimmetriák közötti összefüggésekkel. Az egyes interakciós diagrammák elemzése során, mint például a szorzatok, amelyek a kvantumtérelmélet alapvető elemei, könnyen megérthetjük, hogyan alakítják ki az egyes szimmetriák a fizikai eredményeket. A legfontosabb eredményeket az alábbi egyenletek és diagrammok közvetítik.

A generált propagátor kifejezhető az alábbi formában:

⟨0∣Tjμ(x)∫ψ(x1)ψ‾(x2)∣0⟩=−∫d4ξd4ηSF(x1−ξ)Γμ(ξ−x,x−η)SF(η−x2)\langle 0 | T j^\mu(x) \int \psi(x_1) \overline{\psi}(x_2) | 0 \rangle = - \int d^4 \xi d^4 \eta SF(x_1 - \xi) \Gamma^\mu(\xi - x, x - \eta) SF(\eta - x_2)

Ez az egyenlet a korrekciók és a propagátor közötti kapcsolatot ábrázolja, amely a különböző kvantuminterakciók pontos kifejezésére szolgál. Az interakciók Fourier-transzformációja révén további következményeket vonhatunk le, amelyek az alábbi alakot öltik:

∫d4x d4x1 d4x2e−ipxe−ikx1eiqx2⟨0∣Tjμ(x)ψ(x1)ψ‾(x2)∣0⟩=−SF(k)Γμ(k,q)SF(q)(2π)4δ(p+k−q)\int d^4x \, d^4x_1 \, d^4x_2 e^{ -ipx} e^{ -ikx_1} e^{iqx_2} \langle 0 | T j^\mu(x) \psi(x_1) \overline{\psi}(x_2) | 0 \rangle = - SF(k) \Gamma^\mu(k, q) SF(q) (2\pi)^4 \delta(p + k - q)

A fenti kifejezés az egyes propagátorok és vertexek közötti összefüggéseket foglalja magában. A kvantumtérelméleti számítások során egyértelművé válik, hogy a Ward-identitás rendkívül fontos, mivel meghatározza a szimmetriák érvényesülését a kvantumtéren belüli részecskék között. A legfontosabb matematikai következtetések az alábbi egyenletből következnek:

(q−k)μΓμ(k,q)=SF−1(q)−SF−1(k)(q - k)^\mu \Gamma_\mu(k, q) = S_F^{ -1}(q) - S_F^{ -1}(k)

Ez az egyenlet már tartalmazza a szimmetrikus propagátorok és az irreducibilis vertikális korrekciók közötti kapcsolatokat, amelyeket a fermionok önenergiájával együtt figyelembe kell venni.

A következő lépésben azzal a kérdéssel foglalkozunk, amikor q→kq \to k, ahol a korrekciók és az energiafrekvenciák viselkedését a következő módon lehet leírni:

∂SF−1(k)∂kμ=F(k)\frac{\partial S_F^{ -1}(k)}{\partial k^\mu} = F(k)

Ez az egyenlet alapvetően az elméletben szereplő fermionok és a propagátorok közötti pontos kapcsolatot adja meg. A következő kulcsfontosságú kifejezés a következő:

Γμ(k,q)=γμ+Λμ(k,q)\Gamma^\mu(k, q) = \gamma^\mu + \Lambda^\mu(k, q)

Ahol γμ\gamma^\mu a kvantumtérelméleti gamma mátrixokat, míg Λμ(k,q)\Lambda^\mu(k, q) az interakciók nemtriviális részeit képviseli. Az 1PI vertex és az önenergia közötti összefüggés bemutatja a gauge szimmetriák megmaradását és azok hatását a kvantumtérelméletben. A végeredmény a következő szempontból különösen fontos:

Λμ∂Σ(k)∂kμ=0\Lambda^\mu \frac{\partial \Sigma(k)}{\partial k^\mu} = 0

Ez az egyenlet a Ward-identitást ábrázolja, amely a gauge elméletek szimmetriájának alapvető következménye. A Ward-identitás biztosítja, hogy a gauge szimmetriák, amelyek az elektromágneses és más alapvető kölcsönhatások lényegét képezik, megmaradnak minden szinten, a perturbációs elmélet minden rendjénél.

A gauge elméletek szimmetriáinak megértése elengedhetetlen, hogy a kvantumtérelméletekben szereplő különböző részecskék és kölcsönhatások összefüggéseit teljes mértékben értékelni tudjuk. A legújabb kutatások és a kvantumfizikai elméletek előrehaladott terjedése révén egyre világosabbá válik, hogy az ilyen típusú matematikai formulák és szimmetriák alapvető szerepet játszanak a részecskefizikában és a kvantumtérelmélet alkalmazásaiban.

Endtext

A kvantum mezőelméletek perturbatív Green-függvényei és az összekapcsolt diagramok szerepe

A diagramm (c) kiszámítása után a következő kifejezésre jutunk. Ebben az esetben a külső pontok áramainak parciális deriváltjai mind különböző propagátorokon kell, hogy hatjanak. Az eredmény egy összetett integrál, amely tartalmazza a különböző külső pontok közötti kölcsönhatásokat, miközben az áramok megfelelő működését modellezi.

Ezt követően az integrált kifejezés egyszerűsödik, és megkapjuk a következő formát:

∫G~4c=iλ∫d4x iΔF(1−x) iΔF(2−x) iΔF(3−x) iΔF(4−x).\int \tilde{G}_4^c = i \lambda \int d^4x \, i \Delta_F(1 - x) \, i \Delta_F(2 - x) \, i \Delta_F(3 - x) \, i \Delta_F(4 - x).

Ez az eredmény a 1/4! tényező teljes eltörlését jelenti. Ahogy a fenti kifejezésben is látható, a Green-függvényekben való különbségek a propagátorok közötti kölcsönhatások és az áramok komplex struktúrájára vezethetők vissza.

A Feynmán-diagrammok és az útösszegzés szemlélete teljes mértékben megfelel annak az elvnek, amit a könyv elején bemutattunk. A négy pontú Green-függvény például olyan kvantumamplitúdót jelent, amelyben két részecske keletkezik x1x_1 és x2x_2 helyeken, majd elnyelődik x3x_3 és x4x_4 helyeken. Minden egyes diagram, amelynek rögzített helyeken vannak a csúcsai, egy lehetséges "utat" jelöl, és a hozzá tartozó amplitúdó a különböző alkotóelemek amplitúdóinak szorzataként adódik meg. A perturbatív bővítés egyszerűen azt jelenti, hogy az egyes "utakon" egy, kettő, ..., n kölcsönhatás történik. Az externális pontok koordinátái nem határozzák meg, hogy hány kölcsönhatás zajlik le a folyamatban, és nem fixálják azt sem, hogy a kölcsönhatások hol történnek a tér-időben.

A kvantummechanika alapvető elve szerint minden diagramnál integrálni kell az interakciók tér-időbeli koordinátáin, és össze kell adni az egyes független diagrammok amplitúdóit.

A következő figyelembe veendő szempont a vertexeken belüli kontrakciók szerepe. Ha két funkcionális derivált az interakciós Lagrangiánban ugyanazokra a JJ-kre vonatkozik egy (JΔFJ)(J \Delta_F J) típusú kifejezésben, akkor a megfelelő diagrammban egy vonal jelenik meg, amely ugyanazon vertexnél ér véget, mint a két derivált. Ilyenkor egy zárt hurkú diagram jelenik meg, amely a mező két kevesebb hatványának beillesztését jelenti a Lagrangiánba. Mivel a Lagrangián már tartalmazza a mező minden hatványát a negyedikig, az ilyen típusú beillesztések az eredeti állandók újradefiniálását jelenthetik. A következő fontos szabály tehát:
• Az egy vertexben belüli kontrakciók figyelmen kívül hagyhatók.

A Dyson-formulációban az SS-mátrix esetén ez az automatikusan teljesül, ha az interakciós Lagrangiánt a mezők normál produktumaként vesszük.

Az összekapcsolt diagrammokat és a vákuum diagrammokat illetően a fent bemutatott diagrammok mind topológiailag összekapcsoltak. Minden diagrammban lehetőség van arra, hogy bármelyik vertexből vagy buborékból egy másikra jussunk a diagram vonalain keresztül. Azonban léteznek leválasztható, azaz diszkrét diagrammok is. Például a λ\lambda második rendjében a második rendű kifejezésben minden egyes nyolc derivált "lehúzza" a JJ faktort, amely egyszerűen a kifejezés négyzetét adja. Ez egy olyan diagrammot eredményez, amely két topológiailag eltérő részre bomlik. Az ilyen típusú diagrammok olyan terméket adnak, amely két vagy több független JJ-függvényt tartalmaz.

A diszkrét diagrammok fizikai értelmezése egyszerű: mindkét rész egy-egy részecske közötti szóródási folyamatot reprezentál, amelyek függetlenül zajlanak, például egyik a CERN-nél, a másik Frascatiban. Az ilyen független folyamatok amplitúdóinak szorzataként értelmezhető a kombinált amplitúdó, és az összes esemény bekövetkezésének valószínűsége a valószínűségek szorzataként adódik. Azonban nincs további tanulság az ilyen független folyamatok tanulmányozásából, ezért célszerűbb az egyes folyamatokra összpontosítani, amelyek a kapcsolt diagrammokat képviselik.

A perturbációs elmélet segítségével a Z[J]Z[J] funkcionál kifejezhető diagrammok összegzésével, amelyek közül egyesek kapcsoltak, mások pedig diszkrétek. A kapcsolt diagrammok egy olyan W[J]W[J] funkcionál segítségével is definiálhatók, amely kizárólag az összekapcsolt diagrammokat generálja. Az W[J]W[J] és Z[J]Z[J] közötti kapcsolat egyszerűen a következő:

Z[J]=exp⁡(W[J]).Z[J] = \exp(W[J]).

A fentiek alapján az összekapcsolt diagrammok meghatározzák az összes egyesített zöldfüggvényt, és az egyes külső pontokon történő kölcsönhatásokat. A kapcsolt diagrammok fontos szerepe tehát az, hogy lehetővé teszik az összes lényeges kölcsönhatás megértését és a helyes kvantumállapotok vizsgálatát.

Hogyan változott az elnöki retorika a faji és etnikai kérdések kezelésében?
Miért fontos a ninja felszerelés és a karakterek közötti összhang a Ninjago világában?
Hogyan segíthetünk a hajléktalan fiatalokon: Anna története és az adományok ereje