Hogyan mutatkozik meg a fény görbülete az L-T téridőben, és mi az, amit figyelembe kell venni?

Az Lemaître–Tolman (L-T) téridő modelljeiben a fény mozgása és a megfigyelt drift figyelembevételére fontos szempontok merülnek fel. Képzeljük el két nem-rádiós fénysugarat egy ilyen téridőben, melyeket ugyanaz a forrás bocsátott ki, de különböző időpontokban. Az első sugár pályája $(t, \vartheta, \varphi) = (T(r), \Theta(r), \Phi(r))$ alakú, míg a második sugár esetében a pálya egy kis eltolódást szenvedett, így annak egyenlete $(t, \vartheta, \varphi) = (T(r) + \tau(r), \Theta(r) + \zeta(r), \Phi(r) + \psi(r))$. A második sugár tehát nemcsak később érkezik el a megfigyelőhöz, hanem általában más helyen is találkozik az $r = r_0$ hiperfelületen, és más világvonalakon halad keresztül az anyag között.

A megfigyelő számára ez a jelenség a fény irányának eltolódásában, driftben nyilvánul meg, ami nem csupán geometriai, hanem kozmológiai szempontból is figyelembe kell venni. A L-T téridő modellekben a drift jelensége az egyetlen, ami eltér a tisztán izotróp és homogén Friedmann univerzumoktól. A nem-rádiós irányokban a fényforrások eltolódnak, így a megfigyelő a csillagokat nem a megszokott irányból látja. Az L-T téridőkben az ilyen típusú eltolódás leginkább a nagyléptékű inhomogenitások következményeként jelenik meg, és az ilyen eltolódások mérhetősége esetén akár a világegyetem inhomogenitásáról is beszélhetünk.

Például, ha egy fényforrást egy 7 Gpc sugárú üres térben képzelünk el, akkor a fény útja a t0 pillanatban különböző régiókban halad keresztül, és a megfigyelt sugár a kozmikus háttérsugárzás egyes irányokban jelentős kékeltolódást szenvedhet. Az L-T modell számításai szerint a kékeltolódott sugarak az általunk ismert gammasugár-kitörésekkel összehasonlíthatók, ami új szempontokat adhat az asztrofizikai kutatások számára.

Fontos megjegyezni, hogy a L-T modellekben a fény útja nem csupán az idő függvényében változik, hanem a térbeli inhomogenitások is hatással vannak a fény terjedésére. Ezért a fényterjedési pályák nemcsak időbeli eltolódásokkal, hanem az anyag világvonalainak változásaival is jellemezhetők. A megfigyelt eltolódásokat a megfigyelők a saját helyzetük és a fényforráshoz való viszonyuk alapján tapasztalhatják, ami további érdekes kérdéseket vet fel a kozmológiai mérések és a galaxisok közötti fényhullámok terjedése kapcsán.

Az L-T téridőkben végzett számítások különböző paraméterek szerint részletezik a fénysugarak eltolódását, figyelembe véve az olyan tényezőket, mint a sűrűségprofilok, a kozmikus háttérsugárzás (CMB) irányai és azok kékeltolódásai, valamint a térbeli szimmetria különbségei. Mindezek figyelembevételével a megfigyelések segíthetnek a világegyetem fejlődésének megértésében és a nagy léptékű kozmológiai modellek pontosításában.

Fontos, hogy az L-T téridőkben a fény különböző irányokban való eltolódása nem csupán elméleti érdekesség, hanem olyan tényező, amely a jövőbeni kozmológiai kísérletek és megfigyelések során kulcsfontosságú információkat adhat az univerzum struktúrájáról.

Hogyan érthetjük meg a szimmetrikus és nem szimmetrikus tömegeloszlásokat a Szekeres-modellekben?

A relativisztikus kozmológia egyik központi kérdése a tömegeloszlás és annak hatása az univerzum görbületére. Az egyik legfontosabb fogalom ebben az összefüggésben a Szekeres-geometriák által leírt aszimmetrikus tömegeloszlás, amely a globális kozmológiai modellekben figyelembe veszi a tér időbeli és térbeli variációit. A következő leírás a Szekeres-geometriákban előforduló különböző tömegeloszlások vizsgálatára koncentrál, különös figyelmet fordítva a dipólusra és a monopólusra egyaránt.

A Szekeres-megoldásokban, ha β,z ≠ 0, a tömeg eloszlása az egyes t és z állandó értékekhez tartozó gömbfelületeken masszív dipólust mutat, amely egy monopólushoz is hozzáadódik. Ezt először Szekeres (1975b) figyelte meg, majd de Souza (1985) részletesebben is kidolgozta. A modellt itt a de Souza-féle leírás alapján mutatjuk be, de néhány módosítással. Az alapvető elképzelés az, hogy a tömegsűrűség kifejezéseket szimmetrikus és nem szimmetrikus részekre bontjuk, ahol a szimmetrikus rész csak t-től és z-től függ, míg a nem szimmetrikus rész Δϵ tartalmazza a variációkat.

A folyamat első lépése, hogy az egyenletet az általános tömegeloszlásra (20.74) és az H(t, z) függvényre alkalmazzuk. A H(t, z) függvényt a következőképpen adhatjuk hozzá a jobb oldalhoz: H(t, z)/Φ², ezzel egy új elkülönítést nyerünk. A következő lépésben egy számolási technika alkalmazásával a kifejezéseket az (x, y) koordinátákról a szférikus poláris koordinátákra fordítjuk. Ezáltal az 𝒜, ℬ₁, ℬ₂, 𝒞 változókat a következőképpen átalakíthatjuk:

Ez az átalakítás alapot ad arra, hogy a tömegeloszlás különböző komponenseit (monopólust és dipólust) szétválasszuk, és azok kölcsönhatásait tisztábban lássuk. A következő fontos lépés a Δϵ = 0 feltétel megoldása, amely a téridő metrikájától függően változhat.

A további elemzés a Szekeres-modell komoly aszimmetriáit tárja fel. A különböző modellekben az ilyen aszimmetrikus eloszlások következtében a gömbszimmetria megszakad, és helyette egy dinamikusan változó geometriai struktúra jön létre. A továbbiakban ezt az elméletet egy konkrét Szekeres-metrika segítségével illusztráljuk, amely a L-T modellek egyszerűsített változata.

A „mágikus” kulcs az, hogy a Szekeres-féle modellek nem csupán a tömegeloszlás eltéréseiről szólnak, hanem arról is, hogy a kozmológiai idő és a térbeli koordináták közötti kölcsönhatás miként alakítja a téridő görbületét. Ahogy az a 20.157-es egyenletben szerepel, a dipólus komponensének szimmetriája az egész térben végbemenő transzformációk következményeként jelenik meg. Mindez alapvető különbséget jelent a hagyományos Friedmann-modellekhez képest, amelyekben a téridő homogén és izotróp.

A továbbiakban fontos megérteni, hogy bár a Szekeres-geometriák nem biztosítanak teljes szimmetriát, a modellek lehetőséget adnak arra, hogy valós kozmológiai helyzeteket modellezzenek, ahol a téridő görbülete és a tömegeloszlás bonyolultabb, mint a korábbi egyszerűsített modellekben. Az ilyen típusú aszimmetrikus eloszlások nagyban befolyásolják a kozmikus távolságokat, a gravitációs lencsehatásokat és a kozmikus háttérsugárzást, mivel a téridő görbülete, amely a Szekeres-metrikákban előfordul, a kozmikus objektumok mozgását és fejlődését is meghatározza.

Hogyan befolyásolja a görbület az elektromágneses hullámok terjedését és a vöröseltolódást?

Ha a tér lapos és kartéziánus koordinátákat alkalmazunk, egy konstans $B^0_{\alpha \beta}$ érték elegendő megoldás (amelyre minden $B^i_{\alpha \beta} = 0$ a $i \geq 1$ esetén). Feltételezve, hogy az adott séma önkonzisztens (bár erről formális bizonyíték nem áll rendelkezésre), és hogy a "farok" tagok kicsik maradnak, most nézzük meg, mit jelent ez az elektromágneses hullámok terjedésére. A következő egyenletet kaphatjuk:

Ez az egyenlet azt mutatja, hogy a vektor mezők forgása nulla, ha a geometriát optikai szempontból tekintjük, így a geometriai optika általánosabb megközelítést ad, és a hullámok forgása nem lehetséges.

Ha ezt az egyenletet $k^{\alpha}$-val szerződtetjük, és felhasználjuk a $B^0_{\alpha \beta}$ és a görbület hatásait, azt kapjuk, hogy a hullám vektora null vektor lesz:

Ez az egyenlet azt sugallja, hogy az elektromágneses hullám terjedése geodetikus, és az affinis parametrizálásban marad. Tehát az elektromágneses hullám mozgása a geodetikus görbéken keresztül történik, és a hullámvonalak viselkedése a geometriától függ.

Az elektromágneses energia-momentum-tenzor, amelyet a hullámot leíró egyenletekben használunk, a következő formában fejeződik ki:

A vöröseltolódás az egyik legfontosabb jelenség, amelyet a fénysugarak kölcsönhatásai során megfigyelhetünk. Ha egy megfigyelő mozog egy adott 4-sebességgel $u^{\alpha}$, akkor a fényhullám fázisának változását a következőképpen mérhetjük:

Két különböző megfigyelő esetén, akik más-más sebességgel mozognak, a fázis változása eltérő időintervallumokat vesz igénybe. Ennek következtében a vöröseltolódás képlete a következőképpen alakul:

Ez a képlet a kozmológiai vöröseltolódás, amely nem igényel semmilyen konkrét kozmológiai modellt. Ez a vöröseltolódás a fényhullám frekvenciájának csökkenését jelzi, amelyet a megfigyelő és az emitter közötti távolság növekedése okoz.

A vöröseltolódás képletei összekapcsolják az emisszió helyét és a detektálás helyét. A hullám vektorának iránya és a fényforrás pozíciója alapján az alábbi kifejezés adható meg:

A vöröseltolódás tehát a hullámhossz növekedését jelenti, és a fényforrás távolsága alapján is meghatározható. A kozmológiai vöröseltolódás pontos kiszámításához integrálni kell a fényhullám null geodézisének egyenleteit. Azonban kis vöröseltolódás esetén, amikor $z \ll 1$, az egyszerűsített képletet alkalmazhatjuk:

A hullámhossz változása így közelítőleg egyenlő az emitter és a megfigyelő közötti távolsággal kapcsolatos változásokkal. Az így kapott kifejezés megkönnyíti a vöröseltolódás becslését a kozmológiai modellek alkalmazásával anélkül, hogy bonyolult differenciálegyenleteket kellene integrálni.