Hogyan alakíthatjuk ki az optimális politikát a Bellman-egyenletek segítségével?

A dinamikai programozás és a megerősítéses tanulás egyik alapvető kérdése, hogy miként találhatjuk meg az optimális cselekvési stratégiát egy olyan környezetben, amely Markov-folyamatként modellezhető. A Bellman-egyenletek, amelyek a Markov-döntési folyamatok (MDP) egyik központi elemei, kulcsszerepet játszanak a legjobb politikák meghatározásában, amelyeket egy ügynök követhet. Az optimális politika és annak különböző reprezentációi fontos szerepet játszanak a problémák megoldásában, legyen szó klasszikus dinamikai programozásról vagy megerősítéses tanulásról.

A legfontosabb Bellman-egyenletek közül az egyik a cselekvési-érték függvény (Q-függvény) optimalizálása. Az optimális politika π% meghatározható a következő módon:

Ezt az optimalizált politikát a cselekvési-érték függvény (Q-függvény) segítségével is kifejezhetjük:

Ez a függvény azt adja meg, hogy mekkora az elvárt jutalom, ha a folyamatban az ügynök az a cselekvést választja az s állapotban, majd a jövőben optimális politikát követ. Az optimális cselekvési-érték függvény tehát a következő Bellman-egyenlet segítségével fejezhető ki:

Ezzel behelyettesítve az egyenletbe, az alábbi formát kapjuk:

Ez az egyenlet már az optimális cselekvési-érték függvényt kapcsolja össze a következő időpontban bekövetkező értékeivel. A Bellman optimalitási egyenletek tehát kulcsfontosságúak a dinamikai programozásban és a megerősítéses tanulásban egyaránt. Ezen egyenletek segítségével az optimális kumulatív jutalmak elérésére vonatkozó elv azt mondja ki, hogy most optimális cselekvést kell választani, és a továbbiakban is optimális politikát kell követni.

A Bellman optimalitási egyenletének kulcsfontosságú jellemzője, hogy nemlineáris, mivel a várakozási értékek számításánál a max művelet szerepel. Emiatt az egyenlet megoldása gyakran nehezebb, mint a Bellman-egyenlet lineáris változata, amely egy fix politikára vonatkozik. Az optimális cselekvési-érték függvények numerikus megoldásokat igényelnek, amelyekre a későbbi fejezetekben részletesebben is kitérünk.

A Bellman optimalitási egyenletek alkalmazása során, ha már ismerjük az optimális állapot-érték vagy cselekvési-érték függvényt, akkor az optimális cselekvés keresése rendkívül egyszerűvé válik. A fogalom, amelyet "kapzsi" (greedy) algoritmusoknak nevezünk a számítástechnikában, azt jelenti, hogy a döntéshozás kizárólag az egyes lépésekre vonatkozó, közvetlen következményeket veszi figyelembe, és nem vizsgálja meg a hosszú távú hatásokat. Ha például már ismerjük az optimális állapot-érték függvényt, akkor az összes lehetséges cselekvés közül a legjobbat választjuk, figyelembe véve csak a közvetlen következményeket.

A Bellman optimalitási egyenletek alkalmazásával a cselekvés-érték függvényeket egyre inkább "kapzsi" egyetemes keresés segítségével optimalizálhatjuk, amely az összes releváns információt beépíti az optimális cselekvés meghatározásába. Az optimalizálás során nem kell figyelembe venni a lehetséges következő állapotokat és azok értékeit, mivel minden szükséges információt már a Q%t (s, a) tartalmaz. Így az optimális döntési elv az aktuális állapotban a következő időpontok optimális cselekvésére vonatkozó információk nélkül is meghatározható.

Az optimális politika meghatározása nem csupán a matematikai modellezés szempontjából fontos, hanem gyakorlati szempontból is. A megerősítéses tanulás algoritmusai az empirikus adatokból és a valódi környezetekből szerzett tapasztalatok alapján képesek a Bellman-egyenletek közelítő megoldásaiként működni, figyelembe véve azokat a helyzeteket, ahol a környezet modellezése nem áll rendelkezésre. Így az optimális politikák keresése és az ilyen típusú problémák megoldása egyre inkább a való világ problémáival összhangban történik.

Hogyan kezeljük a Q-tanulás problémáit a megerősítő tanulásban?

A megerősítő tanulás során az akció-érték funkció, azaz a Q-funkció, a legfontosabb komponens, amely meghatározza egy adott állapotban végrehajtott akció értékét a hosszú távú jutalom szempontjából. A leggyakrabban alkalmazott algoritmusok közé tartozik a Q-tanulás, amely arra törekszik, hogy megtalálja a legjobb cselekvési stratégiát egy adott problémában. Azonban az egyszerű Q-tanulás alkalmazásában több fontos kihívás merül fel, amelyek jelentős hatással lehetnek a tanulás sebességére és pontosságára. Ilyen problémák közé tartozik a túlléptetéses torzítás (overestimation bias), amely gyakran előfordul, amikor az optimális akció meghatározása empirikus adatok alapján történik.

A Bellman-egyenletek és a Q-tanulás kapcsolata szoros, hiszen a Q-funkció meghatározása a Bellman-optimális egyenlet alapján történik, amely tartalmazza a következő állapot és akciók maximális értékét. Azonban az empirikus megközelítésben, ahol csak minták állnak rendelkezésre, és nincs hozzáférés az optimális akció-értékekhez, az értékek becslése torzulhat. Ennek egyik oka az, hogy a következő lépésben a legjobb akció meghatározásakor a maximális értéket nem az elméleti, hanem az empirikus adatok alapján keresik, amely a Jensen-egyenlőtlenség miatt torzítja a becsléseket.

A túlléptetéses torzítás elkerülése érdekében a kutatók és fejlesztők több módszert dolgoztak ki, mint például a Kettős Q-tanulás (Double Q-learning). Ez a technika két különálló Q-funkciót alkalmaz (QA és QB), és minden iterációban véletlenszerűen frissíti valamelyiket. Az optimális akció meghatározása ebben az esetben nem egyszerűen a legjobb Q-érték maximálása, hanem a két különböző Q-funkció alapján történik, így csökkentve a túlléptetéses torzítást. A kettős Q-tanulás nemcsak hatékonyan csökkenti a torzítást, hanem segít abban is, hogy a modell jobban alkalmazkodjon a különböző adatkészletekhez.

A kettős Q-tanulásnak ugyanakkor lehetnek hátrányai is. Az egyik ilyen probléma, hogy a módszer időnként alulbecsli az akciók értékét, ami különösen akkor lehet zavaró, ha a rendszer finomhangolására van szükség. Emellett a kettős Q-tanulás gyakran használ neuralis hálózatokat az akció-érték függvények modellezésére, mivel a neurális hálózatok képesek komplex, nem-lineáris függvényeket is jól modellezni. A nagy adathalmazok és az összetett problémák esetén a kettős Q-tanulás alkalmazása elengedhetetlen a hatékony tanulás érdekében.

A Q-tanulás egyik másik lehetséges kiterjesztése, ha a Q-funkciónak paraméterezett formája van, így a következő lépésben alkalmazott maximális érték kiszámítása analitikus vagy numerikus úton történhet. Az ilyen típusú paraméterekkel rendelkező modellek lehetővé teszik, hogy a maximális érték meghatározása hatékonyabban történjen, így nem szükséges különböző adathalmazokat alkalmazni az akció-érték függvény és az optimális politika tanulására.

A nem-kiterjesztő operátorok alkalmazása szintén egy másik fontos irány a Bellman-egyenletek megoldásában. A max operátor helyettesítésére egy olyan paraméterezett operátort alkalmazhatunk, amely nem okoz a megoldás konvergenciájában problémát. Az ilyen operátorok alkalmazásával elkerülhetjük a max operátorok okozta problémákat, amelyek a nem-lineáris optimális akció kereséséhez vezetnek, és biztosíthatjuk, hogy a megoldás mindig egy fix ponton konvergáljon.

Mindezek mellett, bár a Q-tanulás különböző módszerei, mint a kettős Q-tanulás és a nem-kiterjesztő operátorok alkalmazása előnyös lehet, fontos megérteni, hogy az optimális akciók meghatározása mindig függ a problémától és az alkalmazott módszertől. Az adatok minősége, a modell komplexitása és a tanulási algoritmusok közötti különbségek mind befolyásolják az eredményeket. Érdemes figyelni arra, hogy a különböző Q-tanulásos megközelítések közötti választás nemcsak az algoritmus hatékonyságát, hanem a konvergenciát és az eredmények megbízhatóságát is befolyásolja.