A Walrasi egyensúlyban, amikor a fogyasztókat sima hasznossági függvénnyel jellemezzük, a fogyasztó a saját végső jövedelmét, ω∗ i, fogyasztja el. Az egyensúlyi relatív árakat az indifferenciagörbéjük lejtője határozza meg az indifferencia görbén keresztül haladó fogyasztás/kezdő jövedelem pontjánál, ahogy azt a 15.2-es ábra szemlélteti. Az iep, vagyis az „jövedelem-kiterjesztési útvonal” (income expansion path) a fogyasztó kezdeti jövedelmi pontján keresztül haladó pontok halmaza, ahol az indifferenciagörbe lejtője megegyezik ω∗ i értékével. Az iep mentén az indifferenciagörbék lejtője egyenlő, és az árarány nem változik.

Amennyiben az új végső jövedelem, ω̂i, „alatta” van (vagyis az iep jobb oldalán) a 15.2-es ábrának megfelelően, úgy a Walrasi egyensúlyban az árarány, p1/p2 csökken, mert a fogyasztó indifferenciagörbéi „laposabbak” lesznek az iep alatti területen. Ha ω̂i az iep „felett” (vagyis bal oldalán) helyezkedik el, akkor p1/p2 emelkedik, mivel szimmetrikusan, az indifferenciagörbék meredekebbé válnak. Ha ω̂i pontosan az iep mentén helyezkedik el, akkor az árarány nem változik. A μi vektort nevezzük az iep érintőjének, ahol μi a fogyasztó „határ hajlandósága a fogyasztásra” vektoraként értelmezhető. Ez a vektor a kereslet egyes javakra vonatkozó deriváltja, mi, amely feltételezi, hogy a keresleti kapcsolatok differenciálhatóak.

A 15.2-es ábrán lévő megfigyelés a következőképpen fogalmazható meg: elsőrendű közelítésben p1/p2 csökken, ha és csak akkor, ha az endómenta változása, Δωi, az μi vektortól 180°-os óramutató járásával megegyező forgatási tartományban helyezkedik el. Ennek geometriai megjelenítése az 15.3-as ábrán látható. Példa 15.7 [Nachbar (2018)]: Egy fogyasztóval rendelkező, két jószágú gazdaságban, ha az első jószág véges változása pozitív, míg a második jószágé változatlan marad, akkor Δω mentén egy pozitív irányú elmozdulás következik be az első jószág tengelyén. Ekkor a 15.3-as ábra szerint p1/p2 csökken, ha és csak akkor, ha a második jószág normális (tehát μi2 > 0).

Ez a megfigyelés akkor is érvényes, ha az első jószág normális, inferior vagy Giffen típusú. Az egyensúlyi helyzet automatikusan teljesül a két jószágú gazdaságban. Ha a gazdaságot bővítjük, hogy több, mint két jószág legyen, az eredmény a következőképpen általánosítható: ha minden jószág kereslete normális, akkor az árarány csökken, ha a jószágok többsége normális. Azonban, ahogy azt Hicks (1939) kimutatta, ez a koncepció nem mindig igaz, mivel minden jószág esetében lehetnek kivételek, ha nem minden jószág kölcsönösen helyettesíthető.

Ha az endómenták több jószág esetében egyszerre változnak, akkor a klasszikus statikus komparatív elemzés (CSI) szerinti eredményeket nem lehet egyértelműen meghatározni. Az Arrow-Debreu típusú gazdaságban, ahol több jószág szerepel, a végső jövedelemváltozások és az árarányok közötti kapcsolat a következő egyszerűsített formában jelenik meg: ΔpT · Δωi ≤ 0. Ez azt jelenti, hogy az árarányok és az endómenták vektorai egymásra merőlegesek vagy legalább 90°-os szöget zárnak be.

A komplexitás növekvésével, amikor több jószág és több fogyasztó van, a rendszer viselkedésének további bonyolultságai is előjönnek. Az olyan modellek, amelyek figyelembe veszik a fogyasztói vektorok aggregálását, segítenek megérteni a több fogyasztós gazdaságok ármechanizmusait. A pontos ár- és keresletváltozások megértéséhez szükséges, hogy figyelembe vegyük a fogyasztók közötti különbségeket és az aggregált keresletet is.

Az aggregált kereslet és az egyes fogyasztók határhasznossági vektorai közötti kapcsolat az alapvető eredmények egyik kulcsfontosságú tényezője. Az aggregált változások elemzése során kulcsfontosságú, hogy figyelembe vegyük, hogy minden fogyasztó más-más módon reagál a gazdasági sokkokra, amelyek befolyásolják a keresletet és az árakat. Az ilyen típusú elemzés különösen fontos lehet egy fejlettebb gazdasági modellben, ahol a fogyasztók közötti heterogenitás és a jószágok kölcsönhatásai bonyolítják az eredményeket.

Milyen körülmények között jellemzőek a tipikus egyensúlyi helyzetek a gazdaságokban?

A gazdasági egyensúlyok elemzése során különböző matematikai eszközök és megközelítések segítenek megérteni, hogy mi történik, amikor a kereslet és kínálat találkozik egy piacon. Az egyik alapvető módszer, amely segítségével számos egyensúlyi helyzetet azonosíthatunk, a transzverzalitás elmélete, amely a görbék, felületek és egyéb manifesztumok metszéspontjait vizsgálja. Ennek az elméletnek az alkalmazása különböző gazdasági modellekben fontos szerepet játszik, mivel lehetővé teszi számunkra, hogy megértsük, miért és mikor fordul elő végtelen számú egyensúlyi állapot egy gazdaságban.

A transzverzalitás elméletének egyik legismertebb alkalmazása Debreu (1970) munkájában található, amely azt állítja, hogy bizonyos feltételek mellett a „rendes” gazdaságok – amelyek véges számú lokálisan izolált egyensúlyi állapotot mutatnak – túlnyomórészt előfordulnak az összes lehetséges gazdaság között. Azaz, ha véletlenszerűen választunk egy gazdaságot, a valószínűség, hogy az egyensúlyi állapotai rendesek lesznek, szinte 1. Az ilyen gazdaságok esetében a kereslet-kínálat függvények és az egyensúlyi helyzetek viselkedése jól leírható, és lehetőség van arra, hogy pontosan meghatározzuk a gazdaság viselkedését a különböző paraméterek függvényében.

A transzverzalitás elmélete értékes betekintést ad abba, hogy hogyan lehet biztosítani, hogy az egyensúlyi helyzetek száma véges és izolált legyen, illetve miért van az, hogy sok gazdasági modellben a helyzetek többsége nem kritikus, hanem rendes. A rendes gazdaságok jellemzője, hogy ezek az egyensúlyi helyzetek számos különböző paraméterek és gazdasági tényezők hatására stabilak maradnak, és az ilyen modellekre jellemző, hogy véges számú egyensúlyi pontot tartalmaznak.

Egy másik fontos megállapítás Debreu munkájából az, hogy a tipikus gazdaságokban az egyensúlyok nem csupán végesek, hanem egyesek számára elkülönítettek is. Ez azt jelenti, hogy az ilyen gazdaságok esetében nemcsak véges számú, hanem jól definiált, elkülönült egyensúlyi helyzetek találhatóak. Ezt a megközelítést a kereslet-kínálat függvények részletes vizsgálata és a paraméterek finomhangolása segíti elő.

A különböző gazdasági modellek és egyensúlyi állapotok elemzése során kiemelt szerepe van a paraméterek és az egyensúlyi pontok közötti összefüggések megértésének. A rendszeres és rendes gazdaságok esetében a modellben szereplő egyensúlyok száma véges, és általában jól izoláltak. Az egyensúlyok stabilitását, valamint a különböző paraméterek hatását a gazdasági rendszerekre különféle matematikai eszközökkel lehet modellezni, és ezek az eszközök rendkívül fontosak a gazdasági elemzések során.

A fenti elméletek és matematikai megközelítések alapján, amikor egy gazdasági egyensúlyt keresünk, meg kell értenünk, hogy nem minden gazdaság követi ugyanazt a mintát. Bár a tipikus gazdaságok véges számú és elkülönült egyensúlyi helyzetekkel rendelkeznek, létezhetnek olyan kritikus gazdaságok is, amelyek nem felelnek meg a hagyományos elméleti modelleknek, és ezek nagyon ritkák. A gazdasági elméletek alkalmazása során tehát fontos, hogy tisztában legyünk azzal, hogy a legtöbb gazdaság stabil és rendes egyensúlyi pontokkal rendelkezik, de a kritikus gazdaságok jelenléte sem zárható ki.

A transzverzalitás elmélete tehát nemcsak arra ad választ, hogy miként találhatók az egyensúlyok, hanem arra is, hogy ezek miként viselkednek különböző paraméterek függvényében. A rendes gazdaságok jellemzője, hogy az ilyen egyensúlyok stabilak és könnyen kezelhetők. Az ilyen típusú gazdaságok előre jelezhetők, és a jövőbeli gazdasági előrejelzések során megbízhatóan alkalmazhatók.

A valós gazdaságok vizsgálatakor nem elegendő csupán a matematikai modellre hagyatkozni. Az ilyen modellek alkalmazásakor mindig figyelembe kell venni a gazdasági tényezők változékonyságát és a lehetséges eltéréseket a különböző paraméterek között. Ennek érdekében további elemzésekre és finomhangolásra lehet szükség annak érdekében, hogy az elméleti eredményeket a valós gazdasági viszonyokhoz közelítsük.

Hogyan változott az Egyesült Államok külpolitikája és a Kongresszus szerepe a posztimperiális korban?
A Sobolev-terek és a Tranzitív Operátorok Határértékei
Hogyan tesztelhetjük az idősortállóságot: statisztikai módszerek és gyakorlatok
Hogyan alakítja át az online tér a rendszerszemléletű terápiás munkát?