Hogyan kapcsolódik az S-mátrix a szóródási folyamatokhoz?

A szóródási amplitúdó a reakció esélyét adja meg, amelyet a következő képlettel lehet kifejezni: $(p1, \alpha) + (p2, \beta) \rightarrow (p′1, \alpha′) + (p′2, \beta′)$. Általánosabban a szóródási amplitúdó az $S_{fi}$ egyenlettel adható meg: $S_{fi} = \langle f ; out|i ; in \rangle$, ahol $f$ és $i$ azok a kvantumszámok, amelyek a végső és a kezdeti állapotokat jellemzik. A normalizált állapotok esetében a modulus négyzetére $| \langle f ; out|i ; in \rangle |^2 = P (i \rightarrow f)$ a reakció valószínűségét adja.

A kapcsolódás, amely összeköti a valószínűséget és a keresztmetszetet, részletesebben olvasható a [1] hivatkozásban. Az $S$-mátrixot a "bemeneti" és "kimeneti" állapotok segítségével lehet leírni: $\sum S = |n; in \rangle \langle n, out|$, ahonnan az $S_{fi} = \langle f ; out|i ; in \rangle = \langle f ; in |S|i ; in \rangle = \langle f ; out | S | i ; out \rangle$ egyenletek következnek. Ebből az is kiderül, hogy az $S$-operátor a kimeneti alapot a bemeneti alapra alakítja át, tehát $S |m; out \rangle = |m; in \rangle$, ami azt jelenti, hogy az $S$-mátrix unitáris, tehát $S^\dagger S = SS^\dagger = 1$.

A unitáris $S$-mátrix a következő eredménnyel is jár: a valószínűségek összege, azaz a reakciók végső állapotainak összesített valószínűsége, egységnyi kell legyen, azaz $\sum | \langle f ; out | S | i ; out \rangle |^2 = 1$. Ezt az összesített valószínűséget a szóródási kísérlet során a kimeneti állapotok teljes halmaza adja.

A kapcsolat a Heisenberg-képviselés és az interakciós képviselés között a következő képlettel van bemutatva: $\langle f ; out | i ; in \rangle$ és $\langle f ; in | S | i ; in \rangle$ egyaránt az időbeli koherenciát biztosítják, függetlenül a specifikus képviseléstől. A $\langle f ; out | S | i ; out \rangle$ és $\langle f ; in | S | i ; in \rangle$ a szóródás esetén az inkoming és outgoing állapotok közötti átmenetet fejezik ki.

Az $S$-mátrixok és a mezők kapcsolata, mint például az aszimptotikus mezők, fontos szerepet játszanak az ilyen típusú szóródási folyamatok megértésében. A mezők $\phi_{\text{in}}(x)$ és $\phi_{\text{out}}(x)$ állapotai a Heisenberg-képviselésben alapvetőek, hogy megértsük, hogyan változnak az állapotok a végtelen időhatárokon ($t \rightarrow \pm \infty$). Az ilyen típusú feltételezés, amit aszimptotikus hipotézisnek nevezünk, biztosítja, hogy a mező viselkedése ezen határok mellett a szabad mezőhöz hasonló legyen, amely a klasszikus mechanikában egy fázistér-trajektóriához hasonlítható.

Ezek a mezők, $\phi_{\text{in}}(x)$ és $\phi_{\text{out}}(x)$, a kvantumállapotok között terjednek, és amikor alkalmazzuk őket a vákuumra, létrehozhatják a kimeneti és bemeneti állapotokat. A $\phi_{\text{out}}(x)$ alkalmazása a vákuumra sok-pontú, nem-interakciós állapotokat eredményez $t \rightarrow +\infty$, és ugyanez igaz a bemeneti mezőre is a megfelelő $t \rightarrow -\infty$ határidőkkel.

A szóródási folyamatok mélyebb megértéséhez fontos figyelembe venni az aszimptotikus mezők megfelelő normalizálását. A mezők kifejezésére és inverziójára használt operátorok az interakciós reprezentációban a normál kanonikus kommutációs szabályokat követik. Az ilyen típusú kifejezések alkalmazásával az operátorok megerősítik, hogy a kimeneti és bemeneti állapotok között az interakciók fokozatosan elérhetik a szabad mezőkhez közeli állapotokat.

A szóródás és az $S$-mátrix összekapcsolása tehát nemcsak a kvantumállapotok közötti átmeneteket adja meg, hanem a valószínűségek és az alapvető mezőtheoretikai törvények alkalmazását is elősegíti, hogy meghatározhassuk a rendszer viselkedését az időbeli határok közelében.

Hogyan határozzuk meg a négypontos Green-függvényeket a λφ⁴ elméletben?

A négypontos Green-függvények a kvantumelméletekben, különösen a kölcsönhatások kezelésében, kulcsfontosságú szerepet játszanak. Ezek a függvények leírják a részecskék közötti interakciókat, és segítenek megérteni, hogyan viselkednek az alapvető kölcsönhatások a részecskefizikában. A λφ⁴ elméletben a négypontszerű Green-függvények a legfontosabb eszközei a folyamatok leírásának, és megértésük alapvető a perturbációs elmélet alkalmazásához.

Az S-mátrix, amely a kvantumtérelméletekben az átmeneti állapotok közötti kapcsolatot reprezentálja, grafikus formában, Feynman-diagramokkal ábrázolható. A kapcsolódó négypontos Green-függvények azzal a feltétellel képződnek, hogy minden egyes külső vonal 1PI (egyszeri részecske-interakciós) a külső vonalak mentén. Az ilyen típusú diagramok a részecskék közötti kölcsönhatásokat reprezentálják, ahol a vertexek és az interne vonalak különféle tényezőket tartalmaznak.

A kapcsolódó négypontszerű Green-függvények szétbontásakor az egyik legfontosabb elem az integrálás a pillanatok és a koordináták felett. A külső vonalak egy-egy részecske koordinátáit képviselik, míg az interne vonalak a közvetítő mezőket vagy kölcsönhatásokat. Az egyes Feynman-diagramokban szereplő belső vonalak általánosan az alaptípusú propagátorokkal (például az iΔF(x−y, m₀) propagátorral) és a koherens állapotokat reprezentáló integrálokkal jelennek meg.

A külső vonalak momentumát gyakran az S-mátrix formulákban egy −i(p² − m²) faktorra történő szorzással kell figyelembe venni, ami kiválasztja az egyes pólusokat a megfelelő reziduumokhoz. Ez a módszer segít a mérhető kvantummechanikai mennyiségek kiszámításában, amelyek később felhasználhatók a fizikai modellekhez.

A Feynman-diagramok felhasználásával a szórási amplitúdókat is könnyen kiszámíthatjuk. A példánkban a két részecske szórásának amplitúdója a következő egyszerű diagrammal ábrázolható: az egyik diagramban az S-mátrix kifejezésében szereplő összes δ-függvény biztosítja az energia- és impulzusmegmaradást a részecskék között. Az integrálás során ezeket a δ-függvényeket felhasználva egyszerűsítjük a kifejezésben szereplő szorzatokat és elimináljuk azokat az integrálokat, amelyek a belső pillanatokra vonatkoznak.

A Feynman-diagramok használata mellett, ha komplexebb folyamatokat szeretnénk vizsgálni, figyelembe kell vennünk a divergenciákat is, amelyek a perturbációs elméletben gyakran előfordulnak. A rendszeres divergenciák, amelyek például a nagy q1 impulzusokkal járó integrálokban jelentkeznek, logaritmikus növekedést mutatnak, és szükség van azok kezelésére, például a renormalizációs eljárások alkalmazásával. Az ilyen típusú divergenciák kezelésére különböző módszerek léteznek, amelyek célja a végtelenek kiküszöbölése, valamint a fizikai állandók, például a renormalizált tömeg és a kölcsönhatási állandó, pontos meghatározása.

Az S-mátrix elemek és a Feynman-diagramok segítségével végzett számítások alapvető fontosságúak a kvantumtérelméleti modellek és az interakciók alapos megértésében. Az ilyen típusú elemzések segítenek abban, hogy megalapozzuk a részecskefizikai kísérletek elméleti előrejelzéseit és pontos számításait. A renormalizációs folyamatok alkalmazásával pedig lehetővé válik a kísérleti adatokkal való összevetés, és a fizikai modellek finomhangolása a valós világra vonatkozóan.