Comment calculer la force axiale interne dans une barre soumise à une force externe constante ?

Lors de l'analyse de la barre axiale sous une force externe, le but est de déterminer la distribution des forces internes le long de la barre. Pour ce faire, on utilise l'équilibre statique et les relations de déformation élastique. Nous commencerons par établir l'équation d'équilibre pour une section de la barre et en déduire l'expression de la force axiale interne.

Équilibre statique et forces internes

Prenons une petite section de la barre entre $x$ et $x + \Delta x$. La force axiale interne $N(x)$ à la position $x$ est positive en tension et négative en compression. Le diagramme de corps libre montre une force $N(x)$ à gauche et une force $N(x + \Delta x)$ à droite, en plus de la force externe $p(\xi) \Delta x$. L'équilibre statique nous donne ainsi l'équation :

En prenant le produit scalaire avec le vecteur unitaire $e_1$ et en divisant par $\Delta x$, puis en prenant la limite lorsque $\Delta x \to 0$, on obtient l'équation différentielle suivante :

Cette équation, appelée équation d'équilibre locale, relie la variation de la force interne à la distribution de la force externe appliquée. Elle exprime le fait que la dérivée de la force axiale interne par rapport à la position $x$ est égale à la force appliquée $p(x)$ mais avec un signe opposé.

Intégration de l'équation d'équilibre

Ainsi, la force interne à chaque point $x$ de la barre est donnée par :

Interprétation des résultats

Il est intéressant de noter que la force interne $N(x)$ est positive sur toute la longueur de la barre, ce qui signifie que la barre est sous tension. À l'extrémité gauche de la barre (en $x = 0$), la force interne est maximale $N(0) = p_0 L$, ce qui correspond à la réaction à l'extrémité fixée. À l'extrémité libre (en $x = L$), la force interne est nulle, comme attendu.

Utilisation des diagrammes de corps libre

Une autre approche consiste à couper la barre à un point $x$ et à utiliser un diagramme de corps libre pour déterminer la force interne $N(x)$. En gardant la partie gauche de la barre, on peut établir l'équilibre des forces en intégrant la force appliquée $p(x)$ sur la longueur de la barre de 0 à $x$. On obtient ainsi l'expression :

qui est identique à celle obtenue par la méthode d'intégration directe. Cette approche montre l'importance de comprendre le processus de "coupure" et de déterminer les forces internes en fonction de la distribution des forces appliquées sur la barre.

Autres approches : utilisation de la partie droite de la barre

Si nous choisissons de garder la partie droite de la barre après la coupure, le calcul de la force interne reste inchangé. Nous obtenons une expression similaire, mais avec une plage d'intégration différente. Dans ce cas, la plage d'intégration va de $x$ à $L$, ce qui est simplement une conséquence du choix du segment que l'on considère. Cela démontre que, peu importe où la coupure est effectuée, la force interne reste constante tout au long de la barre sous une charge axiale uniforme.

Modèle élastique de la barre

Comment déterminer et résoudre les conditions aux limites pour une barre axiale avec intégration numérique ?

Dans l’étude des barres axiales soumises à des conditions aux limites variées, la manipulation efficace des variables d’état finales est essentielle. Un vecteur indicateur, tel que .Var, est employé pour sélectionner les colonnes pertinentes d’une matrice B, correspondant aux variables inconnues à déterminer. Par exemple, si on considère une barre aux extrémités encastrées, le vecteur Var peut prendre la forme [1, 0, 1, 0], signifiant que seules les première et troisième colonnes de B sont conservées pour le calcul. L’opération .C = B(:,Var==1) en MATLAB extrait ainsi ces colonnes, simplifiant l’équation à résoudre.

Une autre méthode consiste à inclure explicitement les équations des conditions aux limites dans le système, formant ainsi une matrice augmentée. Par exemple, dans le cas d’une barre encastrée à ses deux extrémités, on impose que les déplacements aux points 0 et L soient nuls (uo = 0, uL = 0). Cette approche garantit que la résolution linéaire fournira les mêmes résultats que la sélection par le vecteur Var.

La charge répartie p(x) est intégrée numériquement par une méthode composite, typiquement la règle de Simpson, sur une grille discrète. Cette intégration permet de calculer les moments intégrés I0 et I1 qui alimentent le système linéaire. Les fonctions de charge peuvent être modulées selon divers profils, et la structure du programme MATLAB présenté montre une grande flexibilité dans la définition des conditions aux limites et des types de charges.

L’algorithme s’articule ainsi : d’abord, déterminer les conditions aux limites codées par BCL et BCR qui activent les contraintes fixes ou libres aux extrémités ; puis, calculer les intégrales pondérées de la charge selon le profil choisi ; ensuite, construire la matrice B et la réduire en C en fonction des variables libres pour résoudre le système linéaire et trouver les états aux extrémités ; enfin, intégrer les équations différentielles par la méthode du trapèze généralisé en partant des conditions initiales calculées.

Il importe de noter que la précision globale dépend non seulement du choix du pas d’intégration, mais aussi de la méthode et du nombre de points utilisés dans l’intégration numérique des charges. Toute imprécision dans l’évaluation de ces intégrales aura une incidence directe sur la qualité des résultats finaux, incitant à ajuster le maillage numérique et à vérifier systématiquement la convergence.

Au-delà des aspects algorithmiques, comprendre que ce processus est un exemple de la résolution numérique de problèmes aux limites, où l’on combine la résolution d’un système d’équations linéaires et une intégration numérique adaptée, est fondamental. La modularité de ce schéma permet d’adapter facilement les conditions de chargement et les contraintes mécaniques, ce qui est essentiel dans le cadre d’analyses de structures réelles où les situations sont souvent complexes et variables.

Enfin, il est crucial pour le lecteur d’appréhender que la méthode présentée illustre une démarche générale en mécanique numérique : la réduction d’un problème continu en un système discret, la gestion explicite des conditions aux limites et le contrôle rigoureux de la précision numérique. Cette approche est transposable à d’autres domaines, où la résolution des équations différentielles avec conditions aux limites représente un défi majeur.

Comment déterminer la déformation et les contraintes dans un corps soumis à une déformation plane homogène ?

Dans le cadre de l'analyse des déformations dans un solide soumis à des contraintes, il est essentiel de pouvoir déterminer la carte de déformation, la localisation des points déformés, ainsi que les composants du tenseur de déformation associés. L'un des outils les plus utilisés pour cette tâche est l’analyse du strain, ou déformation, et la construction du cercle de Mohr, qui permet de visualiser les contraintes principales et les contraintes de cisaillement maximales. L'exemple suivant illustre comment traiter un problème de déformation plane homogène à partir de données mesurées par un rosette de jauges de déformation.

Considérons un corps solide dans un état de déformation plane, tel qu'une plaque mince soumise à des contraintes. À un point A de la plaque, des jauges de déformation disposées en triangle équilatéral mesurent les déformations normales suivantes : εa = 0.0095, εb = 0.0125, et εc = −0.0020. L'objectif est de déterminer les composants du tenseur de déformation associé à cette déformation dans le système de coordonnées {e1, e2}.

Le premier calcul consiste à exprimer les composants du tenseur de déformation à partir des mesures obtenues par les jauges. Ces valeurs de déformation sont ensuite utilisées pour calculer les déformations principales, en tenant compte de la direction et de l'intensité des variations de la longueur et de l'angle entre les éléments de la structure. Les déformations principales sont d'une grande importance pour comprendre la manière dont le matériau réagit aux forces appliquées, car elles permettent de déterminer les directions dans lesquelles les déformations sont les plus importantes.

L'analyse des contraintes de cisaillement est également indispensable. La contrainte de cisaillement maximale représente l'intensité de la déformation dans le sens de glissement, et son identification permet de déterminer les points de faiblesse potentiels dans la structure. Cette contrainte est visualisée à l'aide du cercle de Mohr, un outil graphique qui montre l'évolution des contraintes normales et de cisaillement en fonction des rotations du plan de déformation.

Dans le cadre d'une déformation homogène, il est aussi nécessaire de prendre en compte la déformation de la pièce dans sa totalité, en comparant la configuration de référence et la configuration déformée. Cela inclut la détermination de la longueur des lignes déformées, ainsi que des angles entre les segments. Par exemple, dans le cas d'une feuille carrée en déformation, la longueur des côtés et l'angle entre eux doivent être réévalués pour obtenir une description complète de l'état de déformation.

Un autre aspect à considérer est l'utilisation de jauges de déformation orientées à des angles spécifiques par rapport à l'horizontale dans la configuration de référence. Ces jauges fournissent des informations supplémentaires sur les déformations locales et permettent de compléter l'analyse. En mesurant les déformations dans différentes orientations, il est possible de mieux comprendre les effets de la déformation dans toutes les directions de l'espace, en particulier lorsque le corps est soumis à des déformations complexes.

Enfin, dans les situations où la déformation n’est pas homogène, comme dans le cas de déformations non uniformes ou de corps soumis à des variations de contraintes, il est crucial d'analyser les fonctions de déformation telles que le gradient de déformation et le tenseur de déformation de Green. Ces outils permettent d'obtenir des informations plus détaillées sur l'évolution de la déformation dans l'espace et de mieux anticiper le comportement du matériau.

La compréhension de ces concepts est essentielle pour prévoir la réponse d'un matériau soumis à des forces externes et pour concevoir des structures résilientes. La maîtrise des techniques de déformation et des outils analytiques comme le cercle de Mohr permet non seulement d'identifier les défaillances potentielles mais aussi d'optimiser les matériaux utilisés en fonction des contraintes auxquelles ils sont soumis.

Comment calcule-t-on la contrainte de cisaillement dans une poutre prismatique sous charge transversale ?

La détermination de la contrainte de cisaillement dans une poutre soumise à une charge transversale repose sur l’analyse d’équilibre des forces et des moments appliqués à une section transversale élémentaire. En considérant un élément infinitésimal de la poutre, la variation des contraintes normales sur les faces adjacentes ainsi que la contrainte de cisaillement moyenne agissant sur une découpe horizontale sont mises en relation par l’équilibre des forces dans la direction longitudinale.

Le point de départ est l’intégration des contraintes normales sur les surfaces délimitées par la découpe horizontale, avec un équilibre statique exprimé sous forme intégrale. En divisant cette expression par la longueur infinitésimale de la découpe et en prenant la limite lorsque cette longueur tend vers zéro, on obtient une relation différentielle qui implique la dérivée spatiale des contraintes normales. Cette dérivée est liée, via l’équilibre des moments, à la variation de moment fléchissant et à la force de cisaillement nette appliquée sur la section.

où $V(x)$ est la force de cisaillement nette agissant sur la section, $I$ est le moment d’inertie par rapport à l’axe neutre, $b(\zeta)$ est la largeur locale de la section à l’altitude $\zeta$, et $Q(\zeta)$ est le premier moment de surface par rapport à l’axe neutre, calculé uniquement sur la portion de la section située au-dessus (ou au-dessous) de la ligne $\zeta$.

En conséquence, la contrainte de cisaillement maximale dans une poutre prismatique est localisée à l’axe neutre, et son amplitude dépend du rapport $Q(\zeta)/b(\zeta)$. Ceci explique pourquoi, dans des sections de forme irrégulière, la largeur locale influe considérablement sur la répartition et la magnitude des contraintes de cisaillement.

Un point essentiel à retenir est que la contrainte de cisaillement transversale est homogène sur les faces horizontales de la découpe et équivalente aux contraintes de cisaillement agissant dans le plan de la section transversale, conformément aux lois de l’équilibre des moments sur un élément infinitésimal. Cette égalité permet de relier la distribution locale de la contrainte dans la section au comportement global de la poutre sous charge.

Il est fondamental de comprendre que cette démarche analytique repose sur l’hypothèse de petits déplacements et de petites rotations, permettant la linéarisation des équations d’équilibre. Cette approximation est justifiée lorsque les déformations restent suffisamment faibles par rapport aux dimensions caractéristiques de la poutre. En cas de déformations importantes, les non-linéarités deviennent prépondérantes, rendant nécessaire une approche plus complexe.

L’approche linéaire, fondée sur la série de Taylor, consiste à négliger les termes d’ordre supérieur dans le développement des fonctions de déplacement et de contrainte. Cette simplification est valable tant que ces termes négligés apportent une contribution négligeable. Elle permet ainsi d’obtenir des équations différentielles linéaires plus aisées à résoudre analytiquement, fournissant une bonne approximation du comportement mécanique pour la majorité des applications pratiques.

Par ailleurs, il est important d’avoir conscience que la distribution de la contrainte de cisaillement n’est pas uniforme, contrairement à une idée reçue parfois simplifiée dans les calculs préliminaires. Cette distribution influe sur les phénomènes de déformation locale, notamment les phénomènes de flambement ou de délaminage dans les matériaux composites.

Pour une maîtrise approfondie, il est nécessaire de revenir sur les relations fondamentales de la mécanique des milieux continus qui sous-tendent ces formules, ainsi que d’examiner les limites imposées par les hypothèses de la théorie classique des poutres. Une analyse plus fine pourrait inclure l’étude des contraintes principales, la prise en compte des effets tridimensionnels, ou encore l’impact des conditions aux limites non idéales.