La différentiabilité d’une fonction multivariée constitue un concept fondamental de l'analyse. Dans le cadre des fonctions définies sur R2\mathbb{R}^2 ou R3\mathbb{R}^3, l'étude des dérivées directionnelles et des matrices jacobiennes est cruciale pour comprendre les propriétés locales de la fonction. Cependant, ces propriétés ne sont pas toujours uniformes et il est essentiel de distinguer les cas où la différentiabilité existe de ceux où elle fait défaut.

Considérons une fonction f:R2→Rf : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} définie par :

f(x,y)={x2+y2,si y>0,x,si y=0,−x2+y2,si y<0.f(x, y) = \begin{cases} \sqrt{x^2 + y^2}, & \text{si } y > 0, \\ \sqrt{x}, & \text{si } y = 0, \\ -\sqrt{x^2 + y^2}, & \text{si } y < 0.
\end{cases}

Il est possible de démontrer que cette fonction n’est pas différentiable en (0,0)(0, 0). En effet, la fonction présente un changement brusque de comportement selon que yy soit positif, nul ou négatif. Pour prouver que la fonction n'est pas différentiable en (0,0)(0, 0), il suffira de vérifier que la limite de la différence quotiant n'est pas uniforme lorsque l’on approche ce point suivant différentes trajectoires. De plus, bien que cette fonction ne soit pas différentiable, chaque dérivée directionnelle en (0,0)(0, 0) existe. Cela montre que les dérivées directionnelles peuvent exister indépendamment de la différentiabilité globale de la fonction. Ce phénomène soulève la question de la continuité et de la régularité de la fonction en un point particulier. Une fonction peut être continue en un point tout en étant non différentiable, ce qui est souvent le cas dans des fonctions avec des singularités ou des changements de comportement comme celle-ci.

Un exemple similaire d'une fonction définie sur R2→R\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} est :

f(x,y)={x2+y2x,si (x,y)≠(0,0),0,si (x,y)=(0,0).f(x, y) =
\begin{cases} \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{x}, & \text{si } (x, y) \neq (0, 0), \\ 0, & \text{si } (x, y) = (0, 0). \end{cases}

Cette fonction pose également des difficultés similaires en ce qui concerne sa différentiabilité en (0,0)(0, 0), mais elle est continuellement dérivable dans toutes les directions sauf en (0,0)(0, 0).

Pour déterminer où une fonction est différentiable, il faut généralement vérifier que les dérivées partielles existent et que les matrices jacobiennes se comportent bien aux points d’intérêt. Par exemple, la différentiabilité de la fonction définie par f:R3→R3f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3, (x,y,z)↦(xsin⁡ycos⁡z,xsin⁡ysin⁡z,xcos⁡y)(x, y, z) \mapsto (x \sin y \cos z, x \sin y \sin z, x \cos y), est garantie partout dans son domaine. La matrice jacobienne de cette fonction au point (x,y,z)(x, y, z) est facilement obtenue en calculant les dérivées partielles de chaque composant de la fonction.

Cependant, la différentiabilité des fonctions composées demande une attention particulière. Supposons que f:X→Rmf : X \to \mathbb{R}^m et g:Y→Rng : Y \to \mathbb{R}^n soient des fonctions différentiables et que f(X)⊆Yf(X) \subseteq Y. Dans ce cas, la composition g∘fg \circ f est différentiable, et la dérivée de cette composition est donnée par la règle de la chaîne :

∂(g∘f)(x0)=∂g(f(x0))∂f(x0).\partial(g \circ f)(x_0) = \partial g(f(x_0)) \partial f(x_0).

Cette règle permet de calculer les dérivées des compositions de fonctions et joue un rôle essentiel pour la résolution de problèmes complexes en analyse multivariée, notamment dans la modélisation de phénomènes physiques où plusieurs variables sont interconnectées. L’une des applications les plus intéressantes de la règle de la chaîne concerne les champs de vecteurs et la dynamique des systèmes, où les relations entre les différentes variables peuvent être très complexes.

Un autre point clé dans l'étude de la différentiabilité concerne les propriétés des matrices jacobiennes. Elles jouent un rôle crucial non seulement pour calculer les dérivées partielles mais aussi pour comprendre la manière dont une petite variation des variables d'entrée affecte la sortie de la fonction. Par exemple, la matrice jacobienne d'une fonction R3→R3\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 donnée par (x,y,z)↦(x2+y2−z2)(x, y, z) \mapsto (x^2 + y^2 - z^2) révèle la structure du changement de la fonction en fonction de petites perturbations des variables d’entrée. Ces matrices peuvent indiquer si une fonction est localement inversible, ce qui est particulièrement utile en géométrie différentielle et en théorie des singularités.

En résumé, la différentiabilité des fonctions multivariées est un sujet complexe qui repose sur une analyse détaillée des dérivées directionnelles et des matrices jacobiennes. Les critères de différentiabilité, tels que la continuité et l’existence des dérivées partielles, sont cruciaux pour déterminer les points où les fonctions peuvent être manipulées de manière régulière et continue. Cela permet de décrire des phénomènes variés, allant de la mécanique des fluides à la géométrie des courbes et des surfaces. Les outils mathématiques associés à ce domaine, notamment la règle de la chaîne et les matrices jacobiennes, fournissent un cadre puissant pour comprendre et manipuler des fonctions multivariées dans diverses disciplines scientifiques et techniques.

Comment comprendre les cartes différentiables et leurs applications en géométrie différentielle ?

Les cartes différentiables jouent un rôle crucial dans la géométrie différentielle, permettant de décrire des variétés différentiables en termes de leurs structures locales. Supposons que NN soit une sous-variété de Rr\mathbb{R}^r de classe CrC^r, et que f∈C(M,N)f \in C(M, N), où MM est une variété de classe CsC^s. Si (ϕ,U)(ϕ, U) est une carte de MM autour de pp, et (ψ,W)(ψ, W) est une carte de NN autour de f(p)f(p), alors l'ensemble U∩f−1(W)U \cap f^{ -1}(W) constitue un voisinage ouvert de pp dans MM. En réduisant UU, on peut supposer sans perte de généralité que f(U)⊂Wf(U) \subset W.

Ainsi, une fonction ff est dite ss-fois différentiable en pp si la fonction locale associée à la carte (ϕ,ψ)(ϕ, ψ), définie par fϕ,ψ:=ψ∘f∘ϕ−1f_{ϕ,ψ} := ψ \circ f \circ ϕ^{ -1}, est ss-fois différentiable en ϕ(p)ϕ(p). Cela permet de relier la notion de différentiabilité des fonctions entre variétés à leur représentation locale dans des coordonnées euclidiennes.

Si ff est ss-fois différentiable en chaque point de MM, on dit que f∈Cs(M,N)f \in C^s(M, N). De plus, le groupe Diffs(M,N)\text{Diff}_s(M, N) regroupe les difféomorphismes de classe CsC^s entre MM et NN, c'est-à-dire les applications bijectives de classe CsC^s dont l'inverse est également de classe CsC^s. On dit que MM et NN sont CsC^s-diffeomorphes si Diffs(M,N)\text{Diff}_s(M, N) n'est pas vide.

Il est important de noter que la différentiabilité d'une fonction est indépendante du choix des cartes utilisées. Si (ϕ,U)(ϕ, U) et (ψ,W)(ψ, W) sont deux cartes locales sur MM et NN respectivement, alors la composition ψ∘f∘ϕ−1ψ \circ f \circ ϕ^{ -1} peut être utilisée pour montrer que la différentiabilité est préservée quelle que soit la représentation locale choisie, sous réserve que les fonctions de transition entre les cartes soient de classe CqC^q ou CrC^r, comme stipulé dans le théorème.

En outre, la tangente d'une fonction f:M→Nf : M \to N en un point pp est définie à travers un diagramme commutatif reliant les espaces tangents de MM et NN. Plus précisément, si ff est différentiable en pp, le diagramme impliquant les espaces tangents TpMT_p M et Tf(p)NT_{f(p)} N permet de définir le map tangent TpfT_p f, qui est une application linéaire entre ces espaces.

Ce concept est particulièrement utile dans le cadre des applications différentiables entre variétés, et permet de relier la structure locale des variétés par l'intermédiaire de leurs espaces tangents. Si MM et NN sont de dimension nn et mm, respectivement, alors la tangente à ff au point pp appartient à l'ensemble des applications linéaires L(TpM,Tf(p)N)L(T_p M, T_{f(p)} N), et le fait que la tangente soit bien définie est crucial pour de nombreuses applications en géométrie différentielle et en topologie.

Il est aussi important de souligner que la notion de tangente est coordonnée-indépendante. Les résultats relatifs à la tangente et aux espaces normaux de MM et NN s'appliquent même dans des situations très générales, et l'utilisation de cartes locales permet de donner une interprétation concrète des objets mathématiques qui sont, en réalité, indépendants de la spécificité du système de coordonnées choisi.

En analysant le cas où une fonction f:M→Rf : M \to \mathbb{R} est différentiable en pp, et en définissant son différentiel dpfd_p f comme un formulaire linéaire continu sur TpMT_p M, on obtient également la notion de gradient ∇pf\nabla_p f à travers le théorème de représentation de Riesz. Cela permet de relier la notion de différentiabilité à celle d'un vecteur particulier dans l'espace tangent, fournissant ainsi une mesure directe de la variation de ff autour de pp.

En résumé, les cartes différentielles et les concepts associés, tels que les tangentes et les gradients, permettent de comprendre de manière précise et coordonnée comment les fonctions agissent sur les variétés. Ces notions sont des outils puissants en géométrie différentielle, car elles permettent de localiser et de manipuler les propriétés globales des variétés à travers des structures locales de manière élégante et cohérente.

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