Comment comprendre l'indétermination statique externe et interne d'une structure et l'analyse des barres axiales ?

L'indétermination statique d'une structure est un concept clé en mécanique des solides déformables, qui découle de l'incapacité d'un système à être entièrement résolu par les seules conditions d'équilibre. Une structure est dite externe indéterminée si elle présente un excès de réactions de support qui ne peuvent être déterminées uniquement par les équilibres mécaniques. En d'autres termes, il existe trop de points d’appui ou de réactions pour qu'un calcul d'équilibre seul puisse suffire à les résoudre. À l'inverse, une structure est interne indéterminée si les forces internes qui agissent à l'intérieur de ses éléments sont trop nombreuses pour être définies par les seules équations d'équilibre.

Prenons l'exemple d'une poutre supportée de manière complexe, où les conditions aux bords et les réacteurs sont multiples et non entièrement indépendantes. Dans ce cas, l'équilibre global de la structure seule ne permet pas de déterminer de manière unique les forces internes dans chaque élément de la poutre. La combinaison de ces effets externes et internes contribue à une indétermination plus grande, nécessitant l'utilisation d'approches plus avancées comme la méthode des éléments finis ou la résolution par des principes énergétiques.

Le barre axiale constitue un modèle simple mais efficace pour illustrer les principes de base de la théorie des solides déformables. Elle présente un corps solide de forme allongée, dont une dimension (la longueur) est beaucoup plus grande que les autres. L'axe de cette barre est défini le long de la direction de la longueur, et la déformation se fait uniquement le long de cet axe. Ce type de barre est un excellent point de départ pour explorer les comportements mécaniques dans le cadre des solides déformables.

Le problème de la barre axiale

Une barre axiale est caractérisée par sa longueur $L$, sa section transversale $A$, et un matériau défini par son module de Young $E$. En présence de charges réparties ou concentrées, l'objectif est de déterminer les forces internes qui se développent dans la barre, ainsi que les déplacements des différentes sections de la barre sous l'effet de ces charges.

La déformation de la barre, quant à elle, peut être exprimée par l’évolution de la longueur des petites portions de la barre sous l’effet de l’application de forces. Pour cela, on utilise la notion de contrainte et de déformation. La contrainte axiale, qui représente la force par unité de surface, est en relation directe avec la déformation de la barre. En termes de déformation, on parle de la contrainte d’ingénierie, qui est le rapport de la variation de longueur à la longueur initiale.

La déformation et la contrainte sont liées par un phénomène physique simple, mais fondamental : le module de Young. Ce module décrit la capacité du matériau à résister à la déformation sous l’effet des forces appliquées. La barre axiale est un modèle idéal pour l’introduction de ce concept, car il permet d'aborder les notions de base des relations entre forces internes, déformations et propriétés matérielles.

Le problème de déformation et la fonction de déplacement

Le déplacement de la barre sous charge peut être compris en analysant le mouvement de ses sections transversales. Chaque section de la barre se déplace uniquement selon l'axe de la barre, et ce déplacement peut être caractérisé par une fonction de déplacement $u(x)$, qui varie le long de la longueur de la barre. L’analyse de cette déformation se fait sous la contrainte d’une hypothèse cinématique qui suppose que les sections transversales se déplacent rigide, sans torsion ni déformation en dehors de l’axe principal.

Force interne et comportement des matériaux

La force interne dans une barre axiale est directement liée à la déformation, selon la loi de Hooke, qui stipule que la contrainte interne est proportionnelle à la déformation, avec la constante de proportionnalité étant le module de Young du matériau. L'analyse de la barre axiale dans ce cadre est donc une application des principes de la mécanique des solides déformables, où la relation entre la déformation, les forces internes et les propriétés matérielles est centrale.

En résumé, l'étude des barres axiales est essentielle pour comprendre les bases de la déformation des matériaux et la réponse d'une structure sous des charges externes. La mécanique des solides déformables repose sur un ensemble de principes fondamentaux — équilibre, cinématique et constitution des matériaux — qui sont illustrés de manière claire dans l'analyse de la barre axiale.

Ce modèle simplifié permet de démontrer comment des concepts de base peuvent être utilisés pour résoudre des problèmes complexes dans des structures réelles, tout en soulignant l’importance des hypothèses sous-jacentes et des restrictions dans les modèles théoriques.

Comment les directions principales de contrainte et de déformation se relient-elles dans la loi de Hooke ?

En multipliant l’équation de la contrainte $\mathbf{S} = \lambda \mathrm{tr}(\mathbf{E}) \mathbf{I} + 2\mu \mathbf{E}$ par le vecteur propre $\mathbf{n}_i$, on constate que $\mathbf{n}_i$ est également vecteur propre du tenseur de contrainte $\mathbf{S}$, associé à la valeur propre $\sigma_i = \lambda \mathrm{tr}(\mathbf{E}) + 2\mu \varepsilon_i$. Ainsi, la loi de Hooke garantit que les directions principales de déformation et de contrainte sont identiques, bien que leurs valeurs propres diffèrent. Ce résultat est crucial pour la résolution des problèmes en mécanique des matériaux, car il simplifie considérablement la compréhension et le calcul des états de contraintes.

La mécanique des milieux continus repose sur l’articulation cohérente de la cinématique, de l’équilibre et du comportement constitutif. La cinématique décrit la déformation à travers le tenseur de déformation, l’équilibre assure la compatibilité des contraintes selon le principe de Cauchy, tandis que le comportement constitutif, ici la loi de Hooke, relie ces deux notions. Ce triptyque permet d’aborder des problèmes multiaxiaux complexes, où la déformation, les contraintes appliquées, et la réponse matérielle interagissent.

Lorsque des informations partielles sont disponibles, par exemple des mesures de déformations locales par jauges de déformation et des contraintes partielles, le système complet peut être résolu pour déterminer les inconnues restantes, qu’elles soient géométriques ou mécaniques. Ce processus met en lumière la nécessité d’une modélisation rigoureuse, capable de combiner observations expérimentales et relations théoriques.

La compréhension des déformations hors plan, comme dans l’état de contrainte plane, impose également de considérer les composantes hors plan des déformations, souvent négligées, mais néanmoins essentielles pour une description fidèle de la réalité mécanique. Ainsi, le tenseur de déformation tridimensionnel, même dans une configuration apparemment bidimensionnelle, conserve des composantes qui influencent la réponse globale du matériau.

Les directions principales sont non seulement un concept mathématique, mais aussi une clé d’interprétation physique, indiquant les orientations où la matière subit ses efforts maximaux ou minimaux, et orientant les décisions d’ingénierie, telles que la disposition des fibres dans les composites ou l’analyse des risques de rupture. La précision dans le calcul de ces directions et valeurs principales est donc fondamentale.

Il est important de noter que cette approche suppose un comportement linéaire et élastique du matériau. Dans les cas de matériaux non linéaires, plastiques ou viscoélastiques, la relation entre contraintes et déformations et leurs directions principales peut devenir plus complexe, nécessitant des modèles constitutifs adaptés. Par ailleurs, l’analyse repose sur des hypothèses de petites déformations; lorsque celles-ci deviennent grandes, les formulations doivent être ajustées pour intégrer la non-linéarité géométrique.

Au-delà des calculs et des formules, la maîtrise de ces concepts permet une meilleure appréhension des phénomènes physiques sous-jacents, notamment la manière dont une structure répond à une sollicitation multiaxiale, comment les contraintes se redistribuent, et comment cela affecte la sécurité et la durabilité des matériaux.

Comment la théorie des poutres est-elle fondée sur l'hypothèse cinématique de la déformation des sections planes ?

La théorie des poutres repose sur une hypothèse cinématique selon laquelle les sections planes demeurent planes après la déformation. Cette hypothèse simple, mais fondamentale, permet de réduire les équations différentielles partielles en équations différentielles ordinaires, qui peuvent ensuite être résolues pour obtenir des résultats pratiques. La déformation de la poutre sous l’effet de charges appliquées est ainsi modélisée, et cette modélisation permet d'estimer les déplacements transversaux de la poutre, ainsi que les contraintes et déformations qui en résultent.

Prenons le cas d'une poutre soumise à une charge transversale q(x), comme l’illustre la figure 7.1. Lorsque ces charges sont appliquées, elles génèrent une déformation de la poutre, la faisant se courber et se déplacer perpendiculairement à son axe longitudinal. La section transversale de la poutre subit une rotation dans le plan de mouvement. Il est essentiel de comprendre que chaque section de la poutre, initialement plane, continue de se comporter comme une section plane après la déformation, bien qu’elle puisse se déplacer et se faire pivoter par rapport aux autres sections.

L’un des éléments clés de cette théorie est la géométrie de la section transversale de la poutre. En particulier, la section transversale se caractérise par son aire et les moments d'inertie relatifs au centre de masse de la section. Ces propriétés sont essentielles pour déterminer les réactions de la poutre aux forces appliquées. La déformation de la poutre peut alors être modélisée en fonction de ces propriétés géométriques et du module d’Young (E), un paramètre qui détermine la rigidité du matériau.

Kinematics des poutres

Ces déplacements sont liés à l’angle de rotation $\theta(x)$, et l’orientation de la section transversale peut être suivie par les vecteurs unitaires $n(x)$ et $m(x)$, qui évoluent en fonction de $x$. Ces relations sont nécessaires pour décrire avec précision la déformation de la poutre et pour calculer les contraintes internes résultant des charges appliquées.

Relations de déformation et de déplacement

L'hypothèse cinématique des sections planes permet ainsi d'exprimer la déformation entre deux sections voisines en termes de translation et de rotation. Ces éléments sont essentiels pour décrire le comportement global de la poutre sous chargement.

Importance de la déformation dans le calcul des contraintes

Au-delà de la description géométrique de la déformation, il est important de comprendre comment les contraintes se développent dans la poutre. La déformation de chaque section, et la manière dont ces déformations varient le long de la poutre, sont des facteurs déterminants pour le calcul des contraintes internes. Ces contraintes dépendent directement de la rigidité du matériau (le module d'Young) et des propriétés géométriques de la poutre, comme le moment d'inertie de la section transversale.

L’étude des contraintes internes à la poutre permet de prévoir sa résistance et son comportement sous diverses charges, qu'il s'agisse de forces transversales, d'efforts axiaux ou de couples. Chaque type de contrainte générée par la déformation doit être pris en compte pour assurer la sécurité et la performance des structures.