Qu'est-ce qu'une fonction convexe et quelles sont ses propriétés fondamentales ?

Considérons un espace vectoriel réel $E$ et un sous-ensemble convexe $C \subseteq E$. Une fonction $f : C \to [-\infty, +\infty]$ est dite convexe si son épigraphe, défini par

est un ensemble convexe dans $E \times \mathbb{R}$. Le domaine effectif de $f$, noté $\mathrm{dom} f$, correspond à l’ensemble des points $x \in C$ où $f(x)$ est fini. Une fonction convexe est dite propre si $\mathrm{dom} f \neq \emptyset$ et si $f$ ne prend jamais la valeur $-\infty$.

Lorsqu’on considère une fonction propre convexe $f : C \to \mathbb{R} \cup \{ +\infty \}$, il est toujours possible de l’étendre en une fonction propre convexe sur tout l’espace $E$ en posant $f(x) := +\infty$ si $x \notin C$. Cette extension conserve la convexité.

qui sont des fonctions monotones croissantes satisfaisant

Ces dérivées latérales héritent de continuités spécifiques : $f'_+$ est continue à droite, tandis que $f'_-$ est continue à gauche. La fonction $f$ est différentiable presque partout dans $D$, et on peut la reconstruire à partir de ses dérivées par intégration.

La relation d'inégalité

La preuve de ces propriétés repose notamment sur la convexité de l’épigraphe, la séparation des convexes par des plans affines, et des arguments analytiques classiques d’approximation et de passage à la limite. Le fait qu’une fonction convexe propre ne puisse être constante sur un sous-espace affine de dimension inférieure est également central dans la structure de ses dérivées et de son comportement global.

Il est important de comprendre que la convexité confère une régularité intrinsèque à la fonction, même lorsque celle-ci peut prendre la valeur infinie. Cette régularité se manifeste notamment par la monotonicité des dérivées latérales e

Comment déterminer les prix sans arbitrage des options européennes dans un marché probabiliste ?

La détermination des prix sans arbitrage d’une option européenne repose fondamentalement sur la notion de mesure martingale équivalente, un concept central dans la théorie financière moderne. On considère un marché où les actifs sont modélisés par des processus stochastiques et où l’absence d’opportunités d’arbitrage se traduit par l’existence d’au moins une telle mesure, sous laquelle les prix actualisés des actifs suivent des martingales.

Le prix sans arbitrage π(H) d’une option avec payoff H est donné par l’espérance sous une mesure martingale équivalente P∗ du payoff actualisé, soit π(H) = E∗[H]. Cette mesure est dite équivalente car elle conserve la structure probabiliste tout en transformant les prix en martingales. Le théorème fondamental (Théorème 5.16) établit qu’un prix est sans arbitrage si et seulement s’il existe une telle mesure P̂ qui prolonge le modèle initial aux actifs étendus, incluant la réplique stochastique de l’option.

Les bornes inférieure et supérieure des prix sans arbitrage, π_inf(H) = inf_{P∗∈P} E∗[H] et π_sup(H) = sup_{P∗∈P} E∗[H], délimitent un intervalle non vide de prix admissibles. Lorsque H est répliquable, c’est-à-dire qu’il existe une stratégie de portefeuille permettant de reproduire exactement H, cet intervalle se réduit à un point unique : π_inf(H) = π_sup(H). En revanche, si H n’est pas répliquable, l’intervalle est strictement ouvert, exprimant l’ambiguïté inhérente à la valorisation dans un marché incomplet.

L’illustration par les options européennes classiques, comme les calls et puts, éclaire ces principes. Le prix d’une option call européenne C_call = (S_T - K)^+ dans un cadre d’intérêt non négatif est toujours supérieur à sa valeur intrinsèque (S_0 - K)^+, reflétant la "valeur temps" attachée à la possibilité d’exercer ultérieurement. Cette propriété découle de la convexité de la fonction payoff et des hypothèses sur le numéraire, qui est ici le prix prévisible d’une obligation locale sans risque.

Pour les options put, la situation est plus délicate. Le prix de l’option put peut ne pas toujours surpasser sa valeur intrinsèque, particulièrement lorsque les taux d’intérêt sont positifs, ce qui peut entraîner une valeur temps négative pour une option "in the money". Cette asymétrie traduit la complexité de la valorisation des options dans des environnements de marché réalistes, notamment à travers la parité put-call.

Enfin, la structure de l’ensemble des prix sans arbitrage pour une option non répliquable est caractérisée par la convexité et l’ouverture de cet ensemble. Le théorème s’appuie sur un argument de séparation fonctionnelle, utilisant le théorème de Hahn-Banach pour construire une nouvelle mesure martingale qui augmente strictement l’espérance du payoff. Cette construction garantit que tout prix dans l’intervalle peut être approché strictement par des prix sans arbitrage distincts, traduisant la richesse des possibilités dans un marché incomplet.

Il est essentiel de comprendre que la valeur d’une option dans ce cadre ne réside pas seulement dans le calcul de l’espérance sous une mesure spécifique, mais dans l’étude approfondie des mesures martingales équivalentes admissibles. Cette multiplicité illustre la nature intrinsèquement incertaine de la valorisation dans les marchés réels, où les stratégies de couverture parfaites ne sont pas toujours disponibles. La compréhension de ces mécanismes ouvre la voie à l’étude des stratégies optimales de gestion du risque et à l’analyse des écarts de prix observés empiriquement.