L'Existence et l'Unicité des Solutions Faibles et Entropiques des Problèmes Hyperboliques

La fonction $u$ est de classe $C^1$ sur chacun des domaines, ce qui nous permet de procéder à une intégration par parties. Puisque la fonction $\varphi$ a un support compact sur $\mathbb{R} \times \mathbb{R}^+$, on obtient l’expression suivante pour $X_2$:

$$X_2 = - \int_{\mathbb{R}^+} \frac{\partial}{\partial x} f(u)(x, t) \varphi(x, t) \, d(x, t) - D_1 \int_{\mathbb{R}^+} \frac{\partial}{\partial x} f(u)(x, t) \varphi(x, t) \, d(x, t) D_2 - [f(u)](\sigma_t, t) \varphi(\sigma_t, t) \, dt.$$

Comme $\frac{\partial t}{\partial t} u + \frac{\partial}{\partial x} f(u) = 0$ sur $D_1$ et $D_2$, nous avons:

$$X = X_1 + X_2 = - \int_{\mathbb{R}} u(x, 0) \varphi(x, 0) \, dx + \int_{\mathbb{R}^+} \left( [u](\sigma_t, t) - [f(u)](\sigma_t, t) \right) \varphi(\sigma_t, t) \, dt.$$

Ainsi, $u$ est une solution faible de l’équation (5.1) si et seulement si (5.7) est satisfait. Cependant, il convient de noter qu'il existe souvent plusieurs solutions faibles. Le concept de solution faible entropique permet de garantir l'unicité. Pour illustrer cela, nous examinerons un exemple de non-unicité de la solution faible. Considérons le problème de Cauchy associé à l'équation de Burgers, donnée par:

$$\frac{\partial}{\partial t} u + \frac{\partial}{\partial x} (u^2) = 0, \quad u(0, x) = u_0(x).$$

Prenons des données initiales particulières de la forme $u_g$ pour $x < 0$ et $u_d$ pour $x > 0$, où $u_g, u_d \in \mathbb{R}$. Ce choix définit un problème particulier, appelé problème de Riemann, que nous étudierons avec $u_g = -1$ et $u_d = 1$. Dans ce cas, le problème devient :

$$\frac{\partial}{\partial t} u + \frac{\partial}{\partial x} (u^2) = 0, \quad u(x, 0) =$$

\begin{cases} u_g, & \text{si } x < 0, \\ u_d, & \text{si } x > 0. \end{cases}

Nous cherchons une solution faible sous la forme :

\begin{cases} u_g, & \text{si } x < \sigma_t, \\ u_d, & \text{si } x > \sigma_t, \end{cases} $$\sigma (u_d - u_g) = f(u_d) - f(u_g),$$

L'exemple de la solution $u(x, t)$ est donné par :

\begin{cases} -1, & \text{si } x < -2t, \\ x / 2t, & \text{si } -2t < x < 2t, \\ 1, & \text{si } x > 2t. \end{cases}

Cet exemple illustre la structure d'une solution de choc, où l'information se propage le long des courbes caractéristiques et où le profil de la solution subit une rupture.

Les solutions faibles peuvent ne pas être uniques, ce qui pose la question de savoir comment choisir la "bonne" solution parmi plusieurs. La solution entropique faible se révèle être un critère pour cette sélection. La solution entropique faible correspond à la limite, lorsque le terme de diffusion devient négligeable, d'un problème de diffusion associé à l’équation hyperbolique. Cette approche permet de choisir la solution qui respecte les principes physiques, notamment le principe du maximum, et d’assurer la stabilité de la solution dans le cadre des systèmes hyperboliques.

Ainsi, dans le cadre des équations hyperboliques, une solution faible entropique est non seulement une solution faible, mais elle satisfait également des critères physiques importants. Par exemple, la solution entropique faible est souvent la limite de la solution du problème de diffusion, et elle peut être caractérisée par un principe du maximum qui garantit des propriétés de croissance et de décroissance pour la solution.

Comment construire une fonction dans L¹ dont l’image par un opérateur donné n’appartient pas à L¹ ? Analyse et propriétés des fonctions Lipschitz et des ouverts de Lipschitz

Dans un cadre mesurable et intégrable, on considère l’espace $(E,T,m) = ([0,1], \mathcal{B}([0,1]), \lambda)$, où $\lambda$ est la mesure de Lebesgue sur $[0,1]$. Le problème posé explore la construction d’une fonction $u \in L^1$ telle que son image $G(u)$ ne soit pas dans $L^1$, dans le cas où la fonction $g$ ne satisfait pas une certaine condition de croissance (1.7). On fixe les indices $p = q = 1$, ce qui place la problématique dans le cadre classique des intégrales absolues.

À partir de cette suite, on établit l’existence d’un $\alpha > 0$ tel que la série $\sum_{n=1}^\infty \alpha_n / n^2 = 1$ converge. Cela permet de définir une autre suite $(a_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ avec $a_1 = 1$ et la relation récurrente $a_{n+1} = a_n - \alpha |\alpha_n| / n^2$. L’ensemble de segments $[a_{n+1}, a_n[$ se construit ainsi de manière décroissante sur $[0,1]$.

Dans une autre perspective, l’étude des fonctions lipschitziennes permet de mieux comprendre la régularité des fonctions dans les espaces de Sobolev. Si $u : \Omega \to \mathbb{R}$ est une fonction lipschitzienne bornée sur un ouvert $\Omega \subset \mathbb{R}^N$, alors $u$ appartient à l’espace $W^{1,\infty}(\Omega)$, l’espace des fonctions dont la dérivée au sens faible est essentiellement bornée. Cette propriété est réciproque sur des ouverts réguliers, et en particulier sur des ouverts bornés avec une frontière lipschitzienne, où l’on peut caractériser $W^{1,\infty}(\Omega)$ par les fonctions lipschitziennes modulo presque partout égalité.

Cependant, la géométrie des ouverts joue un rôle fondamental dans l’analyse fonctionnelle et géométrique. Un ouvert lipschitzien est caractérisé par une frontière localement représentable comme le graphe d’une fonction lipschitzienne, mais la notion de « fortement lipschitzien » introduit une condition supplémentaire, dite propriété du segment. Cette propriété garantit que pour chaque point de la frontière, il existe une direction dans laquelle on peut prolonger un segment contenu entièrement dans l’ouvert, une condition importante pour certaines extensions de fonctions et propriétés analytiques.

Un exemple classique d’ouvert lipschitzien qui n’est pas fortement lipschitzien est construit en suivant une idée de Zerner : un « chemin » avec une infinité de virages successifs, où la largeur des virages tend vers zéro en approchant un point, produit une frontière lipschitzienne sans satisfaire la propriété du segment. Cela montre que la structure géométrique de l’ouvert a un impact profond sur les propriétés fonctionnelles qu’on peut y développer.

Les inégalités de Sobolev, fondatrices en analyse fonctionnelle, sont abordées dans ce cadre. Pour $p > N$, les espaces $W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$ s’injectent continûment dans des espaces de fonctions Hölder continues d’ordre $\alpha = 1 - \frac{N}{p}$. Cette inclusion repose sur des estimations fines des dérivées faibles et implique que les fonctions de Sobolev sont en réalité uniformément continues, ce qui permet de les manipuler comme des fonctions régulières, malgré leur définition initiale en termes faibles.

L’ensemble de ces résultats illustre la richesse des relations entre régularité géométrique des domaines, propriétés des fonctions lipschitziennes, et comportements intégrables ou non de compositions fonctionnelles. Cette interaction entre analyse et géométrie est au cœur de la compréhension moderne des espaces fonctionnels.

Par ailleurs, la distinction entre ouverts lipschitziens et fortement lipschitziens met en lumière que la simple régularité locale de la frontière ne suffit pas toujours à assurer des propriétés géométriques globales nécessaires à certaines analyses ou extensions de fonctions. La propriété du segment, quoique parfois négligée, garantit une certaine « ouverture directionnelle » indispensable dans plusieurs constructions.

Comment la compacité des opérateurs et les inégalités de Trudinger–Moser influencent-elles la résolution des problèmes elliptiques linéaires ?

La transformation associant une fonction $f$ à la solution $u$ de l'équation (2.41) — où l'on remplace le terme constant 1 par 0 — se révèle $k$-continue de $L^2(\Omega) \times L^2(\Omega)$ vers un espace $W$. Par ailleurs, l'application identique de $W$ vers $L^2(\Omega) \times L^2(\Omega)$ est compacte, d'après le Théorème 1.37. La composition de ces deux transformations induit donc une opérateur compact de $L^2(\Omega) \times L^2(\Omega)$ dans lui-même, ce qui constitue une base cruciale pour l'étude des problèmes aux limites.

L'inégalité de Trudinger–Moser, fondamentale dans le cas de la dimension deux, étend les résultats classiques de Sobolev. Cette inégalité traite de la croissance exponentielle des fonctions dans $H_0^1(\Omega)$ et établit des bornes uniformes pour des expressions telles que $e^{\sigma u^2}$, ce qui est essentiel pour gérer des termes non linéaires plus complexes dans les équations aux dérivées partielles. La construction d'approximateurs $\varphi_k$, qui convergent vers la fonction $u$ dans $H_0^1(\Omega)$, garantit une maîtrise fine de la régularité des solutions et assure leur contrôle dans les espaces de Sobolev.

Un contre-exemple illustre la subtilité de ces résultats : il existe des fonctions $f \in L^1(\Omega)$ telles que $f \ln |f| \in L^1(\Omega)$, mais pour certaines fonctions $u \in H_0^1(\Omega)$, le produit $f u$ ne reste pas dans $L^1(\Omega)$. Ceci démontre qu'une extension linéaire continue de $-\Delta u = f$ à l'ensemble $H_0^1(\Omega)$ n'est pas toujours possible, soulignant les limites du cadre classique.

Au-delà de ces constructions techniques, il est essentiel de comprendre que la compacité des opérateurs linéaires associés aux problèmes elliptiques ouvre la voie à des méthodes de résolution fondées sur les théorèmes de point fixe et les perturbations compactes. La finesse des inégalités fonctionnelles, telles que celle de Trudinger–Moser, garantit que l'on puisse traiter des non-linéarités exponentielles qui échappent aux cadres standards de Sobolev. L'analyse précise des espaces fonctionnels et des comportements asymptotiques est cruciale pour décrire la nature des solutions, notamment en dimension critique.