Comment résoudre des équations simultanées en utilisant Python dans l'analyse électromagnétique des structures cylindriques ?

Les équations simultanées peuvent être résolues rapidement lorsqu'elles sont écrites sous forme de fonctions, ce qui facilite leur utilisation dans des calculs complexes. Cependant, lorsqu'il s'agit d'implémenter ces fonctions dans un programme, le processus peut devenir plus difficile. Python, avec ses commandes intégrées pour résoudre des équations simultanées, offre une solution efficace dans le cas où la vitesse de calcul n'est pas une priorité absolue. Ces commandes permettent de résoudre des systèmes d'équations de manière lisible et relativement simple, ce qui peut être un atout pour ceux qui privilégient la clarté au détriment de la vitesse.

Dans le contexte de l'analyse électromagnétique des structures cylindriques, les coefficients des équations simultanées, comme ceux présentés dans les équations (3.17)-(3.20) et (3.21)-(3.24), peuvent être facilement représentés sous forme de matrices. Cela permet d'utiliser des fonctions déjà disponibles dans la bibliothèque SciPy de Python pour résoudre ces systèmes. Par exemple, le programme ci-dessous illustre comment ces matrices sont créées et résolues :

python
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import scipy as sp

import scipy.special
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import pi, arrange, sqrt, zeros, array, matrix, asmatrix, real, imag
from scipy.special import jv, jvp, hankel1, h1vp
from RI import WLx, NumWLx, epAg, epAu, RIAu, RIAg
def h1v(n, x):
    return hankel1(n, x)
def a(n, x, mA, mB):
    return (mB * jv(n, mB * x) * jvp(n, mA * x) - mA * jv(n, mA * x) * jvp(n, mB * x)) / \
           (mB * jv(n, mB * x) * h1vp(n, mA * x) - mA * h1v(n, mA * x) * jvp(n, mB * x))
def b(n, x, mA, mB):
    return (mA * jv(n, mB * x) * jvp(n, mA * x) - mB * jv(n, mA * x) * jvp(n, mB * x)) / \
           (mA * jv(n, mB * x) * h1vp(n, mA * x) - mB * h1v(n, mA * x) * jvp(n, mB * x))
def fn(n, phi):
    return (1 / k0) * (cos(n * phi) + 1j * sin(n * phi)) * (pow(-1j, n))
def matA_tm(n, m1, m2, m3, x1, x2):
    return array([[m1 * jv(n, m1 * x1), -m2 * jv(n, m2 * x1), m2 * h1v(n, m2 * x1), 0],

                  [m1 ** 2 * jvp(n, m1 * x1), -m2 ** 2 * jvp(n, m2 * x1), m2 ** 2 * h1vp(n, m2 * x1), 0],

                  [0, m2 * jv(n, m2 * x2), -m2 * h1v(n, m2 * x2), m3 * h1v(n, m3 * x2)],
                  [0, m2 ** 2 * jvp(n, m2 * x2), -m2 ** 2 * h1vp(n, m2 * x2), m3 ** 2 * h1vp(n, m3 * x2)]])
def matF_tm(n, m3, x2):

    return array([[0], [0], [m3 * jv(n, m3 * x2)], [m3 ** 2 * jvp(n, m3 * x2)]])

def matX_tm(n, m1, m2, m3, x1, x2):
    return sp.linalg.solve(matA_tm(n, m1, m2, m3, x1, x2), matF_tm(n, m3, x2))
# Définition des paramètres
r1 = 50  # rayon du noyau
r2 = 55  # rayon de la coquille
qq = 5   # ordre de la fonction de Bessel
Qsca_tm = zeros(NumWLx, dtype=float)
Qext_tm = zeros(NumWLx, dtype=float)
Qabs_tm = zeros(NumWLx, dtype=float)
Qsca_te = zeros(NumWLx, dtype=float)
Qext_te = zeros(NumWLx, dtype=float)
Qabs_te = zeros(NumWLx, dtype=float)
k0 = 2 * pi / WLx  # nombre d'onde dans le vide
m1 = 1.5  # indice de réfraction de la coquille
m2 = RIAg  # indice de réfraction du noyau
m3 = 1.0  # indice de réfraction de l'environnement
x1 = k0 * r1  # paramètre de taille (noyau)
x2 = k0 * r2  # paramètre de taille (coquille)
# Boucles pour le calcul des résultats
for i in range(NumWLx):
    for n in range(-qq, qq):
        Qsca_tm[i] = Qsca_tm[i] + (2 / x2[i]) * abs(matX_tm(n, m1, m2[i], m3, x1[i], x2[i])[3, 0]) ** 2
        Qext_tm[i] = Qext_tm[i] + (2 / x2[i]) * real(matX_tm(n, m1, m2[i], m3, x1[i], x2[i])[3, 0])

        Qsca_te[i] = Qsca_te[i] + (2 / x2[i]) * abs(matX_te(n, m1, m2[i], m3, x1[i], x2[i])[3, 0]) ** 2

        Qext_te[i] = Qext_te[i] + (2 / x2[i]) * real(matX_te(n, m1, m2[i], m3, x1[i], x2[i])[3, 0])
Qabs_tm = Qext_tm - Qsca_tm
Qabs_te = Qext_te - Qsca_te
# Affichage des résultats
plt.figure(figsize=(8, 6))
plot(WLx, Qsca_tm, label=r"$Q_{\rm sca}$", linewidth=3.0, color='black')
plot(WLx, Qabs_tm, label=r"$Q_{\rm abs}$", linewidth=3.0, color='gray')
xlabel("longueur d'onde (nm)", fontsize=22)
ylabel("efficacité", fontsize=22)
title(r"$Q_{\rm sca}$(TE) et $Q_{\rm abs}$(TE)", fontsize=22)
grid(True)
axis([300, 800, 0, 1])
legend(fontsize=20, loc='lower right')
plt.tick_params(labelsize=20)
tight_layout()
show()

Ce programme résout les équations simultanées pour chaque longueur d'onde et ordre $n$, ce qui permet de calculer les coefficients d'efficacité de diffusion et d'absorption des structures cylindriques en fonction des paramètres définis. Il est important de noter que, bien que ce programme ne soit pas extrêmement rapide, sa lisibilité et sa simplicité en font un outil pratique pour des calculs de base. Ce type de programme est particulièrement utile lorsque l'on cherche à explorer les propriétés optiques de structures nanométriques sans nécessiter une optimisation poussée des performances de calcul.

Les résultats obtenus peuvent offrir des aperçus intéressants sur les phénomènes physiques sous-jacents. Par exemple, dans le cas de la polarisation TM, l'efficacité de diffusion devient nulle autour de 450 nm, ce qui suggère la possibilité de rendre un objet optiquement invisible à cette longueur d'onde, bien que légèrement absorbant. Pour la polarisation TE, des pics d'efficacité de diffusion et d'absorption sont observés autour de 880 nm, ce qui peut être exploité pour créer des dispositifs optiques avancés, comme des interrupteurs optiques utilisant des matériaux optiques non linéaires.

Comment les couches parfaitement adaptées (PML) affectent-elles les calculs FDTD pour les milieux dispersifs et dissipatifs ?

Les couches parfaitement adaptées (PML) sont des structures théoriques introduites pour absorber les ondes électromagnétiques à l'interface d'un domaine de calcul fini, évitant ainsi les réflexions non physiques qui peuvent altérer les résultats des simulations. Dans les simulations utilisant la méthode des différences finies dans le domaine temporel (FDTD), la PML est une composante clé pour traiter les conditions aux limites.

Dans un cadre FDTD, la PML peut être appliquée de manière telle que les champs électromagnétiques sont « absorbés » de manière efficace, sans provoquer de réflexions indésirables. L'une des approches les plus efficaces a été proposée par Berenger, où un domaine fictif, modifié par des paramètres d'absorption progressifs, empêche les ondes de se réfléchir aux frontières du domaine de calcul.

Cependant, lorsqu'on applique la PML au cas des milieux dispersifs et dissipatifs, des ajustements doivent être effectués pour intégrer les caractéristiques de ces matériaux. Par exemple, dans le cas des milieux dispersifs, la formulation classique de la PML peut ne pas suffire, car elle ne prend pas en compte les variations complexes des propriétés du matériau en fonction de la fréquence. C'est là qu'intervient la méthode de PML convolutive (CPML), une généralisation permettant d'intégrer des effets de dispersion de manière plus réaliste.

En utilisant la CPML, on remplace les équations de champ classiques par des équations incluant des termes de convolution. Ces termes sont conçus pour modéliser les effets de dispersion dans le domaine temporel, ce qui permet à la PML de mieux s'adapter aux matériaux ayant des propriétés fréquemment variables. Par exemple, dans les milieux dispersifs, les propriétés du champ magnétique sont calculées en fonction de convolutions, comme le montre l’équation suivante :

Dans ce cadre, $\zeta(t)$ représente un terme de convolution qui tient compte de la variation des propriétés du matériau avec le temps. L’utilisation de cette méthode permet d’absorber efficacement les ondes dans des milieux à réponses dispersives sans introduire d’erreurs de réflexion, comme cela peut arriver avec des méthodes plus simples de PML.

où $\sigma$ représente la conductivité du matériau. La gestion de cette conductivité dans le cadre FDTD avec PML convolutives permet de mieux simuler la dissipation d'énergie dans des milieux réels.

peut être traitée efficacement en utilisant des relations récursives, ce qui permet d’évaluer l'intégrale à chaque étape de la simulation sans avoir besoin de recalculer des valeurs complexes à chaque itération.

Il est crucial de noter que, bien que les PML classiques et convolutives permettent de gérer efficacement les conditions aux limites dans des simulations électromagnétiques, la précision de la modélisation dépend fortement de l'ajustement des paramètres de la PML à la nature du matériau simulé. La configuration incorrecte des paramètres de PML peut mener à des erreurs de simulation, notamment à des réflexions non absorbées ou des artefacts dans les résultats de calcul. La gestion de ces paramètres, ainsi que la compréhension de la dynamique de ces milieux, est primordiale pour éviter des erreurs d'interprétation dans les simulations.

Comment résoudre les problèmes de frontière dans la méthode FDTD pour les champs électromagnétiques

Dans le cadre de la méthode des différences finies dans le domaine temporel (FDTD), la gestion correcte des frontières entre les régions de champ total (TF) et de champ diffusé (SF) est essentielle pour obtenir des résultats précis. Ces frontières, où les champs électromagnétiques sont calculés dans des conditions spécifiques, nécessitent des ajustements finement réglés pour éviter les erreurs numériques.

Lorsque des ondes électromagnétiques traversent une frontière entre deux régions, il est crucial de tenir compte des effets de l'incident et du champ diffusé. Par exemple, sur la frontière z = K2Δz, l'évolution du champ électrique dans la direction x doit être ajustée pour correspondre à l'onde incidente en tenant compte de l'élément de discrétisation et de la constante perméabilité relative, en ajustant les coefficients pour ne pas induire de distorsion dans les calculs des champs électromagnétiques.

Les techniques numériques comme la méthode FDTD, bien que très puissantes, présentent des limitations dues à la dispersion numérique. Ce phénomène se produit lorsque la résolution du maillage spatial (Δx, Δy, Δz) et temporel (Δt) devient trop grossière pour décrire correctement l'évolution des ondes électromagnétiques. La dispersion numérique induit une déviation des valeurs théoriques du nombre d'onde, un phénomène qui peut altérer la précision des simulations si les paramètres de discrétisation ne sont pas choisis judicieusement. Plus précisément, le nombre d'onde calculé par FDTD peut se dévier de sa valeur théorique, ce qui entraîne une erreur dans la représentation des ondes électromagnétiques, en particulier pour des structures plus complexes ou des simulations dans des milieux dispersifs.

Ce phénomène de dispersion peut être quantifié à l'aide de la relation suivante pour la méthode FDTD :

où $k_x, k_y, k_z$ sont les composantes du nombre d'onde, et $\omega$ est la fréquence angulaire. Cette relation montre comment la dispersion numérique affecte le calcul du nombre d'onde dans la méthode FDTD, et la différence entre le nombre d'onde réel et le nombre d'onde numérique. Dans des simulations de haute précision, une telle déviation peut rendre les résultats peu fiables, en particulier dans les milieux dispersifs.

L'approche de correction pour ces champs implique la mise à jour des coefficients des champs incident et diffusé, en particulier dans les régions où les ondes changent de phase ou sont partiellement réfléchies ou transmises. Par exemple, pour une onde incidente polarisée TEy, le champ électrique $E_y$ doit être corrigé en fonction des conditions aux limites spécifiques du modèle dispersif appliqué.

Il est également important de se rappeler que l’approximation numérique, même si elle est puissante, doit être utilisée avec une compréhension claire de ses limites. Dans les simulations FDTD, cela signifie comprendre que la qualité de la résolution et la gestion des frontières peuvent jouer un rôle crucial dans la précision des résultats finaux. La dispersion numérique est un phénomène incontournable qui peut être minimisé par l’utilisation de maillages plus fins et d’algorithmes avancés, mais il est impossible de l'éliminer complètement sans sacrifices en termes de coût computationnel.

Ainsi, pour obtenir des simulations fiables et précises dans des milieux complexes et dispersifs, une attention particulière doit être accordée à la mise en œuvre des conditions aux limites, à la gestion des champs incident et diffusé, ainsi qu’à l'optimisation des paramètres numériques pour réduire la dispersion.

Comment optimiser les calculs dans les modèles multicouches en utilisant des matrices de transfert et de propagation ?

Pour commencer, le calcul des indices de réfraction pour chaque couche en fonction de la longueur d'onde est réalisé à l'aide de deux fonctions principales, func_nAg et func_nTiO2. Ces fonctions retournent respectivement l'indice de réfraction des matériaux en argent (Ag) et en dioxyde de titane (TiO2). L'indice de réfraction est crucial car il influence directement la vitesse de propagation de la lumière à travers le matériau et donc la façon dont la lumière interagira avec les couches.

Les matrices de transfert, notamment les matrices mMATs et mMATp, sont utilisées pour modéliser respectivement les polarisations s et p de la lumière incidente. Ces matrices relient les champs électriques à travers les différentes couches et permettent de calculer les coefficients de réflexion et de transmission. Par exemple, la matrice matFAI1 correspond à une phase exponentielle qui prend en compte l'épaisseur de chaque couche et l'indice de réfraction du matériau dans cette couche. Ces phases sont essentielles pour prendre en compte l'effet de retard de phase introduit par chaque couche et par conséquent, les interférences constructives et destructives qui se produisent.

Les calculs des coefficients de réflexion et de transmission sont effectués dans deux configurations de modèles multicouches distincts. Le modèle A, qui implique un agencement de couches avec un matériau d'indice variable tel que l’argent, et le modèle B qui fait intervenir le dioxyde de titane comme principal matériau. Chaque modèle suit une approche similaire pour le calcul des matrices de transfert et de propagation, mais le choix des matériaux dans chaque couche affecte directement les résultats des coefficients optiques.

Le calcul des matrices de transfert est effectué en prenant en compte la variation de l'indice de réfraction à chaque longueur d'onde (WLx[i]) dans les fonctions func_nAg et func_nTiO2. Cela permet d'obtenir des résultats précis sur les propriétés optiques du système sur une large plage de longueurs d'onde. Par ailleurs, le choix d’un angle d’incidence (ici fixé à 45°) et de l’épaisseur de chaque couche permet d’adapter le modèle à des applications spécifiques, comme les revêtements optiques ou les filtres.

Il est également important de noter que les calculs sont effectués à l’aide de matrices complexes. Les termes complexes sont essentiels pour modéliser non seulement la magnitude des coefficients de réflexion et de transmission, mais aussi la phase associée à chaque onde réfléchie et transmise. Cela permet de tenir compte des effets d'interférence qui peuvent considérablement modifier les résultats pour des configurations multicouches.

Une fois les coefficients calculés, le module de réflexion et de transmission est ensuite déterminé en utilisant la formule du carré de la magnitude des coefficients de réflexion et de transmission (abs(rsML1)**2 et abs(tpML1)**2). Ce processus est répété pour chaque longueur d'onde de la plage spécifiée, ce qui permet de tracer les courbes de réflexion et de transmission en fonction de la longueur d'onde.

Dans ce type de calcul, il est crucial de bien comprendre la dépendance des résultats par rapport à l'indice de réfraction des matériaux à différentes longueurs d'onde. Les matériaux peuvent changer leur comportement optique en fonction de la lumière incidente, surtout dans le cas de matériaux à dispersion, comme les métaux et les semi-conducteurs. Par exemple, l'argenterie et le dioxyde de titane ont des indices de réfraction qui varient considérablement à travers les longueurs d'onde, ce qui affecte leur interaction avec la lumière.

De plus, bien que le modèle utilisé ici prenne en compte des couches homogènes avec des indices de réfraction constants à chaque longueur d'onde, des extensions peuvent être envisagées pour modéliser des systèmes plus complexes, comme ceux comportant des matériaux stratifiés ou des interfaces plus irrégulières. Une autre extension pourrait inclure la modélisation de l'absorption optique des matériaux, qui est essentielle dans des systèmes où les pertes sont importantes, comme dans les cellules photovoltaïques ou les revêtements absorbants.

Comment calculer la réflectivité et la transmittance dans des structures multicouches anisotropes ?

Les matériaux anisotropes présentent des propriétés optiques qui varient selon la direction de propagation de la lumière. Dans ces milieux, l'indice de réfraction pour la lumière extraordinaire, noté $n_e$, diffère de celui pour la lumière ordinaire $n_o$. Cela a des conséquences importantes lorsqu'il s'agit de calculer la réflectivité et la transmittance des structures multicouches. En effet, contrairement aux matériaux isotropes où l'indice de réfraction est constant dans toutes les directions, les milieux anisotropes requièrent une approche plus complexe pour traiter les différentes composantes du champ électrique et de la lumière.

La propagation de la lumière à travers un milieu anisotrope dépend de l’orientation de la lumière par rapport à l’axe optique du matériau, qui peut modifier les angles de réfraction pour la lumière ordinaire et extraordinaire. En général, on distingue deux types de lumière : la lumière ordinaire et la lumière extraordinaire. La lumière ordinaire obéit aux lois de la réfraction classiques, tandis que la lumière extraordinaire se propage différemment en fonction de la direction de propagation et de l’orientation de l’axe optique.

Un des moyens de traiter ces problèmes est d'utiliser la méthode de la matrice de transfert, qui permet de simplifier les calculs lorsque plusieurs couches sont impliquées. Cette méthode consiste à représenter les différents paramètres optiques (tels que les champs électriques et magnétiques) à l'aide de matrices, et à résoudre un ensemble d'équations pour chaque couche du système.

Le calcul de la réflectivité et de la transmittance dans un milieu anisotrope devient plus complexe lorsque l'axe optique n'est pas normal à la surface. Dans ces cas, la lumière polarisée p et s interagissent de manière plus complexe, et il est nécessaire de traiter ces deux polarisations indépendamment. Cela implique la mise en place de conditions aux frontières adaptées à la polarisation de la lumière, que ce soit pour la lumière incidente p-polarisée ou s-polarisée.

Dans le cadre d'un calcul précis de la réflectivité et de la transmittance d'une structure multicouche anisotrope, les coefficients de réflexion et de transmission peuvent être déterminés à partir des relations entre les champs électriques et les matrices de transfert, prenant en compte les différentes orientations de polarisation et les indices de réfraction pour chaque couche.

Les calculs basés sur les matrices de transfert permettent de traiter de manière efficace des configurations complexes, y compris celles avec plusieurs couches de matériaux anisotropes. La méthode permet de prendre en compte les effets d'interférences multiples et de calculer la réflectivité et la transmittance pour des structures multicouches avec différents indices de réfraction dans chaque couche.

Il est également important de noter que l'efficacité de la transmission et de la réflexion dans ces structures dépend de plusieurs facteurs : l'angle d'incidence, l'indice de réfraction des matériaux impliqués, et la polarisation de la lumière. La méthode des matrices de transfert permet de calculer avec précision les coefficients de réflexion et de transmission pour chaque configuration, qu’il s’agisse de lumière p-polarisée ou s-polarisée, et ce, en tenant compte de l’interaction entre les différentes polarisations.