Quelles sont les conditions de régularité dans les géométries de Szekeres ?

Tout d'abord, considérons l'équation évolutive de la fonction $\Phi(t, z)$, qui décrit l'expansion ou la contraction de la géométrie à une coordonnée radiale donnée $z$. Cette fonction dépend du paramètre $M(z)$, la masse gravitationnelle active dans la sphère de rayon $z$, et de $k(z)$, un terme qui détermine la courbure de l'espace spatial aux instantanés de temps fixes $t$. Dans les modèles de Szekeres, $\Phi(t, z)$ satisfait une équation différentielle qui se comporte de manière analogue aux solutions des modèles de Lemaître-Tolman (L-T) et de Friedmann, avec quelques distinctions notables liées à la dépendance par rapport aux coordonnées spatiales. Pour $k(z)$, selon qu’il soit positif, nul ou négatif, la forme de l’évolution varie, ce qui a des implications profondes sur la nature des singularités et des singularités apparentes.

L’analyse de la régularité à l'origine repose sur des critères spécifiques, notamment la nécessité que la densité d'énergie et les invariants scalaires de la courbure de Riemann soient finis. Pour cela, il est essentiel de garantir que les composants non nuls du tenseur de Riemann dans un cadre de base orthonormé soient également finis à l'origine. Cela implique des conditions strictes sur le comportement des fonctions $M(z)$, $\Phi(z)$, et $k(z)$ à $z = 0$, mais aussi sur l'évolution des displacements radiaux et latéraux dans l'espace. En particulier, les limites des termes associés à la densité d'énergie et à la variation des fonctions de masse doivent rester positives et finies à proximité de l'origine. De plus, la condition sur les dérivées de la fonction $\Phi(z)$, qui gouverne la variation de l’expansion radiale, doit être soigneusement analysée pour éviter des divergences ou des singularités physiques.

Il est également crucial de s'assurer que la densité d'énergie $\kappa \epsilon$ et la fonction de masse $M(z)$ ne conduisent pas à des divergences à l'origine. Les solutions de l'équation de la densité d'énergie, notamment $\kappa \epsilon(z)$, doivent être suffisamment régulières pour que les solutions soient physiquement acceptables. Les relations entre ces termes imposent des restrictions supplémentaires sur le comportement de la géométrie aux faibles valeurs de $z$, assurant ainsi que le modèle cosmologique soit libre de singularités indésirables à proximité de l'origine.

Le comportement du modèle de Szekeres à l’origine est donc profondément lié à la régularité de la courbure, à la masse, et à l’évolution des différentes fonctions géométriques à proximité de $z = 0$. Les conditions nécessaires pour éviter des comportements physiques déraisonnables et garantir la validité des solutions à l’origine sont exigeantes, mais elles permettent de construire des modèles cosmologiques plus réalistes et cohérents dans des contextes non homogènes et anisotropes.

Dans ces coordonnées, R représente le rayon de courbure des orbites du groupe de symétrie. Ces orbites ne participent pas à l'expansion cosmique, ce qui fait de R un standard de longueur applicable à une seule orbite. Dans la configuration de Gautreau, une masse centrale de taille finie est immergée dans un fond qui s'étend jusqu'à la surface de l'objet central. En étudiant les équations des géodésiques temporelles, Gautreau a montré que, dans ce modèle, les orbites circulaires n'existent pas. Ce phénomène est en fait de nature newtonienne : la densité de matière cosmique lissée s'étend à travers le système planétaire, et en raison de l'expansion cosmique, la matière s'écoule de chaque sphère de rayon constant R. Par conséquent, chaque planète se déplace sous l'influence d'une force gravitationnelle qui diminue au fil du temps, obligeant l'orbite à s'élargir. Gautreau a dérivé la formule newtonienne pour la vitesse de changement du rayon orbital dans cette configuration : dR/dt = 8πR⁴Hρ/(2μ), où R est le rayon orbital, H est le paramètre de Hubble, et ρ est la densité moyenne de matière cosmique. L'effet est donc plus marqué pour des orbites plus grandes ; ainsi, pour Saturne, l'effet est (dR/dt)S = 6 × 10⁻¹⁸ m par an, ce qui est évidemment imperceptible (un diamètre de proton par millénaire). Pour une étoile située à la périphérie de la galaxie d'Andromède, l'effet serait (dR/dt)gal = 1100 km par an. Bien que cet effet soit extrêmement faible, il est néanmoins non nul. Dans l'approche d'Einstein et Straus, cet effet était exactement nul. Comme expliqué ci-dessus, le modèle d'Einstein et Straus est instable face aux perturbations de l'équation (18.68), ce qui le rend moins réaliste que celui de Gautreau.

La méthode de Szekeres (1975b) permet de résoudre cette question en analysant les géodésiques nulles dans ces conditions particulières. Dans cette approche, la divergence du champ des géodésiques est utilisée pour définir le facteur θ, qui donne une mesure de la concentration des rayons lumineux dans un ensemble donné de géodésiques. Cette approche permet de caractériser l'horizon apparent comme la surface où l'aire de la lumière frontale cesse d'augmenter. Le modèle L–T permet d'étudier la formation et l'évolution de cet horizon apparent en fonction de l'évolution de la métrique de l'espace-temps, en prenant en compte les caractéristiques particulières du modèle de géométrie de Lemaître-Tolman.