Comment la famille de métriques Szekeres–Szafron décrit l'évolution cosmologique dans des espaces non homogènes

La famille de métriques Szekeres–Szafron fournit une approche sophistiquée pour modéliser l'univers à partir de solutions relativistes aux équations d'Einstein dans des cadres où les symétries classiques, comme celles des modèles de Robertson-Walker, ne sont pas présentes. Ces modèles permettent d'explorer des géométries complexes de l'espace-temps, où la courbure et les densités de matière peuvent varier de manière non homogène.

Les équations fondamentales décrivant cette famille de métriques se trouvent dans un système complexe de relations entre les fonctions $U(z)$, $V_1(z)$, $V_2(z)$, et $W(z)$, qui régissent la géométrie de l’espace-temps. Ces fonctions dépendent des variables $z$, $x$, $y$ et du temps $t$, avec des termes supplémentaires qui permettent de maintenir la cohérence avec les modèles précédents, comme ceux de Szafron (1977). Une particularité importante des métriques de Szekeres–Szafron est l'introduction d'un terme arbitraire $k$ dans les équations, qui détermine la nature géométrique de l'espace à chaque instant donné. Cela permet une diversité de configurations, allant des espaces à courbure positive (sphériques) à ceux à courbure négative (hyperboliques), en fonction de la valeur de $k$.

Un aspect essentiel de cette famille de métriques est la manière dont les équations d'état de la matière sont intégrées dans le modèle. L'équation de l'état barotropique $\epsilon = \epsilon(p)$, où $p$ est la pression et $\epsilon$ l'énergie par unité de volume, assure que la densité de matière reste homogène spatialement, ce qui simplifie la résolution des équations d'évolution cosmologique. Cependant, ces solutions ne sont possibles que si une relation spécifique entre la pression et l'énergie est postulée, ce qui a des conséquences directes sur la forme des solutions obtenues. Par exemple, dans le cas où $p = 0$, les solutions de l’équation de $\Phi(t)$ deviennent similaires à celles des modèles de l’espace-temps de type R-W.

L'absence de symétrie dans la famille générale de métriques implique que les géométries obtenues peuvent être très variées et ne présentent pas de régularité triviale. En revanche, dans le cas particulier où $A$, $B_1$, $B_2$, et $C$ sont constants, un groupe de symétrie à trois dimensions émerge, ce qui entraîne une simplification des structures géométriques. De plus, l’introduction d’une constante cosmologique $\Lambda$ peut également simplifier la solution en conduisant à un modèle de type Lemaître-Tolman (L-T), dans lequel les surfaces de $t = \text{constant}$ deviennent sphériques, avec une courbure qui dépend uniquement de la constante $k$.

Les solutions exactes de ces équations peuvent être obtenues par des méthodes analytiques et numériques, notamment en utilisant des fonctions elliptiques ou des intégrales formelles comme celles présentées dans les travaux de Barrow et Stein-Schabes (1984). Cependant, il est important de noter que ces solutions ne sont valides que dans le cadre d'un modèle précis de l'équation d'état et sous certaines hypothèses de symétrie ou de simplification des paramètres géométriques.

Au-delà de la complexité mathématique des modèles, ce qui est crucial pour le lecteur, c'est la capacité de ces métriques à décrire une variété de scénarios cosmologiques. En particulier, les configurations non homogènes permettent d'explorer des phénomènes tels que l’expansion inégale de l'univers, la formation de structures complexes ou la modélisation de dynamiques d’espace-temps non triviales, qui ne peuvent pas être capturées par des modèles plus simples comme ceux de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker.

Enfin, ces géométries sont essentielles pour comprendre les grandes structures de l'univers, y compris les galaxies et les amas de galaxies, ainsi que pour étudier l'évolution de l'univers à différentes échelles. Les solutions spécifiques aux différents régimes de courbure permettent une exploration plus fine de la dynamique de l'univers, y compris dans des conditions extrêmes, comme celles rencontrées lors de l'apparition des premiers instants de l'univers.

La géométrie de l'espace-temps dans la solution de Schwarzschild, en particulier autour du rayon $r = 2m$, revêt une importance fondamentale dans la compréhension des trous noirs. À première vue, il peut sembler que la courbure de l'espace-temps devienne plane à mesure que l'on s'éloigne de cette région. Toutefois, cette simplification est trompeuse, car elle néglige des aspects clés de la structure de l'espace-temps à proximité de cette frontière.

Les équations du mouvement des particules et de la lumière autour de ce rayon montrent que, une fois qu'un corps ou un photon franchit cette limite, il est impossible pour eux de revenir en arrière. La relation qui décrit le mouvement radial, exprimée sous la forme $\frac{dr}{ds} = \sqrt{E^2 - 1 + \frac{2m}{r}}$, illustre cette irréversibilité. Lorsqu'un objet ou une particule traverse $r = 2m$ avec $\frac{dr}{ds} < 0$, il ne pourra plus inverser sa trajectoire, et continuera inexorablement vers $r = 0$, où la singularité se situe. La lumière, bien qu'ayant un comportement similaire, suit le même chemin vers la singularité lorsque $\frac{dr}{ds} < 0$.