Les formes d'Alexander sont des invariants topologiques utilisés pour étudier les espaces de configuration, en particulier ceux associés aux noeuds et aux surfaces de Seifert dans des variétés tridimensionnelles orientées. Une forme d'Alexander AXA_X est associée à une variété tridimensionnelle orientée XX avec une base p\mathbf{p} et est définie à partir de la classe homologique du générateur dans le groupe d'homologie H1(X,p)H_1(X, \mathbf{p}), tout en tenant compte de l'action des équivalences d'homotopie. Ce type d'invariant est utile pour classifier les espaces de configuration, en particulier dans le cadre des manifolds tridimensionnels liés à la topologie des noeuds et des liens.

Lorsqu'une courbe orientée cc est définie dans un espace XX, elle représente non seulement une classe d'homologie dans H1(X)H_1(X), mais aussi une classe d'homotopie dans le groupe π1(X,p)\pi_1(X, \mathbf{p}). Une telle courbe est souvent associée à une variable dans l'expansion exponentielle exp⁡(c)\exp(c) appartenant à X\mathcal{X}. De plus, lorsqu'une courbe est basée en p\mathbf{p}, la classe associée est identifiée dans le groupe fondamental π1(X,p)\pi_1(X, \mathbf{p}). Cette structure permet de mieux comprendre les relations entre les différentes courbes et les transformations topologiques de l'espace XX.

Prenons l'exemple de E0E_0, un complément du corps d'Anse H0H_0 dans S3S^3, comme décrit dans l'exemple. L'interaction entre les courbes uα,uβ,uγu_{\alpha}, u_{\beta}, u_{\gamma} sur la frontière de H0H_0 (notée ∂H0\partial H_0) révèle des propriétés fondamentales des groupes fondamentaux associés à ces espaces. En particulier, l'expression uαuβuγ=1u_{\alpha} u_{\beta} u_{\gamma} = 1 dans π1(∂H0,p)\pi_1(\partial H_0, \mathbf{p}) illustre un cas de relation entre les générateurs dans un groupe d'homologie associé à un complément de lien dans S3S^3.

Un autre aspect important des formes d'Alexander réside dans leur capacité à récupérer les torsions de Reidemeister des compléments de liens, en particulier lors de l'attachement de poignées 2 le long d'une courbe cc dans ∂X\partial X. Ce processus est crucial dans l'étude de la torsion de Reidemeister et de son rôle dans la classification des noeuds et des liens. Lorsque l'on attache un anneau 22-dimensional [0,1]×D2[0,1] \times D^2 à [0,1]×c[0,1] \times c sur la frontière de XX, cela permet de modifier la structure de la variété tridimensionnelle, ce qui est analysé à travers les formes d'Alexander.

Les formes d'Alexander sont également utilisées pour étudier les torsions de Reidemeister normalisées. Cela inclut les liens exteriors de surfaces de genre un et leur comportement sous différentes transformations topologiques. En effet, pour des surfaces de genre un dans des sphères de l'homologie rationnelle, le calcul de la torsion de Reidemeister τ(X)\tau(X) dépend d'un certain choix de normalisation, où l'on utilise la forme d'Alexander pour relier les torsions des compléments obtenus par l'attachement de poignées.

Il est essentiel de comprendre que la torsion de Reidemeister est un invariant topologique qui peut être exprimé comme une forme linéaire liée à la base du groupe d'homologie d'un espace donné, et qu'elle est normalisée par la forme d'Alexander. Ce processus d'augmentation et de normalisation permet de définir un invariant de topologie plus robuste et plus précis. Les relations entre les classes de courbes basées et leur influence sur les torsions d'Alexander jouent un rôle clé dans l'étude des variations de la structure des variétés tridimensionnelles.

Enfin, une des propriétés importantes des invariants topologiques étudiés dans ce contexte est leur comportement sous les symétries et les transformations. Par exemple, la torsion de Reidemeister τ(X)\tau(X), après normalisation par une forme d'Alexander, est invariant sous isotopie. Cette propriété est cruciale pour garantir que les résultats obtenus sont indépendants des déformations continues de la surface ou du lien sous-jacent.

Ces concepts et techniques sont fondamentaux pour comprendre comment les surfaces de genre un et les noeuds peuvent être analysés et classifiés dans des espaces topologiques complexes. Leur application dans des sphères rationnelles et d'autres variétés tridimensionnelles est un domaine central de la topologie moderne, en particulier pour les applications dans la théorie des noeuds, des liens, et de la géométrie des variétés.

Les géométries absolues et les réflexions dans les plans projectifs de Pappus

Les réflexions linéaires et leur composition offrent une manière puissante d'intégrer les géométries associées dans des plans projectifs de type pappien. L'idée principale consiste à remarquer que si aa et bb sont des réflexions de droites, et si ab=baab = ba (la multiplication ici désignant la composition), alors les droites définies par ces réflexions doivent être perpendiculaires, et réciproquement. Cela s'explique par le fait que, lorsque deux droites sont perpendiculaires, elles se coupent en un point, et la composition de ces réflexions revient à effectuer une réflexion dans leur point d'intersection. Ce produit, lorsque ab=baab = ba, peut être désigné comme une réflexion ponctuelle.

La notion géométrique d'incidence entre un point et une droite peut également être traduite dans le langage des réflexions de droites. Un point PP déterminé par une réflexion ponctuelle abab, où aa et bb désignent des réflexions de droites avec ab=baab = ba, est dit être incident avec la droite déterminée par la réflexion linéaire gg si Pg=gPPg = gP.

Le système d'axiomes repose sur une hypothèse fondamentale, selon laquelle GG est un groupe (noté multiplicativement) généré par un ensemble invariant SS d'éléments involutoires. Les éléments de SS sont désignés par des lettres latines minuscules et sont appelés réflexions linéaires (ou simplement droites). Les produits involutoires de deux éléments de SS sont notés par des lettres latines majuscules et sont appelés réflexions ponctuelles (ou simplement points). Pour tout couple d'éléments α\alpha et β\beta dans GG, α∣β\alpha | \beta signifie que α⋅β\alpha \cdot \beta est involutoire (dans le cas où α\alpha et β\beta sont des réflexions linéaires, on note aussi α⊥β\alpha \perp \beta pour α∣β\alpha | \beta).

Les axiomes pour les plans métriques sont les suivants :

  1. Pour tous les points PP et QQ, il existe une droite gg telle que P,Q∣gP,Q | g.

  2. Si, pour les points PP et QQ, ainsi que les droites gg et hh, on a P,Q∣g,hP,Q | g,h, alors P=QP = Q ou g=hg = h.

  3. Si les droites aa, bb, cc et le point PP sont tels que a,b,c∣Pa, b, c | P, alors il existe une droite dd telle que abc=dabc = d.

  4. Si les droites aa, bb, cc et gg sont telles que a,b,c⊥ga, b, c \perp g, alors il existe une droite dd telle que abc=dabc = d.

  5. Il existe des droites gg, hh, jj telles que g⊥hg \perp h, mais aucune de j⊥gj \perp g, j⊥hj \perp h, ou j∣ghj | gh ne tient.

Cela montre qu’il existe une droite unique reliant deux points distincts PP et QQ, que l'on notera ⟨P,Q⟩\langle P,Q \rangle. En général, il n'est pas vrai qu'un point médian existe pour chaque paire de points. Si un tel point médian existe, il n’est pas nécessairement unique. En fait, pour garantir l’unicité, il est nécessaire que le plan métrique ne soit pas elliptique. Cela revient à admettre l'axiome suivant : pour toutes les droites aa, bb, cc, on a abc=1abc = 1.

Une autre condition équivalente à cette exigence est qu'il existe une unique droite hh incidente à PP et perpendiculaire à gg pour tout point PP non incident avec gg. Ce type de situation n'est évidemment pas vrai dans la géométrie elliptique plane, où, pour chaque droite, il existe un nombre infini de perpendiculaires passant par un point particulier de la droite. Cette propriété est exclue dans les géométries métriques plane, comme le montre l’axiome selon lequel il existe une droite unique entre deux points distincts.

En matière de géométrie euclidienne, pour obtenir des plans euclidiens, c’est-à-dire valides tant pour la métrique euclidienne que pour le postulat des parallèles de l'Euclide, il suffit d'ajouter deux axiomes à la théorie. D'abord, l'axiome R∗R^* stipule que si a,b⊥ca, b \perp c et a⊥da \perp d, alors b⊥db \perp d. Ensuite, l'axiome V∗V^* déclare que pour toute paire de droites aa et bb, il existe un point CC tel que a,b∣Ca, b | C, ou une droite cc telle que a,b⊥ca, b \perp c. Lorsque ces conditions sont remplies, on dit que les droites aa et bb sont connectibles.

Pour obtenir des plans hyperboliques, il est nécessaire d'ajouter à la théorie les axiomes ∼V∗ \sim V^* et HH, stipulant que si a,b,c∣Pa, b, c | P et si aucune des paires (a,g)(a, g), (b,g)(b, g), (c,g)(c, g) n’est connectible, alors a=ba = b ou b=cb = c ou c=ac = a. Ces hypothèses assurent que des centres de masse généralisés existent, non seulement dans les plans euclidiens mais aussi dans les plans hyperboliques.

Il existe une véritable logique de développement qui permet de conclure que les théorèmes sur les centres de masse, comme celui de Federico Commandino, se vérifient également dans des espaces tridimensionnels. Dans cette configuration, l’axiomatisation de la géométrie euclidienne et hyperbolique dans l’espace tridimensionnel implique des réflexions similaires, mais dans des espaces à trois dimensions, l'analogie des axiomes en deux dimensions permet d’étendre la validité de ces théorèmes, enrichissant ainsi les résultats de la géométrie classique.

Quelle est la topologie des Lagrangiens monotones de haute dimension et leurs propriétés de rigidité ?

Un Lagrangien L⊂XL \subset X est dit monotone s'il existe un scalaire λ>0\lambda > 0 tel que la classe d'indice de Maslov IμI_\mu soit proportionnelle à la classe symplectique IωI_\omega, c’est-à-dire Iμ=λ⋅IωI_\mu = \lambda \cdot I_\omega. Ces Lagrangiens monotones apparaissent naturellement dans les variétés symplectiques toriques et dans certaines constructions géométriques avancées, comme celle proposée par P. Biran. Contrairement aux Lagrangiens flexibles, les Lagrangiens monotones révèlent une forme de rigidité topologique profonde.

Dans les variétés symplectiques de dimension 2n2n avec H2(X,Z)=0H_2(X, \mathbb{Z})=0, considérons un Lagrangien monotone fermé et orientable LL qui est displaceable. Sous certaines conditions techniques — notamment que l’homologie de son revêtement universel L~\widetilde{L} soit de type fini et que sa caractéristique d’Euler χ(L~)\chi(\widetilde{L}) s’annule — il s’ensuit que le nombre de Maslov minimal NLN_L est égal à 2 et que l’espace produit S3×LS^3 \times L est une fibration sur le cercle. De plus, si la dimension est suffisamment grande (au moins 6) et que le groupe de Whitehead Wh1(L)\mathrm{Wh}_1(L) est nul, alors LL lui-même se fibre sur le cercle.

Ces résultats s’appliquent, par exemple, aux produits de variétés orientables à courbure scalaire négative avec des sphères de dimension paire et des espaces projectifs complexes. Une telle variété LL monotone et displaceable, de dimension au moins 6, possède alors une structure fibrée remarquable sur le cercle. Cette propriété s’appuie également sur des faits profonds de la théorie des groupes, puisque le groupe de Whitehead est trivial pour toute variété fermée à courbure négative.

L’étude des homologies du revêtement universel s’interprète aussi au niveau des groupes d’homotopie, car la finitude de l’homologie implique la finitude des groupes d’homotopie à partir du deuxième degré. Par ailleurs, un travail antérieur a établi que si le nombre de Maslov est maximal NL=nN_L = n, alors un Lagrangien monotone displaceable de dimension n≥6n \geq 6 est fibré sur le cercle avec une fibre homéomorphe à la sphère Sn−1\mathbb{S}^{n-1}.

Un autre résultat concerne les Lagrangiens monotones fermés et orientables inclus dans les espaces projectifs complexes CPn\mathbb{CP}^n, où la condition de displaceabilité est levée. À condition que le premier groupe d’homologie n’ait pas de torsion liée à n+1n+1, la même conclusion sur la structure de fibration sur le cercle s’applique. Cette généralisation s’étend à une classe plus large de variétés symplectiques, notamment les hypersurfaces à polarisation subcritique, avec des hypothèses sur les torsions en lien avec le nombre de Chern.

L’outil central pour démontrer ces résultats est l’homologie de Floer relevée, construite à partir d’un revêtement universel et d’une isotopie Hamiltonienne. Ce complexe, infini lorsque le groupe fondamental de LL est infini, est muni d’une différentielle définie par le comptage modulo 2 de bandes JJ-holomorphes satisfaisant des conditions aux limites. L’analyse fine de cette homologie, notamment la condition ∂2=0\partial^2 = 0, permet de déduire des propriétés sur le nombre de Maslov et sur l’existence de disques JJ-holomorphes dont le bord agit sur le groupe fondamental par conjugaison avec un centralisateur de faible indice.

Lorsque la différentielle satisfait ∂2=0\partial^2 = 0, l’homologie de Floer relevée est bien définie et indépendante des choix auxiliaires. Une suite spectrale associée relie cette homologie à l’homologie singulière du revêtement universel L~\widetilde{L}. Sous les hypothèses sur la finitude des groupes d’homologie et la nullité de la caractéristique d’Euler, cette homologie de Floer relevée s’annule, ce qui implique une propagation de la nullité à travers toutes les pages de la suite spectrale. Ce phénomène topologique profond contraint fortement la structure de LL, justifiant ainsi la rigidité observée.