Comment les équations des fluides à second degré se comportent-elles dans la limite sans viscosité ?

Les équations des fluides à second degré constituent un modèle pour les fluides viscoélastiques, caractérisés par deux paramètres : α > 0, représentant la réponse élastique, et ν > 0, représentant la viscosité. Ces fluides sont considérés incompressibles et homogènes, avec une densité constante et égale à 1. Le tenseur de contraintes associé à ce système est donné par la relation $T = -pI + \nu A_1 + \alpha^2 A_2 - \alpha^2 A_1^2$, où $A_1 = \nabla u + \nabla u^T$ et $A_2 = \partial_t A_1 + A_1 \nabla u + \nabla u A_1$, étant donné que $p$ désigne la pression et $u$ le champ de vitesses.

En considérant cette expression pour le tenseur de contraintes, les équations de mouvement pour un fluide de grade 2, incompressible et homogène, sont formulées comme suit :

$$\begin{aligned}$$

& \frac{\partial u}{\partial t} + \text{curl}(u) \times u + \nabla p + f = \nu A_1 - \alpha^2 A_1^2, \\ & \text{div}(u) = 0, \\ & u|_{\partial D} = 0, \\ & u(0) = u_0, \end{aligned}

où $f$ représente les forces externes, éventuellement stochastiques, agissant sur le fluide.

Un problème classique en dynamique des fluides est celui de la limite sans viscosité, à savoir la convergence des solutions des équations de Navier-Stokes vers celles des équations d'Euler lorsque $\nu$ tend vers zéro. Ce phénomène est particulièrement pertinent lorsqu’on considère la convergence dans la topologie $L^\infty(0, T; L^2(D))$, où $D$ représente le domaine d’évolution des équations.

Lorsque l'on impose des conditions aux frontières de type "no-slip" (c'est-à-dire $u_\nu |_{\partial D} = 0$), il existe des résultats partiels qui étudient la convergence des solutions des équations de Navier-Stokes vers les solutions des équations d’Euler. Cela repose sur des hypothèses sur la symétrie du domaine et des données, ou encore sur des données analytiques. Cependant, la difficulté réside dans le fait que les solutions dans la couche limite près de la frontière peuvent mener à des instabilités et générer des vortex. C'est ce qu'on appelle le phénomène de génération d’une couche limite : à proximité de la frontière, le fluide devient turbulent lorsque $\nu$ devient très petit. Le contrôle de la taille de cette couche limite et des comportements du fluide dans cette région reste un défi majeur et en grande partie une question ouverte.

Les résultats concernant cette limite sont encore loin d’être complets, et plusieurs aspects restent à explorer, en particulier en ce qui concerne les comportements asymptotiques et les effets de la turbulence dans des géométries complexes. Il est évident que des progrès dans la compréhension de ces dynamiques sont essentiels pour mieux modéliser et prévoir les comportements des fluides en situation réelle, notamment dans des contextes industriels ou météorologiques.

La modélisation stochastique des fluides, tout en étant une voie prometteuse, n’a pas encore livré tous ses secrets, et la recherche continue d'explorer des pistes pour comprendre comment les petites perturbations (bruit) influencent les solutions et la dynamique des fluides, en particulier dans des régimes à faible viscosité où les phénomènes de turbulence sont amplifiés.

Comment identifier les limites inviscides pour les fluides de second grade

La première étape fondamentale consiste à introduire une famille de temps d'arrêt $\tau_M$ appropriée, permettant d'améliorer la convergence des solutions $u_N$ vers $u$, l'objectif étant d'atteindre une meilleure stabilité de ces solutions dans l'espace $L^2$. Ce résultat essentiel est présenté dans la littérature, notamment dans [4] et [28], et constitue le fondement de l'argument de bien-posedness (ou la question de la bonne formulation) de l'équation. L'énoncé de ce lemme, via l'utilisation de temps d'arrêt $\tau_M$, montre que sous des hypothèses adéquates sur les normes $u$, la différence entre $u_N$ et $u$ converge vers zéro dans un espace $L^2$ approprié, ce qui constitue un premier pas pour garantir l'existence et la stabilité des solutions dans le cadre des fluides de second grade.

À partir de là, il devient nécessaire de considérer le cas particulier où $u_N$ converge vers $u$ de manière a priori uniforme, ce qui permet de valider les limites inviscides pour $\alpha \to 0$, en supposant que la dépendance par rapport à $\tau_M$ peut être éliminée. Cette étape est d'autant plus importante qu'elle garantit la continuité de la solution même pour des conditions initiales fortement perturbées, assurant ainsi la robustesse de la solution dans des situations stochastiques complexes.

Il est important de noter que la convergence vers la solution d'Euler ne se produit pas nécessairement de manière immédiate dans tous les cas. En effet, des résultats intermédiaires sont nécessaires pour renforcer les hypothèses sur la régularité des conditions initiales et garantir que l'approximation stochastique reste contrôlable pendant toute la durée de l'évolution. Ainsi, les preuves intermédiaires, comme celles illustrées dans les sections suivantes, permettent de réduire la complexité de l'argument global en traitant les résultats de manière plus progressive.

La question de la robustesse de cette convergence soulève également un aspect clé du comportement asymptotique des solutions, lié à l'analyse du terme de dissipation, notamment dans le cas où $\nu$ est de l'ordre de $\alpha^2$. La gestion du terme de dissipation dans l'équation stochastique devient essentielle pour la validité du "limite inviscide", et il est crucial de s'assurer que la dissipation, même dans le cadre de fortes perturbations initiales, reste contrôlable sur des périodes de temps longues.

En conclusion, bien que les résultats sur la convergence des fluides de second grade vers les équations d'Euler soient théoriquement solides, il reste crucial de maîtriser les nuances de l'analyse stochastique associée à la perturbation du bruit de transport. La stabilité du "limite inviscide" repose sur une série d'hypothèses, notamment concernant la régularité des conditions initiales et la gestion du terme de dissipation, qui doivent être soigneusement vérifiées dans chaque cas particulier.

Comment modéliser les conditions aux frontières stochastiques de surface influencées par le vent dans les équations primitives stochastiques

Dans le contexte de la modélisation des équations primitives, notamment dans les milieux atmosphériques et océaniques, il est essentiel de comprendre la dynamique des conditions aux frontières et leur influence sur le système de fluides. Les conditions aux frontières stochastiques sont particulièrement importantes lorsqu'on prend en compte l'influence du vent sur la surface de l'océan, ainsi que les interactions entre les différentes couches de fluides.

Le terme de composante tangente du tenseur de stress est donné par $\partial_z v + \nabla_H w$, qui, en raison de la planéité de l'interface (i.e. $w = 0$), se réduit à $\partial_z v$. Cela fait référence à la relation fondamentale entre les différentes couches de fluide et la manière dont elles interagissent. L'une des conditions les plus naturelles pour une interface entre deux fluides serait la condition d'adhérence, c'est-à-dire $v = v_{\text{air}}$ à l'interface. Cependant, cette condition n'est pas utilisée en raison de la présence des couches limites à la surface de l'océan et de l'atmosphère. La condition utilisée dans ce cas prend en compte ces couches limites. En effet, puisque la vitesse de l'air est beaucoup plus lente que celle de l'océan, le terme $v$ est souvent négligé, et on remplace la condition déterministe par une condition stochastique du type $\partial_z v = c_{\text{air}} v_{\text{air}} \cdot |v_{\text{air}}|$.

Pour analyser ces équations stochastiques, nous étendons le cadre déterministe en introduisant des conditions aux frontières stochastiques, induites par le vent, à la surface de l'océan. Ces conditions ont déjà été abordées dans le cadre des équations de Shallow Water, notamment dans les travaux de CESSI et LOUAZEI. Cependant, dans le cadre des équations primitives, cette approche présente des défis supplémentaires, notamment en ce qui concerne la régularité des solutions et la manière dont ces conditions stochastiques peuvent être intégrées de manière rigoureuse dans le modèle.

Un défi majeur réside dans la nécessité d'assurer une régularité suffisante des conditions stochastiques aux frontières pour pouvoir résoudre les équations. À cette fin, une méthode innovante a été employée, combinant régularité stochastique et déterministe, afin de traiter les termes non linéaires qui apparaissent dans ces équations. Cette approche permet de transformer le problème initial en une équation évolutionnaire stochastique semilinéraire, dont les solutions peuvent être analysées à l'aide des théories de régularité maximale stochastique et de régularité critique pour les équations différentielles partielles non linéaires.

L'une des étapes clés consiste à appliquer la projection de Helmholtz hydrostatique pour éliminer le terme de pression, ce qui permet de réécrire les équations sous une forme plus tractable, tout en maintenant les conditions aux frontières stochastiques sous une forme de forçage. L'intégration de ces conditions stochastiques dans le modèle de manière à les traiter comme des termes de forçage est essentielle pour obtenir une solution bien définie et régulière à l'échelle locale.

Un autre aspect important de cette approche est l'utilisation du processus de Wiener cylindrique, qui permet de modéliser les fluctuations stochastiques du vent et d'autres variables climatiques. Ce processus est crucial pour représenter les incertitudes et les variations aléatoires qui caractérisent les phénomènes atmosphériques et océaniques à grande échelle.

Le résultat de cette analyse est un cadre théorique rigoureux permettant de traiter des conditions aux frontières stochastiques dans le contexte des équations primitives. Cette méthode est appliquée dans le cadre des équations de Navier-Stokes, et bien que le problème soit complexe, elle ouvre la voie à de nouvelles perspectives sur la modélisation de la dynamique des fluides sous l'influence de forces stochastiques, notamment le vent.

Il est crucial de noter que cette approche ne se limite pas simplement à l'introduction de termes stochastiques dans les équations. Elle nécessite une compréhension approfondie des espaces fonctionnels anisotropes, des régularités verticales et des propriétés de cartographie des opérateurs comme le Neumann. L'analyse fine de la régularité des solutions est indispensable pour garantir que les solutions stochastiques ainsi obtenues sont non seulement mathématiquement valides, mais aussi physiquement pertinentes dans le contexte de la modélisation océanique et atmosphérique.

En conclusion, l'introduction de conditions aux frontières stochastiques dans les équations primitives ouvre de nouvelles avenues pour la compréhension des phénomènes complexes qui se produisent à l'interface océan-atmosphère. La manière dont le vent interagit avec les couches superficielles de l'océan et de l'atmosphère a des implications profondes pour la modélisation du climat, des courants océaniques et des systèmes météorologiques, et cette approche permet de rendre compte de ces dynamiques avec une plus grande précision.