Comment différencier les intégrales dépendantes de paramètres et leurs applications dans le calcul variationnel ?

Soit une fonction ϕ appartenant à une classe de régularité adaptée, définie sur un intervalle [α, β] et à valeurs dans un espace fonctionnel F. Considérons une application Φ qui associe à un élément x d’un espace X l’intégrale ∫α^β ϕ(t, x) dt. Sous des hypothèses classiques de continuité et différentiabilité (par exemple ϕ ∈ C^0,p), on peut démontrer que Φ est de classe C^p sur X, et sa différentielle s’écrit explicitement comme l’intégrale des différentielles partielles de ϕ par rapport à la variable x, intégrées sur l’intervalle. Cette propriété s’appuie sur une combinaison astucieuse du théorème de dérivation en chaîne et de la théorie de l’intégration, notamment en s’appuyant sur la continuité forte des opérateurs linéaires issus de l’intégration.

L’analyse est d’autant plus raffinée que l’on considère les opérateurs de Nemytskii, lesquels transforment des fonctions en d’autres fonctions via une opération ponctuelle, et qui sont essentiels pour décrire des phénomènes où la dépendance spatiale et temporelle est couplée. L’opérateur Φ s’exprime souvent comme une composition d’une application ϕ avec un opérateur Ψ, qui encode les valeurs de la fonction et éventuellement de sa dérivée (dans le cas des espaces C^1). Cette structure permet de transférer la différentiabilité de ϕ à Φ via la règle de chaîne et d’établir ainsi une base rigoureuse pour le calcul variationnel.

Une étape clé est la démonstration que l’ensemble des fonctions à variation nulle sur les bornes forme un sous-espace vectoriel fermé, complet — un espace de Banach — qui facilite l’analyse variationnelle. Les conditions extrémales du problème sont ensuite caractérisées par la nullité de la différentielle de f sur ce sous-espace, ce qui conduit naturellement à l’équation d’Euler–Lagrange, fondement du calcul variationnel.

L’importance de ce cadre théorique réside dans sa généralité : il permet de traiter rigoureusement la différentiabilité de fonctionnelles intégrales dépendant de paramètres, d’établir des formules précises pour leurs dérivées, et d’en déduire les équations gouvernant les extrémaux. Ceci est fondamental dans les applications physiques, ingénierie, et mathématiques appliquées où la modélisation par des intégrales fonctionnelles est omniprésente.

Au-delà de cette structure, il est primordial pour le lecteur de saisir que les conditions de régularité et d’ouverture des espaces fonctionnels ne sont pas de simples contraintes techniques, mais assurent la validité des opérations différentielles et permettent d’utiliser pleinement les outils du calcul différentiel infini-dimensionnel. Par ailleurs, comprendre la relation intime entre la différentiabilité des opérateurs et la structure topologique des espaces concernés est essentiel pour appréhender les subtilités des solutions aux problèmes variationnels, notamment en ce qui concerne la stabilité, l’unicité et la sensibilité aux conditions aux limites.

L'image d'une immersion injective est-elle un sous-variété ?

Supposons que $X$ soit un ouvert de $\mathbb{R}^m$ et que $f \in C^q(X, \mathbb{R}^n)$ soit un plongement. Alors l'image $f(X)$ est une sous-variété $m$-dimensionnelle de $\mathbb{R}^n$.

Les exemples suivants illustrent ce concept à travers plusieurs représentations géométriques.

Exemples de plongements

(a) Coordonnées sphériques :
Considérons la fonction $f_3 : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$, définie par les coordonnées sphériques $(r, \varphi, \vartheta) \mapsto (x, y, z)$ données par les relations :

Soit $V_3 := (0, \infty) \times (0, 2\pi) \times (0, \pi)$. La restriction $g_3 := f_3|_{V_3}$ est un plongement $C^\infty$ de $V_3$ dans $\mathbb{R}^3$, et $F_3 = g_3(V_3) = \mathbb{R}^3 \setminus H_3$, où $H_3$ est le demi-plan fermé $\mathbb{R}^+ \times \{0\} \times \mathbb{R}$.

La restriction $g_2 := f_2|_{V_2}$ est un plongement $C^\infty$ de $V_2$ dans $\mathbb{R}^3$, et $F_2 = g_2(V_2) = S^2 \setminus H_3$, où $S^2$ est la sphère unité dans $\mathbb{R}^3$.

(c) Coordonnées cylindriques :

Conclusion

Il est crucial de comprendre que ces exemples montrent non seulement que ces plongements sont des immersions, mais aussi que leurs images sont des sous-variétés de $\mathbb{R}^n$ sous certaines conditions. La continuité et la structure topologique jouent un rôle fondamental dans la définition des sous-variétés, en particulier dans le contexte des immersions injectives et de la nécessité que l'inverse soit continu pour que l'image soit une sous-variété. L'importance de ces concepts réside dans leur capacité à modéliser géométriquement des objets complexes à travers des cartes locales et des paramétrisations régulières.

Comment comprendre l'espace tangent d'une variété différentielle et sa géométrie locale

Soit $q \in \mathbb{N} \times \cup \{\infty\}$ et $p \in M$. Une carte $(\varphi, U)$ de $M$ autour de $p$ permet de paramétrer $M$ dans un voisinage de $p$ à travers une fonction $g : V \to U$. L’espace tangent $T_pM$ de $M$ au point $p$ est l’image de $T_{\varphi(p)}V$ sous $T_{\varphi(p)}g$, soit $T_pM = \text{im}(T_{\varphi(p)}g)$. Les éléments de cet espace sont appelés vecteurs tangents de $M$ en $p$. Ainsi, l’ensemble des espaces tangents pour tous les points de $M$ forme le faisceau tangent $TM$.

Structure de l’espace tangent

L’espace tangent $T_pM$ est un sous-espace vectoriel de $T_p\mathbb{R}^n$, ce qui en fait un sous-espace de dimension $m$ si $M$ est une sous-variété de dimension $m$ de $\mathbb{R}^n$. De plus, cet espace est muni d’un produit scalaire induit par le produit scalaire standard de $T_p\mathbb{R}^n$. Ainsi, $T_pM$ devient un espace de Hilbert de dimension $m$ pour lequel il est possible de définir des normes et des produits scalaires locaux qui sont cruciaux pour l’étude de la géométrie locale de $M$.

Les applications locales et les bases locales

Une carte locale permet de définir des coordonnées locales sur $M$ et ainsi de représenter l’espace tangent en termes de vecteurs de $\mathbb{R}^m$. Ces coordonnées locales permettent d’exprimer les éléments de l’espace tangent à travers des dérivées partielles de la fonction de paramétrisation $g$. Par exemple, si $g(x) = (x, f(x))$ est une paramétrisation de $M$, les vecteurs tangents peuvent être obtenus en prenant les dérivées partielles de $g$ par rapport aux coordonnées $x$, donnant ainsi les directions tangentes locales de $M$.

Représentation géométrique des vecteurs tangents

Une des interprétations géométriques de l’espace tangent est que chaque vecteur tangent $v$ à $M$ en $p$ peut être vu comme la vitesse d’un chemin passant par $p$ et appartenant entièrement à $M$. Cela découle du théorème de caractérisation des espaces tangents, qui stipule qu’un vecteur $v \in T_pM$ correspond à la vitesse de certaines trajectoires dans $M$. Plus précisément, il existe un chemin $\gamma \in C^1((- \varepsilon, \varepsilon), \mathbb{R}^n)$ qui passe par $p$, avec $\gamma(0) = p$ et $\dot{\gamma}(0) = v$, et tel que $\gamma(t) \in M$ pour tous $t$ proches de zéro.

Interprétation et applications

L’interprétation géométrique de l’espace tangent est cruciale pour comprendre la variabilité et la courbure locale des courbes et des surfaces. De plus, cette notion est fondamentale pour la définition des formes différentielles et pour la compréhension des opérations de calcul différentiel sur des variétés. Un autre aspect important est que, pour des sous-variétés de $\mathbb{R}^n$, l’espace tangent peut être utilisé pour définir des concepts tels que les normales et les géodésiques, qui jouent un rôle essentiel en géométrie différentielle.