Comment Theaetetus a Résolu les Incommensurabilités Quadratiques et la Reconstruction de son Méthode

Dans le dialogue de Platon Le Théétète, une question centrale tourne autour de la découverte de Theaetetus concernant les incommensurabilités quadratiques. En particulier, son travail sur les longueurs de segments de droite et la relation entre les racines carrées et les nombres carrés est resté une référence clé pour l’histoire des mathématiques grecques. Cependant, comme le montrent plusieurs traductions modernes de ce passage du Théétète (147d3-e1), il subsiste de nombreuses incertitudes quant à la manière dont Theaetetus a effectivement résolu ce problème mathématique.

Les traductions de ce passage par van der Waerden, Knorr et Burnyeat apportent des éclairages différents sur les interprétations du texte antique. Van der Waerden, par exemple, nous décrit un processus dans lequel Theodorus, un mathématicien grec, démontre que des carrés de côtés de longueurs 3 et 5 pieds ne sont pas commensurables avec un carré de côté de 1 pied, et ainsi de suite jusqu'à des carrés de 17 pieds. Après avoir observé que le nombre de racines semblait infini, Theaetetus, dans la version de van der Waerden, propose de regrouper ces racines sous un terme unique.

Knorr, quant à lui, décrit Theodorus prouvant que les puissances de 3 et de 5 pieds ne sont pas commensurables avec la puissance de 1 pied. Knorr nous informe également qu'une fois que Theaetetus et son compagnon ont reconnu l'infinité des racines, ils ont cherché à les désigner sous un nom unique. Ce qui est frappant dans cette traduction est l’accent mis sur l'aspect diagrammatique de la démonstration, qui semble un moyen fondamental pour prouver l’incommensurabilité des segments de droite.

Burnyeat, de son côté, insiste sur la présentation de Theodorus dessinant des diagrammes pour illustrer que les carrés de trois et cinq pieds ne sont pas commensurables avec celui de un pied, poursuivant ainsi cette démonstration jusqu’à dix-sept pieds. Son analyse se distingue par une tentative de rendre l'argument plus accessible, sans trop entrer dans les détails techniques des calculs numéraux, mais en mettant l'accent sur la présentation visuelle des problèmes.

Cependant, certains spécialistes, comme Zeuthen, ont suggéré que la véritable contribution de Theaetetus réside non pas dans l’aspect géométrique de la démonstration, mais dans la partie arithmétique, où il prouve que si n est un nombre entier et non carré, alors n ne peut pas être égal au carré de la ratio de deux segments commensurables. Il est cependant important de noter que cette analyse arithmétique n’aurait pas été possible sans la fondation préalable de la théorie des nombres, notamment la compréhension des rapports entre les nombres premiers et les carrés.

La méthodologie utilisée par Theaetetus dans ses démonstrations mathématiques, cependant, demeure un sujet de débat parmi les historiens. Burnyeat, par exemple, rejette l’idée que Theaetetus ait employé une méthode arithmétique ou une méthode géométrique spécifique. Selon lui, les informations fournies par le texte de Platon ne permettent pas de reconstruire une méthode précise. Cela nous conduit à l’idée que peut-être Theaetetus n’a pas adopté une méthode rigoureuse et systématique, mais plutôt une approche plus intuitive, s’appuyant sur une réflexion préliminaire sur les rapports entre les longueurs et les nombres.

Il est important de souligner que la notion d'incommensurabilité n'était pas une nouveauté théorique pour les Grecs anciens, mais la manière dont Theaetetus a abordé cette question a joué un rôle clé dans la formulation des principes de la théorie des nombres et des relations géométriques. La démonstration de l'incommensurabilité de certaines longueurs de segments a montré que les relations entre les entités géométriques n'étaient pas toujours simples et que l'intuition, à elle seule, ne suffisait pas à comprendre la structure des grandeurs. Cela a ouvert la voie à un plus grand raffinement des théories mathématiques qui ont vu le jour plus tard, notamment avec les travaux d’Euclide, Archimède et Pythagore.

Pour le lecteur, il est essentiel de comprendre que les découvertes de Theaetetus, bien qu'influentes, ne se sont pas inscrites dans un cadre méthodologique moderne. Il n’existe pas de preuve définitive que Theaetetus ait utilisé des techniques strictes telles que celles que nous associons à la mathématique moderne. Loin d’être une simple curiosité historique, cette question de l’incommensurabilité a jeté les bases de toute la théorie des nombres et de la géométrie qui allait suivre, ouvrant ainsi la voie à des développements qui n’ont cessé d’évoluer.

La Conjecture de Poincaré et les Représentations presque arboricentes dans les variétés ouvertes à trois dimensions

L'idée principale des travaux Po I à Po IV repose sur la notion de "connectivité géométrique à grande distance" (GSC). Autrement dit, pour toute variété lisse ouverte X, si X est "GSC à grande distance", alors, pour chaque sous-ensemble compact K de X, il existe une sous-variété lisse GSC de X qui sépare K de X lui-même. Cette idée, inspirée des premiers travaux de géométrie sur la conjecture de Poincaré, m'a conduit à la formule suivante : si la variété 3-dimensionnelle Poincaré est connectée géométriquement à grande distance, alors la structure de la variété elle-même doit être celle d'une boule, une conclusion qui se révèle être l'équivalent de la conjecture dans le contexte des variétés 4-dimensionnelles.

Un aspect important de ces représentations est qu'elles permettent de manipuler la structure des variétés de manière très fine, en explorant leurs détails par une sorte de "calculus" itératif, que j'ai baptisé "calculus du nid d'abeille". Ce processus consiste à examiner une représentation sous des microscopes successifs, pour en extraire des informations de plus en plus détaillées, une idée similaire à celle de la renormalisation dans les théories physiques. C'est par ce calcul que j'ai pu établir que la variété 3-ball pouvait être représentée et manipulée à travers des constructions simpliciales, comme dans les articles Po I à Po IV.

Cependant, l'essence même de cette recherche réside dans une idée plus profonde : bien que la conjecture de Poincaré soit formulée en dimension trois, toute l'action se déroule en dimension quatre. C'est en effet dans cette dimension que les représentations et les constructions de géométrie simplifiée deviennent les plus intéressantes. La dimension quatre permet d'implémenter des techniques de "thickening", c'est-à-dire de rendre une variété "plus épaisse" en lui ajoutant des couches supplémentaires qui en révèlent des aspects plus fins. La géométrie à quatre dimensions devient donc l'outil fondamental pour analyser les variétés à trois dimensions, car elle permet de zoomer sur la structure globale tout en conservant une vue d'ensemble de la variété sous-jacente.

La force de cette approche réside dans sa capacité à élargir notre compréhension des variétés de dimensions supérieures, tout en permettant des généralisations vers des conjectures plus vastes, telles que la conjecture de Schoenflies en dimension 4. Bien que l'extension des résultats à d'autres dimensions soit encore en développement, l'idée que la conjecture de Poincaré puisse être abordée à travers cette méthode de "thickening" et de "représentation" dans un cadre à quatre dimensions ouvre des perspectives nouvelles et enrichissantes pour la recherche en topologie et géométrie algébrique.

Comment les conjectures et les lemmas se transforment au fil du temps : une perspective mathématique

J'ai commencé à faire cela quelques années plus tard, lors d'une grande conférence à Luminy, une station balnéaire magnifique dans les Calanques, près de Marseille ; Dave était dans le public. Immédiatement après cette conférence, Dave est revenu avec moi à Paris et y est resté un certain temps. Je dis "avec moi" parce que Milen et les enfants étaient alors en Norvège. C'est à ce moment-là que notre grande amitié et collaboration mathématique a commencé.

En 2008, la conjecture Po semblait réapparaître en plein milieu de notre projet Schoenflies. Au cours de l'année 2009, nous avons développé un programme ambitieux pour notre projet GSC Schoenflies. Il restait encore une conjecture homologique à prouver ; nous savions comment aborder la partie libre, mais la partie torsion restait un mystère. Néanmoins, à la fin de l'année 2009, les choses semblaient prometteuses. Mais en février 2010, j'ai reçu un courriel de Dave contenant de mauvaises nouvelles. Notre lemme de Pasadena était irréparablement faux ; ce courriel contenait un contre-exemple très explicite qui l'anéantissait complètement. Vous vous souvenez peut-être que, à l'automne 2010, je vous ai envoyé un petit texte, "A tale of maths and physics", où ce courriel dramatique est mentionné et où je parle ensuite de l'effet Casimir, de Boltzmann et de Ramanujan.

Puis, en 2012, je suis retourné aux Fidji, avec une nouvelle idée en tête pour prouver le nouveau lemme révisé de Pasadena. Pendant tout ce temps, nous avions été constamment dérangés par la possible existence de cycles indésirables. Dave a volé de Princeton à Paris pour que nous puissions en discuter ensemble. Nous avons fini par être convaincus qu'il n'y avait vraiment aucun moyen de conjurer nos cycles indésirables, qu'ils étaient inévitables. Cependant, nous avons trouvé une procédure intéressante pour les couper, en utilisant la propriété GSC de la boule Schoenflies que nous étudiions. Mais malgré cela, la fin du chemin restait hors de vue. Depuis 2012, Dave et moi continuons à nous battre avec ce "nouveau lemme révisé de Pasadena" et aussi avec une déclaration connexe, le "Mock–Pasadena lemma", supposée être une béquille pour la véritable chose. Ce travail, visant à démontrer que toute boule Schoenflies GSC en 4D est standard, est actuellement un domaine d'investigation actif pour Dave et moi.

Il est essentiel de comprendre que les progrès dans les mathématiques, notamment dans les domaines aussi complexes que ceux que j'ai abordés, se font souvent par petites étapes. Parfois, une idée peut paraître solide mais se révéler fausse, et il est crucial d'être prêt à recommencer depuis zéro, aussi douloureux que cela puisse être. Les conjectures, qu'elles soient mathématiques ou physiques, reposent souvent sur des hypothèses qui, au fil du temps, sont soit confirmées, soit infirmées, et cela fait partie intégrante du processus scientifique. Les changements dans les perspectives, dans la compréhension et dans les stratégies sont inévitables. L'important n'est pas de s'accrocher à une idée préconçue, mais d'être flexible et ouvert aux nouvelles découvertes qui surgissent avec le temps. L'intensité de l'effort, la persévérance et la capacité à corriger ses erreurs jouent un rôle clé dans le progrès des théories et des démonstrations.

Comment comprendre les bases de l'homologie et la géométrie des immersions dans le contexte de la théorie de l'homotopie stable

Cela implique que

Il est important de noter que $\hat{\varphi}$ peut être choisi de manière arbitraire. Considérons maintenant la fibre $A \oplus B \oplus C \oplus D$ du faisceau $\nu_0$ au-dessus du point marqué $pt \in P^2_8$, et l'immersion de Hopf $h: S^7 \rightarrow \mathbb{R}^8$, qui détermine un générateur de $[S^7] \sim (2) = \mathbb{Z}/16$. On définit alors le produit cartésien $h_4 : (S^7)^4 \times (A \oplus B \oplus C \oplus D)$, constitué de quatre copies de l'immersion $h$.

Dès lors, l'immersion $f : \tilde{M}_{30} \rightarrow \mathbb{R}^{35}$ est également bien définie, et le faisceau normal $\nu_f$ de cette immersion est isomorphe à la somme de Whitney $\hat{\nu}_P \oplus \mu$. Cela signifie que le faisceau normal est trivial, et que $\tilde{M}_{30}$ est un espace encadré avec une immersion encadrée, déterminant ainsi un élément dans $\pi_{30}$. La variété de Jones est bien définie.

L'objectif est maintenant de prouver que l'espace vectoriel $H_{15}(\tilde{M}_{30})$ est de dimension 8 et de déterminer la base hamiltonienne de cet espace par rapport au produit bilinéaire standard. Nous considérons le point marqué $pt \in P^2$ et marquons les 7-cycles dans la fibre $(S^7)^4$ du projection $p : \tilde{M}_{30} \to P^2$, correspondant respectivement aux sous-fibres du faisceau $\nu_0$. Les cycles $A \otimes B$, $A \otimes C$, $A \otimes D$, $B \otimes C$, $B \otimes D$, et $C \otimes D$ dans $H_{14}((S^7)^4)$ forment la base des cycles dans la fibre $(S^7)^4 = p^{ -1}(pt)$.

La base hamiltonienne de $H_{15}(\tilde{M}_{30})$ est alors constituée de paires de cycles invariants, où les cycles de chaque paire sont duals, et ceux provenant de paires différentes sont orthogonaux. L'intersection des cycles d'une même paire est toujours non nulle, ce qui justifie leur statut de base hamiltonienne dans le contexte de l'homologie de ces immersions.

Comment comprendre les immersions stables-framées et les invariants de Browder–Eccles dans la théorie de l'homotopie stable

Les immersions stables-framées sont des constructions géométriques sophistiquées qui jouent un rôle fondamental dans l'étude de la topologie des variétés immerses, en particulier dans le cadre de la théorie de l'homotopie stable. Un exemple clé de ce phénomène est l'immersion stable-framée de type 1, qui est utilisée pour illustrer des propriétés profondes de la topologie des variétés et des groupes d'homotopie associés.

Dans le cas particulier de $T^{4k+2}$, on définit un cycle horizontal $x$ et un cycle vertical $y$, tous deux associés à une certaine projection sur la variété $S^{2k+1}$. Cette projection génère des bundles normaux dont les propriétés sont cruciales pour la détermination de l'invariant de Browder–Eccles. L'exemple mathématique démontre que la formule $\text{Arf} (tw(i, \xi)) = 0$ est satisfaite, ce qui prouve la validité de l'immersion stable-framée et, par conséquent, de l'invariant de Browder–Eccles.

Le corollaire 12.1 élargit cette idée en affirmant qu'il existe une infinité de dimensions $n = 4l + 2$ pour lesquelles des immersions stables-framées avec un invariant de Browder–Eccles égal à 1 peuvent être trouvées. Ce corollaire s'oppose directement à d'autres résultats, comme ceux de la théorie de Hill–Hopkins–Ravenel concernant les immersions framées, ce qui montre la profondeur des différences entre ces deux classes d'immersion.

Il est crucial de comprendre que les immersions parfaites ne sont pas simplement des immersions géométriques : elles possèdent des propriétés algébriques très profondes, liées aux classes d'homologie et aux invariants associés à la variété immersée. Par exemple, l’immersion du torus de Konstantinov en 3 dimensions ne peut pas être homotopique de manière régulière à son image miroir ou à une immersion "à l'envers", ce qui en fait un cas de figure intéressant pour les études de la structure des immersions dans des espaces à dimensions plus élevées.

La compréhension de ces concepts est rendue encore plus complexe par les problèmes de Kervaire, qui sont au cœur de la théorie de l'homotopie stable. Le problème généralisé de Kervaire, comme démontré dans le théorème 12.7, possède une solution positive pour toutes les dimensions $n = 2l + 1 - 2$, avec $l \geq 1$, ce qui ouvre la voie à des avancées significatives dans la classification des immersions stables-framées dans des dimensions spécifiques. Ce résultat repose sur des éléments géométriques sophistiqués, notamment ceux liés à la construction des éléments de Mahowald, qui sont utilisés pour démontrer la stabilité des immersions dans des dimensions élevées.

Ce développement est fondamental pour la compréhension de la structure des immersions dans des espaces topologiques complexes, où les éléments comme les invariants de Browder–Eccles et les immersions parfaites jouent un rôle crucial. Le lecteur doit saisir que ces résultats ne sont pas seulement des constructions mathématiques abstraites, mais des outils puissants pour résoudre des problèmes topologiques profonds liés à la classification des variétés immerses et à la structure de leurs groupes d'homotopie.