Qu’est-ce que la dénombrabilité et comment distinguer les ensembles dénombrables des ensembles non dénombrables ?

L’étude des ensembles dénombrables révèle une propriété fondamentale des ensembles infinis : certains de leurs sous-ensembles propres peuvent également être dénombrables, comme l’exemple emblématique de l’ensemble des nombres pairs 2ℕ = {2n ; n ∈ ℕ} le montre clairement. Par ailleurs, il existe aussi des ensembles dénombrables contenant strictement ℕ, dont nous examinerons la nature plus en détail. Avant d’approfondir ces propriétés, il est crucial d’affirmer l’existence d’ensembles non dénombrables, ce que Cantor établit par un argument fondamental.

Le théorème de Cantor affirme qu’il n’existe pas de surjection d’un ensemble X vers son ensemble des parties P(X). La démonstration repose sur la construction d’un ensemble A qui ne peut être atteint par aucune fonction ϕ : X → P(X). En effet, définir A comme l’ensemble des éléments de X qui n’appartiennent pas à leur image sous ϕ conduit à une contradiction lorsque l’on suppose qu’un élément y de X satisfait ϕ(y) = A. Cette contradiction assure que ϕ n’est pas surjective, montrant ainsi que P(X) est strictement « plus grand » que X, en termes de cardinalité.

Revenons maintenant aux ensembles dénombrables. Il est naturel d’en déduire que tout sous-ensemble d’un ensemble dénombrable est lui-même dénombrable. Cette propriété, bien que paraissant évidente, mérite un traitement rigoureux. Si un sous-ensemble A est fini, la conclusion est immédiate. Dans le cas où A est infini, on peut sans perte de généralité supposer que X = ℕ. En ordonnant les éléments de A de manière croissante par une fonction α définie récursivement, on établit une bijection entre ℕ et A, assurant ainsi la dénombrabilité de A.

Cette méthodologie permet également de démontrer que l’union dénombrable d’ensembles dénombrables reste dénombrable. Pour une famille {X_n} d’ensembles dénombrables, on peut supposer que chaque X_n est infini et les rendre disjoints. En indexant leurs éléments, on construit une bijection entre la réunion infinie et ℕ, souvent illustrée par le parcours en diagonale des éléments d’une matrice infinie.

Toutefois, cette propriété ne s’étend pas aux produits infinis. La notion de produit cartésien infini est définie comme l’ensemble des fonctions choisissant un élément dans chaque ensemble d’une famille indexée par un ensemble infini A. Contrairement au cas fini, il n’est pas garanti que ce produit soit non vide sans recourir à l’axiome du choix, qui permet d’assurer l’existence de telles fonctions de sélection.

Il est important de comprendre que la dénombrabilité s’inscrit dans une hiérarchie complexe des infinis, où des constructions simples comme les sous-ensembles, unions, et produits peuvent transformer la nature cardinal de l’ensemble concerné. La maîtrise de ces notions permet de saisir les subtilités de l’infini en mathématiques, particulièrement en théorie des ensembles et en analyse.

Comment définir et comprendre les fonctions et leurs propriétés fondamentales en mathématiques ?

Une fonction peut être perçue comme un lien rigoureux entre deux ensembles, où chaque élément du premier ensemble, appelé domaine, est associé à un unique élément du second ensemble, appelé codomaine. Cette association univoque est ce qui définit une fonction au sens mathématique strict. Il est crucial de bien saisir cette notion, car elle constitue la pierre angulaire de nombreux concepts mathématiques ultérieurs.

Parmi les notions essentielles se trouvent les injections, surjections et bijections. Une injection est une fonction où des éléments distincts du domaine sont envoyés vers des éléments distincts du codomaine ; il n'y a donc pas de chevauchement dans les images. À l’inverse, une surjection est une fonction dont l’image recouvre entièrement le codomaine, chaque élément du codomaine ayant au moins un antécédent. Une bijection est simultanément injective et surjective, établissant une correspondance parfaite et réversible entre les deux ensembles, ce qui implique l’existence d’une fonction inverse.

La composition de fonctions, autre concept fondamental, consiste à appliquer successivement deux fonctions : la première transforme un élément initial, et la seconde agit sur le résultat obtenu. Cette opération est associative, et son étude permet de comprendre la structure algébrique des ensembles munis de fonctions. Elle s’inscrit également dans le cadre des diagrammes commutatifs, qui garantissent la cohérence des compositions dans des systèmes plus complexes.

L’inversion des fonctions bijectives ouvre la voie à des manipulations algébriques plus profondes, où l’on peut « remonter » le processus de transformation initiale. Cela est fondamental pour résoudre des équations et pour l’analyse structurelle des systèmes mathématiques.

Par ailleurs, les fonctions à valeurs dans des ensembles, parfois appelées fonctions multivaluées ou à valeurs multiples, étendent cette idée simple d’une image unique, permettant de modéliser des phénomènes plus complexes, comme les relations binaires non fonctionnelles.

En s’appuyant sur cette compréhension, l’arithmétique des nombres naturels s’appuie sur les axiomes de Peano, qui définissent rigoureusement ces nombres à travers la notion de succession. Cette base formelle permet de construire la théorie des nombres et de développer des outils comme le principe d’induction, fondamental pour démontrer des propriétés infinies à partir d’un cas initial.

Enfin, la théorie des groupes, des anneaux, des corps et des espaces vectoriels repose sur l’idée d’opérations internes respectant des règles spécifiques, conférant une structure algébrique aux ensembles et permettant d’étudier les symétries, les transformations et les combinaisons linéaires. Ces structures sont indissociables des fonctions linéaires, des homomorphismes, et des isomorphismes qui préservent ou reflètent la structure.

Il est essentiel de saisir que la rigueur des définitions ne constitue pas un simple formalisme abstrait, mais la base d’une compréhension profonde qui rend possible la généralisation, la preuve, et l’application des mathématiques à de nombreux domaines. La maîtrise des notions fondamentales, depuis les fonctions simples jusqu’aux structures algébriques complexes, est indispensable pour avancer dans l’étude des mathématiques modernes.

Par ailleurs, il importe de garder à l’esprit que chaque notion présentée s’inscrit dans un cadre plus large, souvent interconnecté. Par exemple, les propriétés des fonctions se retrouvent dans la théorie des groupes via les homomorphismes, tandis que les concepts d’injection, surjection et bijection guident la compréhension des correspondances entre ensembles, cruciales pour la théorie des ensembles et la combinatoire. Le lecteur doit également apprécier que les axiomes, tels que ceux de Peano, ne sont pas seulement des règles, mais des fondations sur lesquelles reposent toutes les constructions ultérieures des nombres et des opérations.

Comment construit-on le corps des réels comme complétion ordonnée des rationnels ?

L’ensemble $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ des suites de nombres rationnels est un anneau muni d’une structure d’ordre partiel, mais cette relation d’ordre n’est pas totale, ce qui empêche $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ d’être un anneau ordonné. Pour progresser vers la construction des réels, on considère un sous-anneau $R \subseteq \mathbb{Q}^\mathbb{N}$ constitué des suites de Cauchy, ce qui garantit que les suites sont bornées. Plus précisément, si $r = (r_n)$ et $s = (s_n)$ appartiennent à $R$, alors leurs sommes et produits restent dans $R$, ce qui confirme que $R$ est bien un sous-anneau contenant l’élément unité.

L’ordre sur $\mathbb{R}$ est défini par la positivité stricte des suites : une classe $[r]$ est strictement positive si, à partir d’un certain rang $n_0$, les termes $r_n$ sont uniformément majorés par un réel strictement positif $\frac{1}{N}$. Cette définition mène à une relation d’ordre partiel $\leq$ sur $\mathbb{R}$, qui se révèle être une relation d’ordre total compatible avec la structure d’anneau. Cette compatibilité assure que $\mathbb{R}$ est un anneau ordonné.

L’ordre ainsi défini sur $\mathbb{R}$ est complet au sens où toute suite monotone bornée converge dans $\mathbb{R}$. Cette propriété est établie par une construction classique inspirée de Cantor : on construit, à partir d’un ensemble non vide et borné supérieur $A \subseteq \mathbb{R}$, deux suites $(\alpha_j)$ croissante et $(\beta_j)$ décroissante, dont la distance tend vers zéro. La limite commune de ces deux suites constitue la borne supérieure (sup) de $A$, ce qui montre que $\mathbb{R}$ est un corps ordonné complet, extension ordonnée de $\mathbb{Q}$.

Le rôle des suites de Cauchy est crucial dans cette construction, car elles permettent de capturer la notion intuitive de convergence à l’intérieur d’un espace initialement dépourvu de limite. L’idéal des suites nulles $c_0$ joue quant à lui le rôle de « noyau » qui identifie les suites indistinctes du point de vue de la limite, donnant ainsi naissance à une structure de classes d’équivalence. Cette identification permet d’éliminer les différences insignifiantes entre suites, assurant la cohérence des opérations et de l’ordre sur le corps résultant.

Au-delà de cette construction, il faut comprendre que la complétude est une propriété essentielle pour le développement des mathématiques modernes, notamment en analyse réelle. Elle garantit la stabilité des limites, l’existence des extrêmes, et permet le développement des théories d’intégration, de continuité et de différentiation. Sans elle, les raisonnements sur les fonctions, les séries et les espaces métriques manqueraient de fondement rigoureux.

Il est également essentiel de saisir que cette construction peut être généralisée : la complétion par suites de Cauchy peut s’appliquer à d’autres structures algébriques et métriques, permettant de définir des espaces complets à partir d’espaces partiellement définis, ce qui est fondamental en topologie, géométrie et théorie des espaces de Banach.