Lorsqu’on effectue un changement de coordonnées d’un système {x} vers un autre système {x′}, un tenseur Tα1...αkT^{\alpha_1...\alpha_k} de rang kk se transforme suivant une règle bien définie, exprimée formellement comme une composition du tenseur initial avec les dérivées partielles des nouvelles coordonnées par rapport aux anciennes. Cette transformation garantit que les objets considérés conservent leur nature géométrique, indépendante du choix de système de coordonnées.

Mais la situation change radicalement lorsqu'on différencie un champ tensoriel. En effet, la dérivée partielle d’un champ tensoriel, même si elle est définie point par point, ne se transforme pas comme un tenseur lors d’un changement de coordonnées. Cela compromet directement la compatibilité avec la formulation covariante des lois physiques, qui exigent des équations invariantes sous tout changement de repère admissible.

Pour illustrer ce point, on commence par différencier une expression tensorielle transformée et l’on contracte les indices selon un schéma précis. En développant le déterminant issu du changement de variables selon les propriétés antisymétriques du symbole de Kronecker généralisé, on observe que certains termes du développement sont invariants par permutation et se simplifient par symétries internes. Notamment, les contributions symétriques dans des indices antisymétriques s'annulent automatiquement.

Ainsi, dans le calcul complet, le premier et le troisième terme du développement de la dérivée contribuent de manière égale et opposée, ce qui conduit à leur annulation réciproque. Quant au second terme, il disparaît purement et simplement en raison de la contraction d’un objet symétrique avec un objet antisymétrique. Le résultat final montre que la dérivée partielle d’un champ tensoriel ne donne pas, en général, un objet tensoriel. Ce fait s’avère problématique puisque la formulation des équations physiques repose précisément sur l’usage de telles entités géométriques.

Cette constatation mène naturellement à introduire une notion généralisée de différentiation : la dérivée covariante. Elle doit reproduire toutes les propriétés algébriques d’une dérivée ordinaire mais produire des champs tensoriaux lorsqu’elle agit sur des champs tensoriaux, et se réduire à une dérivée partielle lorsqu’elle agit sur des scalaires. Elle est notée par ∇α ou parfois D/∂xα.

Les propriétés que doit satisfaire la dérivée covariante sont : la distributivité vis-à-vis de l’addition, la règle de Leibniz pour le produit tensoriel, la compatibilité avec les scalaires, l’annulation sur les symboles de Levi-Civita et les deltas de Kronecker, et surtout, la capacité à produire un champ tensoriel de type augmenté lorsqu’elle agit sur un champ tensoriel donné.

En introduisant une base de champs de vecteurs sur une variété différentielle MnM^n, constituée de nn vecteurs linéairement indépendants {eaα(x)}\{e_a^\alpha(x)\}, on peut construire une matrice non singulière, possédant une inverse eαa(x)e^a_\alpha(x). Ces objets définissent des bases duales et permettent de représenter tout tenseur en termes de quantités scalaires via la contraction avec les bases. Grâce à cela, les composantes tensoriales peuvent être représentées par une collection de champs scalaires, ce qui simplifie les manipulations analytiques et rend possible une reconstruction complète des objets tensoriels à partir de leur décomposition sur la base.

Il est essentiel de comprendre que la nécessité d’introduire la dérivée covariante

Comment décrire le tenseur énergie-impulsion d’un fluide parfait en relativité générale ?

En relativité générale, la densité d’énergie en un point donné de l’espace-temps, mesurée dans n’importe quel système de coordonnées, est représentée par le composant T00(p)T_{00}(p) du tenseur énergie-impulsion. Dans les coordonnées comobiles, c’est-à-dire celles qui suivent le mouvement du fluide, cette densité d’énergie ne comprend que l’énergie interne ε\varepsilon de la particule fluide. Celle-ci inclut l’énergie de masse au repos, l’énergie thermique due au mouvement des constituants microscopiques, et l’énergie chimique.

Dans ce cadre comobile, il n’y a pas de flux d’énergie : les composantes mixtes T0IT^I_0 sont nulles. En conséquence, le tenseur énergie-impulsion satisfait la relation Tαβuβ=εuαT^{\alpha\beta} u_\beta = \varepsilon u^\alpha, où uαu^\alpha est le vecteur vitesse du fluide. Cette équation est tensorielle, donc valable dans tous les systèmes de coordonnées.

La pression dans un fluide parfait s’exprime par la loi de Pascal : la force exercée sur un élément de surface dans le fluide est isotrope, c’est-à-dire indépendante de la direction. Cela conduit à l’équation TIJ=−pδIJT^{IJ} = -p \delta^{IJ}, dans l’espace orthogonal au vecteur vitesse uαu^\alpha, avec pp la pression scalaire du fluide. L’expression complète du tenseur énergie-impulsion en projection orthonormée devient alors :

T0^0^=ε,T0^A^=0,TA^B^=−pηA^B^,T_{\hat{0}\hat{0}} = \varepsilon, \quad T_{\hat{0}\hat{A}} = 0, \quad T_{\hat{A}\hat{B}} = -p \eta_{\hat{A}\hat{B}},

où A^,B^=1,2,3\hat{A}, \hat{B} = 1, 2, 3 et ηA^B^\eta_{\hat{A}\hat{B}} est la métrique de Minkowski dans l’espace.

En réintroduisant ces composantes dans le référentiel général via une base tétradique orthonormée, on obtient la forme générale du tenseur énergie-impulsion pour un fluide parfait :

Tαβ=(ε+p)uαuβ−pgαβ.T^{\alpha\beta} = (\varepsilon + p)u^\alpha u^\beta - p g^{\alpha\beta}.

Lorsque la pression est nulle, on parle de poussière, et le tenseur énergie-impulsion se réduit à ( T^{\al

Quels sont les nouveaux ajouts dans la théorie de la relativité et leur impact sur notre compréhension de l'univers ?

Dans la dernière édition de ce manuel, plusieurs ajouts significatifs permettent d’approfondir notre compréhension des concepts relativistes, tout en introduisant des travaux récents dans le domaine. Ces ajouts, qui couvrent un large éventail de théories et de modèles cosmiques, sont présentés de manière claire et méthodique, en suivant les principes fondamentaux de la relativité générale et des modèles cosmologiques contemporains. Ces développements ne sont pas simplement des exercices ou des démonstrations théoriques, mais des réflexions poussées qui permettent d’approcher des phénomènes complexes avec de nouveaux outils mathématiques et conceptuels.

L'introduction du modèle ΛCDM, par exemple, est un jalon important dans la compréhension du comportement de l'univers à grande échelle. Ce modèle, qui inclut une constante cosmologique représentant l’énergie sombre, permet de mieux décrire l'accélération de l'expansion cosmique observée depuis le début du XXe siècle. Le chapitre 17, avec ses nouvelles sections (17.8, 17.9, 17.10), examine comment la relation distance-rougeshift peut être dérivée dans les modèles de Friedmann avec Λ, en intégrant des concepts relatifs aux décalages spectraux et aux modèles de Robertson-Walker. Ces travaux ouvrent la voie à une exploration plus fine des phénomènes cosmologiques et à une meilleure compréhension de la dynamique de l'univers.

Un autre ajout marquant concerne la dérivation de la formule du déplacement de position d’une source lumineuse dans une géométrie générale, inspirée par les travaux de M. Korzyński et J. Kopiński. Cela permet d’explorer de manière approfondie les effets de la relativité sur la trajectoire de la lumière dans des contextes non-euclidiens, mettant en lumière l'influence des géométries courbes sur les phénomènes observés.

Des sections spécifiques, comme celles expliquant la différence entre les horizons apparents dans les modèles L–T (Lemaître-Tolman), sont également particulièrement intéressantes. Ces ajouts, particulièrement dans le chapitre 18, permettent de comprendre comment les objets de l'univers peuvent afficher un décalage vers le bleu, plutôt que le décalage vers le rouge, un phénomène jusqu’alors mal compris dans le cadre des modèles standards de l'expansion cosmique. Cela ouvre un débat crucial sur la façon dont certaines anomalies observées dans les données astronomiques peuvent être interprétées à la lumière des théories relativistes modernes.

D'autres sections, comme celles du chapitre 19, qui se concentrent sur l'évolution de solutions chargées dans les espaces-temps de Reissner-Nordström et Ruban, sont essentielles pour explorer les singularités dans des contextes de matière chargée. Ce travail approfondit la compréhension des phénomènes gravitationnels dans des environnements extrêmes, en intégrant les effets des champs électromagnétiques.

La section 20.3.8 et 20.3.9, qui comparent les horizons apparents "absolus" et ordinaires dans les espaces-temps quasi-sphériques de Szekeres, est un ajout majeur pour quiconque cherche à comprendre la géométrie de l'univers à grande échelle. Ces développements sont essentiels pour les physiciens travaillant sur la structure de l'univers à grande échelle, en particulier ceux impliqués dans l’étude des espaces-temps non isotropes.

La théorie de la relativité et ses extensions modernes trouvent également une application dans des domaines pratiques, comme en témoigne le nouveau chapitre 22, qui s'intéresse aux effets relativistes dans le système de positionnement global (GPS). Cette section montre de manière concrète comment les principes théoriques de la relativité générale sont appliqués dans les technologies modernes, rendant compte de l'importance de la relativité dans la vie quotidienne.

En outre, la discussion détaillée sur la résolution d'exercices difficiles et la vérification de calculs complexes, présentée dans le chapitre 24, constitue un ajout précieux pour les étudiants et chercheurs qui cherchent à approfondir leur maîtrise des calculs relativistes et cosmologiques. Ces indications sont cruciales pour la résolution de problèmes avancés et pour le développement de nouvelles méthodes analytiques en relativité.

Au-delà de ces ajouts, il est important de souligner l’importance de comprendre que ces théories, bien qu’elles reposent sur des concepts mathématiques rigoureux, ont des implications profondes sur notre vision de l’univers. Les modèles comme ΛCDM, bien que largement acceptés, restent des approximations qui sont continuellement mises à l’épreuve par de nouvelles observations. De même, les phénomènes comme le décalage vers le bleu, souvent perçus comme des anomalies, peuvent offrir des indices précieux sur la nature de la matière noire, de l’énergie sombre et de la géométrie de l’espace-temps à grande échelle. Les travaux récents, en particulier ceux qui portent sur les horizons apparents et les singularités, révèlent la complexité de l’interaction entre la matière et la géométrie de l’espace-temps. Ces études nous rappellent que, malgré l’énorme succès de la relativité générale et de ses applications pratiques, des zones d’ombre subsistent dans notre compréhension de l’univers, en particulier concernant les singularités et les comportements des objets dans des conditions extrêmes.

Comment les différents modèles cosmologiques dépendent de la constante cosmologique et de la courbure spatiale

Dans l'étude de la cosmologie relativiste, la géométrie de Robertson-Walker joue un rôle crucial pour décrire les modèles d'univers en fonction de leur courbure spatiale et de la constante cosmologique. Les équations fondamentales qui en découlent permettent de comprendre non seulement l'évolution de l'univers, mais aussi les différents types de comportements possibles des modèles cosmologiques en fonction des valeurs des paramètres. Un point important à retenir est que les valeurs de ces paramètres influencent de manière significative l'expansion, la contraction et l'instabilité de l'univers, selon que l'on se trouve dans des régimes dominés par la gravitation, la constante cosmologique ou des effets mixtes.

Si on prend l'exemple où k>0k > 0 et R>RER > R_E, l'univers peut soit se dilater de manière asymptotique de R→RER \rightarrow R_E à t→−∞t \rightarrow -\infty jusqu'à R→∞R \rightarrow \infty à t→∞t \rightarrow \infty, soit se contracter depuis R→∞R \rightarrow \infty à t→−∞t \rightarrow -\infty jusqu'à R→RER \rightarrow R_E à t→∞t \rightarrow \infty. Ces deux scénarios reflètent des comportements opposés de l'univers, en fonction de l'évolution temporelle des paramètres cosmologiques.

Pour k>0k > 0, il existe également une solution statique, où R≡RER \equiv R_E, qui est instable. C'est ce que l'on appelle l'« Univers d'Einstein », un modèle particulier qui, bien qu'intéressant théoriquement, est instable en raison de la sensibilité de son rayon à toute perturbation. Une petite perturbation de RR entraînera soit une expansion, comme dans le cas décrit précédemment, soit une contraction. Ce comportement est directement lié à la valeur de la constante cosmologique Λ\Lambda, qui modifie les forces dominantes dans l'univers, en introduisant une sorte de répulsion cosmologique.

Lorsque Λ>ΛE\Lambda > \Lambda_E, indépendamment du signe de kk, il existe uniquement des modèles qui s'étendent de manière monotone de R=0R = 0 à R→∞R \rightarrow \infty, ou se contractent de manière monotone. Comme pour les précédentes situations, l'expansion se fait avec une accélération pour des valeurs de RR suffisamment grandes. Les modèles possibles sont illustrés par plusieurs courbes, qui sont fonction de la courbure spatiale et de la constante cosmologique. Ces courbes, telles que celles montrées dans les figures 17.3–17.5, démontrent la diversité des scénarios d'expansion, de contraction ou de stabilité dans différents régimes cosmologiques.

L'impact de la constante cosmologique est crucial pour comprendre la dynamique de l'univers à grande échelle. Par exemple, avec une constante cosmologique négative (Λ<0\Lambda < 0), la répulsion cosmologique peut dominer et empêcher l'effondrement de l'univers même si k>0k > 0. Dans de tels modèles, la répulsion finit par imposer une accélération de l'expansion à mesure que l'univers se dilate, ce qui a des implications directes sur la structure et l'évolution future de l'univers.

Le modèle ΛCDM\Lambda CDM (où CDM signifie "Cold Dark Matter" ou matière noire froide) est actuellement le cadre dominant en cosmologie. Ce modèle repose sur l'idée que l'univers est en expansion accélérée, ce qui est uniquement possible si Λ\Lambda ou un phénomène similaire est non nul. Ce modèle prédit que l'univers est non seulement en expansion, mais que cette expansion se fait à un taux croissant, avec des effets marqués par la présence de la matière noire et de la constante cosmologique. Le rôle de la constante cosmologique dans ce cadre est de fournir la répulsion nécessaire pour expliquer cette accélération de l'expansion.

En ce qui concerne l’évolution du modèle ΛCDM\Lambda CDM, les relations entre les paramètres comme la densité critique, la courbure spatiale et la constante cosmologique permettent de prédire l'avenir de l'univers. Lorsque Λ<0\Lambda < 0, une expansion accélérée commence dès que R=Ri=3GM/c2ΛR = R_i = 3GM/c^2\Lambda, ce qui détermine le début de l'expansion accélérée de l'univers.

Il est aussi intéressant de noter que les valeurs actuelles des paramètres de Hubble et de la constante cosmologique impliquent un univers qui, bien qu'étant plat spatialement, continue de se dilater à un rythme accéléré. Ce modèle de l'univers plat avec accélération de l'expansion est une des contributions majeures de la cosmologie contemporaine, permettant de réconcilier de nombreux résultats observationnels, notamment ceux des supernovas de type Ia, qui ont montré que l'expansion de l'univers s’accélérait.

En somme, l'étude de la géométrie de Robertson-Walker et de ses solutions en fonction de kk et Λ\Lambda montre la complexité des modèles cosmologiques, dont les comportements varient en fonction de la courbure spatiale et de la constante cosmologique. L'impact de ces paramètres sur l'évolution de l'univers ne se limite pas à des questions théoriques mais affecte directement notre compréhension de l'histoire et du futur de l'univers. Il est essentiel de prendre en compte l'interaction entre matière, énergie sombre et courbure pour comprendre l'évolution dynamique de notre cosmos.

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