La Singularité de Traversée de Coque et la Censorship Cosmique : Une Analyse

Dans l’étude des singularités dans les modèles cosmologiques, l’une des questions clés concerne la validité de la conjecture de censorship cosmique (CCH), qui stipule que les singularités de l’espace-temps ne doivent pas être visibles à l’extérieur d’un horizon des événements. Un exemple classique de singularité visible est celui de la traversée de coque nue, que nous examinerons ici à travers un modèle L–T (Lemaître-Tolman) spécifique, comme celui proposé par Yodzis, Seifert et Müller zum Hagen en 1973.

Dans leur étude, ils ont exploré un modèle de poussière en contraction, où une coquille de matière se contracte sous l’effet de la gravité, et leur objectif était de démontrer que, sous certaines conditions, une singularité nue peut se former. Pour simplifier, une telle singularité se produit lorsque la surface de la poussière, en se contractant, rencontre l’horizon apparent du trou noir avant d’être engloutie par celui-ci. Ce modèle particulier repose sur l’idée que, dans un espace-temps approprié, un rayon lumineux émis au moment de la formation de cette singularité nue peut échapper au trou noir et atteindre l’infini futur, ce qui va à l’encontre de la CCH.

Pour illustrer ce phénomène, un modèle simplifié a été construit où l'on utilise une poussière L–T à énergie nulle et sans constante cosmologique (Λ = 0). Le but est de choisir une fonction qui décrit la position de la singularité de manière telle que la coque de matière atteigne la surface de la sphère avant que celle-ci ne traverse l'horizon apparent à $R = 2M$ , le rayon de Schwarzschild. À ce point, l’horizon apparent coïncide avec l’horizon des événements du trou noir de Schwarzschild, et donc la singularité devient nue.

La configuration de ce modèle utilise un choix particulier des coordonnées et des fonctions pour la masse de la poussière. En choisissant une fonction quadratique pour décrire l’évolution temporelle de la surface de la coquille $t_S(r) = a(r-c)^2 + d$ , l’on obtient une description simple mais précise de la manière dont cette singularité se développe. Il devient évident qu’il existe une fenêtre temporelle durant laquelle la singularité peut atteindre la surface avant que celle-ci ne soit engloutie par l'horizon. Cette condition, exprimée par l’inégalité $3\mu c > b + \frac{5}{a}$ , détermine la possibilité de formation d’une singularité nue.

Si cette condition est satisfaite, la singularité est effectivement nue et peut envoyer des rayons lumineux vers l'infini. Ce phénomène va à l’encontre de l’idée généralement acceptée selon laquelle toute singularité doit être enfermée à l’intérieur d’un horizon des événements, rendant cette situation particulièrement intéressante dans le contexte de la Censorship Cosmique.

Il est important de noter que pour qu'une telle singularité se manifeste, la fonction $t_C(r)$ , qui décrit la fonction de contraction de la coquille de matière, doit être choisie de manière appropriée. De plus, l’intersection de cette surface avec l’horizon apparent doit se produire après que la singularité se soit déjà manifestée à l’extérieur de la sphère de matière.

Les implications physiques de ces modèles sont profondes. Ils remettent en question la validité de la conjecture de censorship cosmique, en montrant qu’il est possible de violer cette conjecture dans des configurations spécifiques de matière, telles que celles de la poussière L–T en contraction. Ce contre-exemple a été plus tard renforcé par des résultats de Christodoulou, qui a également montré que des modèles L–T avec $E < 0$ pouvaient engendrer des singularités nues encore plus fortes, allant encore plus loin dans la violation de la CCH.

Les géodésiques nulles jouent un rôle central dans la compréhension de ces phénomènes. En effet, la trajectoire de ces géodésiques, lorsqu’elles sont émises à partir de la singularité centrale, doit pouvoir se prolonger à l’infini dans le cas d’une singularité nue. Il est ainsi possible de concevoir des modèles où des rayons lumineux issus de cette singularité peuvent se propager sans rencontrer d’obstacles, ce qui contredit l’idée qu’une singularité doit nécessairement être enfermée derrière un horizon.

Une partie de la clé de cette problématique réside dans les conditions de convergence des géodésiques. Si une géodésique frappant ou quittant une singularité de traversée de coque ne satisfait pas les conditions de convergence strictes (ou la condition de focage limite forte), cela signifie que la singularité peut effectivement être observée à l’extérieur, et ce, de manière totalement violente par rapport aux postulats habituels de la CCH. Cette découverte d’une singularité de traversée de coque « faible » montre la possibilité d’observer des phénomènes extrêmes où des singularités ne sont pas confinées à un horizon, ce qui en fait des objets d’étude particulièrement fascinants en physique théorique et cosmologie.

Finalement, ces résultats apportent une perspective nouvelle sur les modèles d’espace-temps et offrent des contre-exemples cruciaux qui alimentent les discussions sur la validité de la conjecture de censorship cosmique. En analysant plus en profondeur ces modèles, il devient évident qu’une meilleure compréhension des conditions sous-jacentes à la formation de singularités nues est essentielle pour réévaluer la portée de cette conjecture, qui reste l’un des piliers de la relativité générale.

Comment la géométrie de Lemaître-Tolman influence l'observation du ciel : un aperçu des trajectoires des rayons lumineux

Dans la géométrie de Lemaître-Tolman (L-T), un espace-temps inhomogène, on observe que les rayons lumineux non radiaux, émis par une source à un instant donné, suivent des trajectoires complexes qui dépendent de la densité de matière et de la courbure locale de l'espace-temps. Si deux rayons lumineux sont émis par la même source, l'un après l'autre, et arrivent au même observateur, leur trajectoire dans l'espace-temps de L-T ne sera pas identique. La première différence notable réside dans le fait que les rayons non radiaux traversent des régions de matière et d'énergie différemment, modifiant ainsi leur point d'intersection sur une hypersurface donnée.

Prenons l'exemple de deux rayons lumineux non radiaux dans un espace-temps L-T. Le premier rayon suit une trajectoire définie par $(t, \vartheta, \varphi) = (T(r), \Theta(r), \Phi(r))$ , tandis que le second, émis un peu plus tard, présente une trajectoire perturbée en raison des effets de la densité de matière et de la géométrie locale : $(t, \vartheta, \varphi) = (T(r) + \tau(r), \Theta(r) + \zeta(r), \Phi(r) + \psi(r))$ . Ici, $\tau(r)$ , $\zeta(r)$ , et $\psi(r)$ modifient respectivement le temps, la latitude et la longitude, ce qui crée une déviation dans le parcours du rayon lumineux. Cette déviation est le résultat des variations locales de la densité et de la courbure de l'espace-temps.

Il en découle que ces deux rayons lumineux, bien qu'émettant de la même source, ne suivront pas exactement le même chemin et ne se croiseront pas aux mêmes points de l'espace-temps. Cette différence de trajectoire entraîne également une divergence dans les objets célestes perçus par un observateur. Par exemple, le second rayon sera perçu par l'observateur sous un angle différent, provoquant un "dérive" apparente des sources lumineuses à travers le ciel. En d'autres termes, l'observateur percevra la source lumineuse non seulement plus tard, mais également à un emplacement différent du ciel, créant ainsi un effet de décalage ou de dérive.

Les travaux de Krasiński et Bolejko sur les géométries de Szekeres ont déjà évoqué ce phénomène de dérive dans des espaces-temps inhomogènes. Toutefois, cet effet est encore plus prononcé dans les modèles de L-T. En fait, le seul type d'espace-temps où il n'y a pas de dérive apparente est celui des modèles de Friedmann, où la symétrie homogène et isotrope empêche toute variation observable de la position des sources lumineuses.

Des exemples numériques réalisés dans les limites L-T ont permis d'illustrer ce phénomène. Dans une configuration typique, on suppose qu'une source lumineuse émet des rayons qui traversent une région vide (ou sous-densité de matière) de l'univers. À mesure que ces rayons se propagent à travers l'espace-temps, leur trajectoire est déviée par la structure de l'univers local. Si l'on considère une zone vide de diamètre de l'ordre de 7 Gpc, avec une densité centrale environ un cinquième de la densité moyenne de l'univers, les rayons lumineux sont déviés de manière mesurable, bien que ces effets ne soient pas encore détectés par les instruments actuels. La mission Gaia, qui offre une précision de parallaxe à l'échelle de quelques microsecondes d'arc, pourrait un jour mesurer ces dérives après plusieurs années de surveillance.

Un autre effet remarquable observé dans les modèles L-T concerne la possibilité de détection des noyaux "retardés" du Big Bang. Selon les hypothèses de Novikov et d'autres chercheurs, il est envisageable que certaines régions de l'univers aient subi une expansion décalée par rapport à l'expansion générale du Big Bang. Cela pourrait expliquer des phénomènes tels que les sursauts gamma, qui sont des émissions de rayonnement extrêmement énergétiques observées dans des directions précises du ciel. Les modèles L-T et Szekeres suggèrent que ces sursauts gamma, lorsqu'ils sont observés depuis des régions de l'univers présentant une courbure locale importante, pourraient apparaître avec un décalage vers le bleu plus important que prévu, ce qui leur conférerait une signature unique difficile à discerner dans les observations actuelles.

En somme, l'observation de ces phénomènes pourrait fournir des indices précieux sur l'homogénéité et l'inhomogénéité à grande échelle de l'univers. Les déviations dans la trajectoire des rayons lumineux ne sont pas simplement des curiosités théoriques, mais des phénomènes qui, s'ils étaient mesurés, offriraient des preuves tangibles de la structure à grande échelle de l'univers, et surtout de son inhomogénéité.

Il est essentiel de comprendre que l'effet de dérive décrit ici ne concerne que les rayons lumineux non radiaux. Pour les rayons lumineux radiaux, en revanche, cette dérive n'existe pas, ce qui en fait un cas particulier de la dynamique des rayons dans des espaces-temps inhomogènes. La distinction entre ces deux types de rayons lumineux est cruciale pour comprendre les observations futures, notamment celles relatives à l'énergie et à la distribution de la matière dans l'univers.

L'impact des effets relativistes sur la précision du GPS : Une confirmation expérimentale de la relativité générale

Les effets relativistes influencent la précision du système de positionnement global (GPS) de manière significative. Ce système, qui repose sur des satellites en orbite autour de la Terre, détermine les positions des récepteurs en se basant sur les signaux envoyés par ces satellites. Bien que l'on puisse considérer que ces effets sont minimes dans des situations quotidiennes, leur impact devient essentiel dans le calcul de la position sur une période prolongée, comme 24 heures.

Les petites erreurs de synchronisation des horloges des satellites, dues aux effets relativistes, peuvent se traduire par de grandes différences dans la détermination des positions. Ces effets sont particulièrement marqués à cause de la vitesse élevée des satellites en orbite et des conditions gravitationnelles particulières. En effet, selon la relativité générale, la vitesse des satellites et leur altitude par rapport à la Terre influencent la manière dont le temps s'écoule à leur bord par rapport à la surface terrestre. Si ces corrections relativistes étaient ignorées, les erreurs s’accumuleraient de manière exponentielle au fil du temps, rendant le système inutilisable.

Les résultats expérimentaux montrent que, sans tenir compte des corrections relativistes, les erreurs dans la détermination de la position du récepteur peuvent atteindre des valeurs impressionnantes. Par exemple, si les corrections étaient ignorées pendant 24 heures, les erreurs liées au champ gravitationnel terrestre pourraient atteindre 18 km, et celles dues à la vitesse du récepteur seraient de 10 mètres. Plus étonnant encore, si l'on négligeait l'effet de la rotation de la Terre ou l'altitude de l'horloge du satellite, des erreurs pouvant atteindre plusieurs kilomètres pourraient se produire. Il est donc crucial de prendre en compte ces effets pour maintenir la précision du GPS.

Les effets relativistes sur le GPS sont particulièrement visibles et mesurables. En effet, contrairement aux tests de laboratoire ou en orbite qui mesuraient des effets très faibles et invisibles dans des conditions normales, l'impact de la relativité dans le GPS est observable au quotidien. Cette observation représente une confirmation directe des prévisions de la relativité générale dans un contexte technologique réel. Ce test en temps réel nous permet d'expérimenter la relativité à grande échelle, dans un système de navigation qui fait partie intégrante de la vie quotidienne de millions de personnes.

Les neuf principaux effets relativistes influençant le GPS sont détaillés dans les travaux de Ashby (1996). Ces effets incluent, entre autres, l'influence du champ gravitationnel de la Terre, l'oblateness (l'aplatissement) de la Terre, l'altitude des satellites, la rotation de la Terre, ainsi que la vitesse du satellite par rapport au récepteur au sol. Pour chaque effet, les erreurs sont mesurées en fonction du temps. Par exemple, l'orbite d'un satellite à une altitude de 10 km peut entraîner une erreur de position de l'ordre de 28 mètres après 24 heures d'utilisation continue du GPS. Si ces effets n'étaient pas pris en compte, cela rendrait toute la technologie du GPS imprécise et inutilisable.

Un aspect fondamental à retenir est que, lorsque l'on utilise un récepteur GPS pour déterminer une position avec précision, on effectue en réalité une expérience expérimentale qui confirme directement la validité de la relativité générale dans des conditions pratiques. La vitesse des satellites, la structure de l’espace-temps à grande échelle et l'interaction gravitationnelle de la Terre avec les satellites modifient le passage du temps et influencent donc les mesures de positionnement. L’omission de ces effets relativistes entraînerait une défaillance complète du système GPS.

Le système GPS, en intégrant ces corrections relativistes de manière continue, permet de fournir une précision étonnante dans la détermination de la position, ce qui serait impossible sans prendre en compte ces effets. En fait, sans la prise en compte de la relativité générale et de ses effets subtils sur le temps, notre capacité à naviguer avec une telle précision serait tout simplement irréalisable. De plus, cela montre que la technologie moderne ne fonctionne pas seulement dans des cadres purement techniques, mais qu’elle intègre également des principes fondamentaux de la physique théorique.

Il est également important de souligner que ces corrections ne concernent pas seulement les satellites eux-mêmes, mais aussi les récepteurs au sol. En effet, la vitesse des récepteurs, souvent proches de l'échelle de 100 km/h, ainsi que les conditions spécifiques d'altitude et de localisation, modifient également la perception du temps par rapport aux satellites. Ces facteurs doivent être pris en compte pour maintenir une précision optimale.

Enfin, l'utilisation de corrections relativistes dans le GPS n'est qu'un exemple parmi d'autres des applications technologiques modernes qui exploitent la relativité générale. L'impact de ces principes dans des systèmes pratiques et quotidiens prouve l'importance de cette théorie non seulement en tant que concept scientifique, mais aussi en tant que moteur de technologies de pointe. À travers ces systèmes, la relativité devient une composante essentielle du monde technologique dans lequel nous vivons.

Comment déterminer les champs de vecteurs de Killing dans un espace de Riemann

Dans le cadre des espaces riemanniens, l'analyse des champs de vecteurs de Killing, qui sont des solutions des équations de Killing, permet de mieux comprendre les symétries géométriques d'un espace. Ces symétries se manifestent sous la forme de transformations qui préservent la structure de l'espace. Plus précisément, les équations de Killing, comme celles formulées par (8.18) et (8.21), décrivent les relations entre les dérivées covariantes des champs de vecteurs qui laissent invariant le tenseur métrique.

Prenons comme point de départ l'équation (8.21), où il est dit que la combinaison des termes $K_\alpha ;\beta\gamma + K_\gamma ;\alpha\beta + K_\beta ;\gamma\alpha = 0$ est satisfaite. Ce résultat découle directement de l'analogie avec les équations de Killing. En continuant avec l'équation (8.22), on peut exprimer $K_\gamma ;\alpha\beta$ en termes de $K_\beta ;\alpha\gamma$ et du tenseur de courbure $R_{\rho\alpha\beta\gamma}$ , ce qui nous permet de calculer les dérivées covariantes de $K_\gamma$ de manière algébrique si nous connaissons les valeurs de $K_\gamma$ et de $K_\gamma ;\delta$ en un point particulier $p_0$ .

Dans un espace riemannien donné, les valeurs de $K_\gamma(p_0)$ et $K_\gamma ;\delta(p_0)$ sont des données suffisantes pour déterminer $K_\gamma(p)$ dans un voisinage de $p_0$ , à condition que la série de Taylor pour $K_\gamma(p)$ converge. Cette condition nécessite que le tenseur de courbure $R_{\rho\alpha\beta\gamma}$ soit analytique dans ce voisinage. Cela montre que les valeurs de $K_\gamma(p_0)$ et $K_\gamma ;\delta(p_0)$ déterminent de manière unique la fonction $K_\gamma(p)$ dans une certaine région de l'espace, et que la série de Taylor de $K_\gamma(p)$ contiendra au maximum $\frac{1}{2} n(n+1)$ constantes arbitraires.

L'approche pour trouver une base des champs de Killing repose sur la résolution des équations de Killing. La solution générale dépendra d'un nombre $N \leq \frac{1}{2} n(n+1)$ de constantes arbitraires, qui sont associées aux solutions fondamentales des équations de Killing. Chaque champ $k_\mu$ génère un sous-groupe d'une paramétrisation de symétrie. Ces bases sont obtenues en calculant les dérivées partielles de $K_\mu$ par rapport aux constantes arbitraires. Une fois les bases déterminées, le nombre de champs de Killing linéairement indépendants ne dépasse jamais $\frac{1}{2}n(n+1)$ , même dans un espace de Riemann de dimension $n$ .

Une notion clé dans ce cadre est que ces champs de Killing, bien qu'ils soient appelés "vecteurs de Killing", sont en réalité des champs de vecteurs dont les composantes sont des fonctions. Par exemple, dans un espace de Riemann plat, le nombre maximal de champs de Killing linéairement indépendants est $\frac{1}{2}n(n+1)$ . Cependant, il est important de noter que pour d'autres champs de tenseurs, comme dans le cas de $R_{\alpha\beta\gamma\delta}$ (le tenseur de courbure), une base finie de solutions pourrait ne pas exister. Dans ce cas, la solution générale des équations d'invariance contiendra des fonctions arbitraires plutôt que des constantes.

Il est également pertinent de mentionner qu'un champ de vecteurs de Killing le long d'une géodésique devient un champ de déviation géodésique. En contractant l'équation (8.22) avec les vecteurs tangents d'une géodésique, on obtient l'équation de déviation géodésique classique, qui lie le vecteur de Killing à la déviation de la géodésique, comme exprimé par le terme $R_{\rho\alpha\beta\gamma}$ . Cela souligne une relation importante entre la géométrie de l'espace et les propriétés des champs de Killing, notamment leur rôle dans la description du comportement des géodésiques dans des espaces courbes.

Enfin, il convient de souligner que l'invariance des autres champs de tenseurs, comme les vecteurs contravariants ou les champs de courbure, suit des principes similaires, bien que les résultats soient généralement plus complexes. Par exemple, pour les champs de vecteurs contravariants, les équations d'invariance se simplifient en une forme où l'on considère les dérivées covariantes des champs sous transformation. Ces invariances permettent de définir des symétries spécifiques dans l'espace de Riemann et de déterminer le comportement des champs sous ces transformations.

En résumé, les champs de vecteurs de Killing et leur rôle dans la préservation de la structure métrique d'un espace sont des éléments essentiels pour comprendre les symétries géométriques dans un espace riemannien. Ils fournissent une base pour la classification des espaces de Riemann et leur étude détaillée permet de mieux saisir la structure intrinsèque de ces espaces.

Comment la classification de Bianchi peut-elle nous aider à comprendre la géométrie des espaces homogènes ?

Si $n_1 = 0$ est la seule valeur propre nulle, alors, selon l'équation (10.9), le vecteur $a$ prendra la forme suivante après un choix approprié de base : $a_i = [a, 0, 0]$ (voir (10.13)). Dans le cas où $n_1 = 0$ est une valeur propre multiple, l'équation (10.12) permet encore de faire une rotation du vecteur $a$ dans l'espace propre de $n_1 = 0$ . On peut alors procéder à une rotation de $a$ pour qu'il prenne la forme $a_i = [a, 0, 0]$ , comme dans l'équation (10.13). Cette situation couvre le cas où $a_i = 0$ . Dans une telle base, l'équation (10.9) devient alors $a_1 = 0$ (voir (10.14)).

Les relations de commutation deviennent ensuite :

[k_1, k_2] = a k_3 + n_3 k_2, \quad [k_1, k_3] = n_1 k_2, \quad [k_2, k_3] = n_2 k_1 - a k_3.

Ces formes de relations de commutation ont été obtenues en effectuant des rotations des champs vectoriels $k$ . À partir de ce point, aucune nouvelle rotation n’est permise, mais on peut toujours procéder à une mise à l'échelle des vecteurs $k$ sans changer leur direction. Après cette mise à l'échelle, les relations de commutation deviennent :

C_3 C_1 [k_1, k_2] = k_3 + n_3 k_2, \quad [k_1, k_3] = n_1 k_2, \quad [k_2, k_3] = n_2 k_1 - k_3.

Nous utilisons ici les échelles $C_1$ , $C_2$ , et $C_3$ pour simplifier les paramètres $a$ , $n_1$ , $n_2$ , et $n_3$ . Un paramètre non nul ne pourra jamais devenir nul par simple mise à l'échelle. Par conséquent, la classification préliminaire est indiquée dans le tableau 10.1, où $S$ représente un paramètre non nul.

Cependant, tous les cas du tableau 10.1 ne sont pas équivalents. Des permutations des vecteurs de base qui ne violent pas l'équation (10.14) sont encore possibles. Ainsi, toute permutation de $n_1$ , $n_2$ , et $n_3$ est permise lorsque $a = 0$ , et lorsque $a \neq 0$ , seules les permutations de $n_2$ et $n_3$ sont autorisées. Cela implique que seules les configurations indiquées dans la dernière ligne du tableau peuvent être réellement inéquitables. L'introduction des types par Bianchi en 1898 a été réalisée à l'aide d'une méthode différente, mais ses numérotations sont encore utilisées aujourd'hui, bien que ne correspondant pas toujours naturellement à la dérivation présentée ci-dessous.

Il est essentiel de prendre en compte les cas suivants de la classification Bianchi. Le premier cas, où $a = n_1 = n_2 = n_3 = 0$ , correspond au type I de Bianchi, où toutes les commutations sont nulles. Le cas suivant, $a = n_2 = n_3 = 0, n_1 \neq 0$ , est le type II, et ainsi de suite pour les autres types. Cette classification permet de comprendre les différentes structures de géométrie d’espaces homogènes en fonction des relations entre les paramètres $a$ , $n_1$ , $n_2$ , et $n_3$ .

À partir des relations de commutation et des transformations de mise à l'échelle, on peut identifier et différencier les types géométriques fondamentaux. Le type VII, par exemple, est subdivisé en plusieurs sous-cas en fonction des signes des produits $n_1 n_2$ et $n_1 n_3$ . De plus, certaines configurations sont caractérisées par des familles de types non équivalents, comme dans le cas $n_2 n_3 \neq 0$ et $n_1 = 0$ , qui peut être décomposé en plusieurs cas selon les signes des produits.

Un autre point important de la classification concerne les propriétés des orbites sous l’action des groupes. Les générateurs d’un groupe de Lie, qui agissent sur un espace homogène, peuvent être soit linéairement indépendants à chaque point de l’espace, soit linéairement dépendants. Cette distinction affecte la géométrie des orbites, qui peuvent être de dimension 2 et posséder une courbure constante. En effet, un groupe d’isométries en dimension 3, comme $O(3)$ , n’aura pas d’orbites de dimension 1 ; de telles orbites ne seraient possibles que si les générateurs étaient proportionnels, ce qui violerait les équations de Killing.

Il est crucial de comprendre comment ces propriétés se manifestent dans le cadre de la classification de Bianchi et de voir comment la géométrie de l’espace homogène peut être modifiée par des transformations simples de mise à l’échelle, tout en maintenant la structure fondamentale des relations de commutation.

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