Quand une relation de préférence admet-elle une représentation numérique ?

Une relation de préférence ≻ sur un ensemble X est dite dense par ordre si, pour toute paire (x, y) avec x ≻ y, il existe un élément z dans un sous-ensemble Z de X tel que x ⪰ z ⪰ y. Cette densité d'ordre est essentielle pour caractériser les relations de préférence qui peuvent être représentées numériquement.

Inversement, à partir d’une représentation numérique U, on peut reconstruire un sous-ensemble dénombrable dense par ordre en associant à chaque intervalle rationnel non vide de valeurs U un élément de X dont l’image par U est dans cet intervalle. On ajuste ensuite cet ensemble pour combler les éventuelles lacunes, garantissant ainsi la densité par ordre.

La notion de continuité de la relation de préférence est également cruciale. Une relation est continue si, pour tout élément x, les ensembles des éléments strictement préférés à x et de ceux strictement moins préférés que x sont ouverts dans la topologie de X. Une telle continuité implique souvent la possibilité d’une représentation numérique continue, surtout dans des espaces topologiques bien structurés comme les espaces de Hausdorff.

Dans un espace topologique de Hausdorff, la continuité de ≻ se caractérise aussi par la propriété d’ouverture ou de fermeture de certains ensembles dans le produit topologique X×X, ce qui lie étroitement la structure topologique et l’ordre des préférences. Par exemple, l’ensemble des paires (x, y) telles que y ≻ x est ouvert dans X×X si et seulement si ≻ est continue.

Un autre résultat important concerne les espaces topologiques connexes. Dans ces espaces, toute partie dense est aussi dense par ordre, et si l’espace est séparable (c’est-à-dire possède un sous-ensemble dense dénombrable), alors la relation de préférence continue admet une représentation numérique. Cela montre le rôle central de la topologie et de la structure de l’espace sous-jacent dans la possibilité de quantifier les préférences.

À titre d’illustration, des exemples simples comme une union disjointe d’intervalles dans ℝ révèlent que l’absence de connexité peut empêcher cette densité par ordre et ainsi entraver la représentation numérique, même si un ensemble dense existe.

Il est important de comprendre que la représentation numérique des préférences n’est pas simplement une formalité mathématique mais une condition essentielle pour modéliser et analyser rationnellement les choix, notamment en économie et en théorie de la décision. La densité par ordre et la continuité conditionnent la possibilité d’attribuer une "valeur" numérique cohérente aux éléments de X, ce qui permet d’étudier les préférences de manière plus concrète et de les comparer quantitativement.

Il faut garder à l’esprit que certaines relations de préférence naturelles, notamment celles impliquant des ordres lexicographiques ou des ensembles non séparables, résistent à cette quantification. Cela souligne l’importance d’une analyse fine de la structure topologique et ordinale des ensembles considérés. La densité par ordre, la continuité, la connexité et la séparabilité sont des propriétés qui ne doivent pas être négligées lors de la modélisation des préférences, car elles déterminent l’aptitude à représenter ces préférences par une fonction numérique.

Comment déterminer le profil optimal des réclamations contingentes sous contraintes de dominance stochastique ?

Dans l’analyse des profils optimaux sous contraintes de dominance stochastique, on considère souvent une mesure de Radon positive η sur l’intervalle (0,1], qui permet d’exprimer une fonction croissante h en termes de l’intégrale de η. Plus précisément, h(t) = η([t,1]) pour tout t ∈ (0,1]. Cette construction conduit à une application astucieuse du théorème de Fubini, qui permet d’interchanger les intégrales et d’établir des inégalités fondamentales reliant des quantiles et des fonctions associées aux distributions considérées.

L’outil principal est ici l’inégalité de Hardy–Littlewood, qui fournit un lien entre l’espérance pondérée par une fonction φ et l’intégrale des produits des quantiles associés. En posant h(t) = q_φ(1 − t), où q_φ est la fonction quantile de φ, on obtient une expression clé reliant l’espérance optimisée E* à une intégrale impliquant les quantiles. Cela établit un cadre rigoureux pour identifier un profil optimal X*, défini comme une fonction f de φ, où f satisfait une relation conditionnelle d’espérance, notée E_λ[· | q_φ], sous la mesure de Lebesgue sur (0,1).

L’argument central repose sur la convexité et la propriété de Jensen appliquée aux espérances conditionnelles : pour toute fonction d’utilité u concave croissante, l’espérance de u appliquée à X* est supérieure ou égale à celle de u appliquée à une autre variable X_0, démontrant ainsi que X* domine X_0 selon l’ordre concave croissant. Ce résultat montre que X* est un profil optimal qui respecte les contraintes de dominance stochastique.

De plus, X* réalise la borne inférieure attendue pour l’espérance optimisée, ce qui en fait un candidat naturel pour la minimisation des coûts dans la classe des variables aléatoires ayant la même distribution que X_0. Dans le cas où φ possède une distribution continue, on démontre que X* a même loi que X_0, renforçant son rôle de profil efficient en coût, c’est-à-dire le profil aléatoire qui atteint la distribution désirée au coût minimal. Cette caractérisation est fondamentale dans la finance pour la conception de réclamations contingentes « coût-efficaces ».

L’interprétation économique de ce cadre se trouve dans la notion de « prix de réservation », qui, selon la relation d’ordre choisie et la mesure des coûts, correspond au prix minimal auquel une position financière X_0 peut être superposée par une autre position X offrant une utilité au moins équivalente. Ce prix de réservation se révèle être, dans un contexte d’optimisation, l’espérance pondérée E*[X*] du profil optimal X*.

Un exemple concret dans un modèle de marché à un seul pas avec un actif risqué suivant une loi log-normale illustre l’application de ce formalisme. La densité du risque neutre peut être écrite comme une fonction h(S) décroissante ou croissante suivant un paramètre α, permettant d’étudier explicitement la forme du profil optimal pour les options de type put ou call. Cette analyse relie la théorie abstraite aux applications pratiques en modélisation financière.

La compréhension de ce cadre est essentielle pour appréhender la conception de profils financiers optimaux sous contraintes de préférences ordonnées par dominance stochastique, qu’il s’agisse d’allocations de portefeuille, d’évaluation de produits dérivés ou de conception de contrats d’assurance. La natur

Comment les mesures de risque cohérentes sont-elles liées à l'invariance de loi et aux distorsions concaves ?

Dans le cadre des mesures de risque invariantes par la loi, il existe une correspondance directe entre les lois de densité et les mesures de probabilité sur l'intervalle $(0, 1]$. La fonction $q(t)$ définie par l'intégrale

peut être vue comme une fonction quantile de la densité $\phi$, qui est à son tour associée à une mesure $Q$ dans l'ensemble $M_1(P)$, où $U$ suit une distribution uniforme sur $(0, 1)$. Cette densité $\phi$ est non-négative et, lorsqu'on calcule son espérance, on obtient :

Cela établit une correspondance bijective entre les lois de densité et les mesures de probabilité sur l'intervalle $(0, 1]$, ce qui est essentiel pour l'invariance par la loi des mesures de risque.

Une mesure de risque cohérente $\rho$ est dite invariante par la loi si et seulement si elle peut être représentée comme le supremum de l'intégrale suivante :

Cela signifie que $\rho(X)$ dépend uniquement de la loi de $X$, et non de la manière spécifique dont $X$ est réalisé. Ce comportement est crucial dans l'évaluation des risques dans des contextes où la distribution exacte des variables aléatoires est incertaine ou difficile à observer directement.

De plus, une mesure de risque convexe invariante par la loi montre une relation particulière avec l'ordre concave croissant $\succ_{icv}$. Plus précisément, pour des variables $X$ et $Y$ dans $L^\infty$ (l'espace des variables aléatoires bornées), si $Y \succ_{icv} X$, alors la mesure de risque $\rho$ satisfera l'inégalité :

Cela montre que la mesure de risque devient moins sévère à mesure que la "forme" de la variable aléatoire devient plus "favorable" du point de vue de cet ordre concave. Cette propriété de dilatation-monotonie est également pertinente dans l'évaluation des risques conditionnels, où la réduction de la variabilité de la position à travers l'espérance conditionnelle est reflétée par une mesure de risque cohérente.

L'invariance par la loi et la convexité de ces mesures sont essentielles pour la gestion des risques dans un environnement où les données peuvent être incertaines ou où les observations sont limitées. De plus, la réduction de la variabilité, lorsqu'elle est mesurée par une espérance conditionnelle, est toujours accompagnée par une réduction du risque, ce qui permet aux gestionnaires de risques de prendre des décisions plus éclairées sur la base de la loi sous-jacente des variables aléatoires.

En conclusion, les mesures de risque cohérentes invariantes par la loi représentent un outil puissant dans la gestion des risques financiers, en particulier lorsqu'elles sont associées à des distorsions concaves et à des intégrales de Choquet. Ces mesures permettent non seulement une évaluation précise des risques, mais aussi une compréhension plus profonde des comportements des marchés et des individus face à l'incertitude.

Qu'est-ce qu'une mesure martingale et comment caractérise-t-elle l'absence d'arbitrage en finance ?

Une mesure de probabilité $Q$ est dite mesure martingale si elle satisfait plusieurs propriétés équivalentes, fondamentales pour comprendre la dynamique des prix dans un marché financier sans opportunités d'arbitrage. Premièrement, la mesure $Q$ est martingale si, pour toute stratégie auto-financée $\xi = (\xi_0, \xi)$ avec des positions bornées, le processus de valeur $V$ associé est un martingale sous $Q$. Cela signifie que l'espérance conditionnelle du processus $V$ à l'instant suivant, sachant l'information disponible à l'instant présent, est égale à sa valeur actuelle, traduisant l'absence de tendance prévisible dans les gains.

Plus encore, lorsque la valeur finale $V_T$ est quasi certaine positive ($V_T \geq 0$ $Q$-presque sûrement), l'égalité $E^Q[V_T] = V_0$ implique que le gain attendu est nul, ce qui confirme l'absence d'opportunités d'arbitrage. Cette propriété lie intrinsèquement la notion de martingale à celle d'absence d'arbitrage, clé de voûte des modèles financiers modernes.

Cette équivalence est renforcée par l'existence d'une mesure équivalente $\tilde{P}$, construite par une densité de Radon-Nikodym, qui transforme le processus des prix actualisés en une martingale. Cette construction se fait par récurrence, en utilisant des propriétés de conditionnement et de densités bornées, ce qui établit l'existence d'une mesure équivalente martingale si et seulement si il n'existe pas d'arbitrage dans le marché.

Il est donc fondamental pour le lecteur de comprendre que la notion de mesure martingale ne se limite pas à une condition technique, mais incarne le concept économique de marchés financiers justes, où les prix reflètent pleinement l'information disponible et où les profits sans risque sont impossibles. La structure mathématique de ces mesures garantit l'équilibre des marchés et sert de fondement à la tarification d'actifs dérivés, la gestion des risques, ainsi qu'à la modélisation des comportements dynamiques des portefeuilles.

Il est également essentiel de saisir que les hypothèses d'intégrabilité et de bornitude dans la définition des stratégies et des processus sont indispensables pour assurer la rigueur mathématique des résultats. Elles empêchent des situations pathologiques où des gains illimités pourraient apparaître sans investissement initial, ce qui violerait le principe d'absence d'arbitrage. Enfin, la construction explicite des mesures équivalentes martingales par changement de densité illustre la richesse des outils probabilistes mobilisés pour modéliser et analyser les marchés financiers.

Comment définir et comprendre les temps d’arrêt mesurables et le collage des mesures en finance des produits américains ?

Dans le cadre de la finance des produits dérivés, en particulier des options américaines, la notion de temps d’arrêt mesurable par rapport à une filtration $\mathcal{F}_t$ est fondamentale. Un temps d’arrêt $\sigma$ est dit $\mathcal{F}_t$-mesurable s’il est une variable aléatoire prenant ses valeurs dans l’intervalle $[0,T]$, telle que l’événement $\{\sigma \leq t\}$ appartient à la tribu $\mathcal{F}_t$ pour tout $t$. Cette propriété permet d’incorporer dans la modélisation les décisions d’exercice de l’option, puisque le détenteur peut choisir un instant d’arrêt adapté à l’information disponible jusqu’à ce temps.

Dans un marché complet, toute option américaine (ou tout claim américain) est atteignable, ce qui signifie que son prix d’arbitrage unique est égal au coût initial minimal d’une stratégie de couverture. Ceci découle de résultats fondamentaux reliant arbitrage, complétude du marché et existence de stratégies de couverture. En revanche, dans un marché incomplet, même si certains claims peuvent ne pas être atteignables, chaque claim atteignable admet une unique valeur sans arbitrage, conforme à un investissement initial correspondant à une stratégie de couverture.

La théorie s’enrichit par l’étude de la stabilité des mesures probabilistes sous un procédé appelé « collage » (pasting). Cette opération consiste à combiner deux mesures de probabilité équivalentes, disons $Q_1$ et $Q_2$, en un nouveau mesure $\tilde{Q}$, collée en un temps d’arrêt donné $\sigma$. Formellement, cette mesure $\tilde{Q}$ est définie par l’espérance conditionnelle itérée : pour tout événement $A$, $\tilde{Q}[A] = E^{Q_1}[ Q_2[A | \mathcal{F}_\sigma] ]$. Ce procédé garantit que $\tilde{Q}$ coïncide avec $Q_1$ jusqu’au temps $\sigma$, puis adopte la dynamique de $Q_2$ à partir de $\sigma$. Cette construction est cruciale pour l’analyse des enveloppes de Snell, qui représentent la valeur optimale espérée d’un claim américain, et pour démontrer des identités minimax essentielles à la caractérisation des prix sans arbitrage.

Par ailleurs, l’étude approfondie des $\sigma$-algèbres $\mathcal{F}_\tau$, correspondant aux événements observables jusqu’au temps d’arrêt $\tau$, et des relations d’inclusion entre ces tribus en fonction des ordres des temps d’arrêt, est essentielle pour comprendre comment l’information évolue et s’intègre dans la modélisation probabiliste. Ces structures mathématiques soutiennent les démonstrations d’égalité des espérances conditionnelles, d’adaptativité des processus, ainsi que des propriétés martingales sous arrêt.

Il est fondamental pour le lecteur de saisir que les outils présentés ne servent pas uniquement à formaliser le prix des options américaines, mais permettent aussi d’établir un cadre rigoureux pour l’analyse des risques et des stratégies optimales dans des marchés réels souvent incomplets. La notion de collage de mesures révèle comment il est possible de construire de nouvelles probabilités compatibles avec différentes informations et scénarios d’évolution du marché, tout en maintenant l’absence d’arbitrage.

De plus, la compréhension des temps d’arrêt mesurables, ainsi que la manipulation précise des tribus associées, sont des compétences indispensables pour aborder les problèmes d’optimalité en temps stochastique, tels que la détermination des moments d’exercice optimaux dans des environnements incertains. Ces notions préparent aussi à la théorie du superhedging, qui généralise la couverture dans les marchés incomplets et introduit des stratégies robustes face à l’incertitude.

Enfin, au-delà de la modélisation mathématique, ces concepts invitent à une réflexion plus large sur la nature dynamique de l’information, le rôle de la filtration dans la prise de décision financière, et la manière dont les modèles probabilistes s’ajustent aux réalités changeantes des marchés. Ils illustrent que la maîtrise des aspects techniques sous-jacents est la clé pour construire des outils d’évaluation et de gestion du risque solides et adaptables.