La famille de métriques Szekeres-Szafron présente une structure particulière pour les solutions des équations d'Einstein, notamment dans le cadre de la cosmologie relativiste. Ces solutions décrivent un univers en expansion où la géométrie de l'espace-temps peut être influencée par la présence de fluides parfaits et la variation du temps et de l'espace.

La métrique étudiée est de la forme :

ds2=dt2−e2αdz2−e2βdx2+dy2ds^2 = dt^2 - e^{2\alpha} dz^2 - e^{2\beta} dx^2 + dy^2

Ici, α\alpha et β\beta sont des fonctions dépendant de tt, xx, yy, et zz. Ces fonctions doivent être déterminées à partir des équations d'Einstein, prenant en compte un fluide parfait comme source d'énergie et de matière. Les coordonnées utilisées dans cette métrique sont comobiles, ce qui signifie que la vitesse du fluide est nulle dans ces coordonnées et que l'accélération du fluide est également nulle. Cela simplifie l'expression des équations et fait apparaître une dépendance uniquement temporelle pour la pression.

Les composantes du tenseur de l'énergie-impulsion sont essentielles pour comprendre l'évolution de l'univers. Elles sont obtenues en résolvant les équations d'Einstein, dont le formalisme peut se révéler complexe en raison de la forme particulière de la métrique. Les composantes du tenseur de Einstein pour cette solution sont :

G00=e−2β−(α,x−α,y−α,xx−β,xx−α,yy−β,yy+e−2α−3β,z−2β,zz+2α,zβ,z+2α,tβ,t+β,t)G_{00} = e^{ -2\beta} - ( \alpha, x - \alpha, y - \alpha, xx - \beta, xx - \alpha, yy - \beta, yy + e^{ -2\alpha} - 3 \beta, z - 2 \beta, zz + 2 \alpha, z \beta, z + 2 \alpha, t \beta, t + \beta, t )

Les solutions aux équations d'Einstein dépendent de la structure particulière des fonctions α\alpha et β\beta, et l'une des particularités de la famille de métriques de Szekeres-Szafron est que les fonctions α\alpha et β\beta sont liées par des relations spécifiques qui doivent être résolues.

En observant de plus près, on constate que le cas où β,z=0\beta, z = 0 simplifie notablement les équations. Ce cas particulier correspond à la situation où les variations de β\beta par rapport à zz sont nulles, et il permet de résoudre directement les équations d'Einstein dans un cadre plus simple. Les fonctions α\alpha et β\beta peuvent alors être exprimées sous des formes analytiques qui dépendent uniquement de la coordonnée tt et de quelques fonctions additionnelles.

De plus, dans ce cadre, il est possible d'identifier des symétries conformes qui simplifient davantage la structure de la métrique. Par exemple, les transformations qui respectent la structure de la métrique peuvent être utilisées pour exprimer les solutions sous une forme plus symétrique, ce qui facilite la compréhension des propriétés géométriques de l'univers modélisé. Le calcul de la courbure de la métrique est également simplifié, ce qui permet d'analyser la dynamique de l'univers en termes de courbure constante.

Un autre aspect important de cette famille de métriques est la manière dont la pression et la densité d'énergie sont liées. Les équations d'Einstein dans cette formulation montrent clairement que la densité d'énergie ϵ\epsilon et la pression pp dépendent de manière complexe des fonctions α\alpha, β\beta, et de leurs dérivées. En particulier, la relation entre la pression et la densité d'énergie est influencée par les termes associés à la courbure de l'espace-temps, ce qui reflète la dynamique de l'univers en expansion.

Les transformations qui peuvent être appliquées à la métrique permettent de simplifier la géométrie et de mieux comprendre les solutions de courbure constante. Ces transformations montrent que, selon les valeurs des paramètres, la métrique peut être ramenée à une forme plus simple, en particulier dans le cas où la constante de courbure kk est non nulle. Les transformations qui conduisent à cette simplification sont bien connues dans le cadre des géométries à courbure constante et permettent d'étudier des solutions particulièrement intéressantes pour la cosmologie.

Enfin, la compréhension de ces solutions met en évidence l'importance de la symétrie dans l'univers et la manière dont la courbure de l'espace-temps influence la distribution de la matière et de l'énergie. Ces résultats sont essentiels pour mieux comprendre la dynamique cosmologique, notamment dans le contexte de modèles relativistes où la structure de l'univers peut être modifiée par des interactions gravitationnelles complexes.

Comment les équations de Gauss-Codazzi déterminent l'enchâssement dans un espace de Riemann de dimension supérieure

Les conditions nécessaires et suffisantes pour que VnV_n soit enchâssé dans UNU_N se révèlent cruciales dans l'étude des hypersurfaces dans des espaces de Riemann de dimension plus élevée. Si N>n+1N > n+1, alors les équations de (7.89) à (7.90) doivent être complétées par les conditions d'intégrabilité de (7.87), XBS^;Bβγ−XS^;γβ=0X B Ŝ ; B βγ - XŜ ;γβ = 0. En utilisant (7.87) et (7.90), et en éliminant les dérivées secondes de YAY A par (7.71), on obtient un ensemble de conditions qui se manifestent sous la forme suivante:

∑N(εBP^XP^μ[P^S^]β;γ−μ[P^S^]γ;βP^=n+1)\sum_N \left( \varepsilon B P̂ X P̂ \mu [P̂ Ŝ]β;γ - \mu [P̂ Ŝ]γ;β P̂ = n + 1 \right)
∑N∑N(εP^εBR^XR^μ[P^S^]βμ[R^P^]γ−μ[P^S^]γμ[R^P^]βP^=n+1)\sum_N \sum_N \left( \varepsilon P̂ \varepsilon B R̂ X R̂ \mu [P̂ Ŝ]β \mu [R̂ P̂]γ - \mu [P̂ Ŝ]γ \mu [R̂ P̂]β P̂ = n + 1 \right)
+gμνεBP^XP^Ω(S^)μγΩ(P^)νβ−Ω(S^)μβΩ(P^)νγ+RACD(G)YC,βYD,AγXS^=0+ g_{\mu\nu} \varepsilon B P̂ X P̂ \Omega(Ŝ)_{\mu\gamma} \Omega(P̂)_{\nu\beta} - \Omega(Ŝ)_{\mu\beta} \Omega(P̂)_{\nu\gamma} + R ACD(G) Y C,β Y D, A \gamma X Ŝ = 0

Ces conditions sont équivalentes à un ensemble de projections sur {YA,α}\{ Y^A, \alpha \} et {XAB^}\{ X^{A B̂} \}, mais, comme il a été précisé précédemment, la projection sur {YA,α}\{ Y^A, \alpha \} est nulle, ce qui signifie que l'autre projection représente entièrement les conditions données par (7.91). En contractant (7.91) avec GQBQXT^G Q BQ X T̂, nous obtenons une nouvelle forme de l'équation :

∑N(μ[T^S^]β;γ−μ[T^S^]γ;β+εP^μ[P^S^]βμ[T^P^]γ−μ([P^S^]γμ[T^P^]βP^=n+1))\sum_N \left( \mu[T̂ Ŝ]β;γ - \mu[T̂ Ŝ]γ;β + \varepsilon P̂ \mu[P̂ Ŝ]β \mu[T̂ P̂]γ - \mu([P̂ Ŝ]γ \mu[T̂ P̂]β P̂ = n + 1) \right)
+gμνΩ(S^)μγΩ(T^)νβ−Ω(S^)μβΩ(T^)νγ+RQACD(G)XQYCT^,βYD,AγXS^=0+ g_{\mu\nu} \Omega(Ŝ)_{\mu\gamma} \Omega(T̂)_{\nu\beta} - \Omega(Ŝ)_{\mu\beta} \Omega(T̂)_{\nu\gamma} + RQ ACD(G) X Q Y C T̂ ,β Y D, A \gamma X Ŝ = 0

Dans le cadre de la relativité, les équations (7.89), (7.90), et (7.92) apparaissent presque toujours dans le cas particulier où N=n+1N = n + 1, particulièrement lorsque N=4N = 4 et n=3n = 3, c'est-à-dire pour des hypersurfaces dans l'espace-temps. Dans ce cas, elles se simplifient considérablement. En effet, les équations (7.92) sont satisfaites de manière identique, car μ[R^S^]β=0\mu[R̂ Ŝ]β = 0 dans ce cas, et les indices portant un chapeau n'ont qu'une seule valeur N=n+1N = n + 1, tandis que tous les termes dans (7.92) sont antisymétriques dans [T^S^][T̂ Ŝ].

Les équations de Gauss-Codazzi deviennent alors :

Rδαβγ(g)=RQMNP(G)YQ,δYM,αYN,βYP,γ+ε(ΩαγΩδβ−ΩαβΩδγ)R_{δαβγ}(g) = RQMNP(G) Y^Q, \delta Y^M, \alpha Y^N, \beta Y^P, \gamma + \varepsilon (\Omega_{\alpha\gamma} \Omega_{\delta\beta} - \Omega_{\alpha\beta} \Omega_{\delta\gamma})
Ωαβ;γ−Ωαγ;β=−RQMNP(G)XQYM,αYN,βYP,γ\Omega_{\alpha\beta; \gamma} - \Omega_{\alpha\gamma; \beta} = -RQMNP(G) X^Q Y^M, \alpha Y^N, \beta Y^P, \gamma

Ce résultat montre une relation directe entre la courbure de l'espace-temps et la structure géométrique des hypersurfaces. Ces équations sont fondamentales dans le cadre de l'enchâssement des hypersurfaces dans des espaces de dimension supérieure, et elles illustrent l'interdépendance entre la courbure interne d'un espace et ses propriétés géométriques dans un espace de plus grande dimension.

Dans un contexte spécifique de relativité, l'équation (7.95) est parfois utilisée comme la définition de la deuxième forme fondamentale d'une hypersurface. Bien que cela soit correct en principe, cela peut prêter à confusion, car cette définition semble pleinement covariante, ce qui n'est pas le cas. En réalité, elle n'est valable que dans des coordonnées adaptées, où la composante YαY^\alpha sur VnV_n est simplement xαx^\alpha, et les dérivées covariantes sont calculées dans Un+1U_{n+1}, pas dans VnV_n.

Lorsque l'on cherche à encadrer un espace de Riemann donné dans un espace de Riemann plat de dimension supérieure, on se retrouve face à des défis supplémentaires. Les équations de Gauss-Codazzi pour de tels problèmes nécessitent de s'assurer que la courbure du Riemann de l'espace de départ est nulle, et que les conditions d'intégrabilité sont satisfaites. Ce type d'enchâssement, bien que théoriquement possible pour certaines dimensions, reste un problème ouvert dans les cas généraux.

Il est essentiel de noter que, bien que les équations d'enchâssement dans des espaces de Riemann plats aient été démontrées dans certains cas particuliers, la dimension NN de l'espace UNU_N nécessaire pour l'enchâssement d'un espace VnV_n peut parfois être bien inférieure à n(n+1)/2n(n+1)/2. Ce phénomène montre que les hypothèses sur les dimensions peuvent être beaucoup plus complexes qu'il n'y paraît à première vue.

Ainsi, les méthodes d'enchâssement des espaces de Riemann ne sont pas seulement une question de dimension et de structure algébrique. Elles impliquent également une série de conditions géométriques qui régissent les relations entre les courbures internes et externes, et la manière dont ces espaces peuvent être intégrés dans des espaces de plus grande dimension. Pour un Riemann espace donné, la solution de l'enchâssement n'est souvent qu'un indice plausible, et la solution exacte dépend de multiples subtilités géométriques et algébriques.

Comment déterminer les champs de Killing et les symétries dans les espaces de Riemann

Les espaces de Riemann sont dotés d'une structure géométrique qui leur permet de posséder des symétries spécifiques, souvent décrites par des champs de Killing. Un champ de Killing est un champ de vecteurs qui décrit une transformation continue du système tout en préservant la métrique de l’espace, autrement dit, il génère des isométries. Ce concept se trouve au cœur de la théorie des symétries en géométrie différentielle, et il est crucial pour comprendre comment un espace peut se transformer sans altérer sa structure intrinsèque.

Pour commencer, il est nécessaire d'étudier les transformations associées aux générateurs de symétrie, ou champs de Killing. Par exemple, si l'on considère le générateur kα=δα0αk^\alpha = \delta^\alpha_{\alpha_0}, où α0\alpha_0 désigne un indice particulier parmi les coordonnées, cela correspond à une transformation où une seule coordonnée change, tandis que les autres restent invariantes. Ce type de transformation est simple, mais il illustre parfaitement l'idée que chaque générateur correspond à une symétrie particulière du système.

Dans le cas où le générateur est kμ=xiδjμ−xjδiμk^\mu = x_i \delta^\mu_j - x_j \delta^\mu_i, on observe une rotation dans le plan défini par les coordonnées xix_i et xjx_j. Lorsque ces coordonnées sont cartésiennes, cette transformation représente une rotation classique dans un espace euclidien, préservant la métrique et donc l'invariant sous cette transformation. Ce phénomène est un exemple typique de la manière dont les groupes de Lie, associés aux symétries continues, peuvent être utilisés pour décrire les symétries de la métrique.

Les équations de Killing, qui régissent ces champs, permettent d’exprimer les conditions nécessaires et suffisantes pour que ces champs soient des symétries de l’espace. Par exemple, en résolvant les équations de Killing pour un champ donné, on peut obtenir une condition fondamentale sur la structure géométrique de l’espace, ce qui permet de décrire toutes les symétries possibles de cet espace.

Les champs de Killing jouent un rôle fondamental dans la compréhension des isométries. Ils sont utilisés pour identifier les groupes de symétrie de l’espace, ce qui a des applications directes dans de nombreux domaines de la physique théorique, tels que la relativité générale, la théorie des champs et la cosmologie. Par exemple, pour un espace-temps de Minkowski, les générateurs de symétrie incluent les transformations de Lorentz et les rotations dans les plans (x,y)(x, y), (y,z)(y, z) et (x,z)(x, z). Ces transformations sont bien connues dans le cadre de la relativité restreinte, et leur rôle peut être vérifié en substituant les transformations dans la métrique et en vérifiant qu'elles la préservent, c'est-à-dire qu'elles laissent inchangée la forme de ds2ds^2.

Un autre aspect crucial de la théorie des symétries est celui des transformations conformes. Ce sont des transformations qui préservent la forme de la métrique, mais permettent un changement d’échelle. Par exemple, une transformation conforme peut dilater ou contracter un espace sans en altérer la structure angulaire. Ces transformations sont au cœur de nombreuses théories physiques modernes, telles que la théorie quantique des champs dans des espaces courbes.

Il existe également des symétries de type conforme, qui ne sont pas nécessairement des isométries. Prenons l’exemple des transformations de Haantjes, qui sont des transformations de Minkowski qui, tout en préservant la structure conforme, ne conservent pas nécessairement les distances. Les transformations de Haantjes peuvent être décomposées en une série de trois opérations, dont l'inversion dans une sphère pseudo-sphérique, une translation et une nouvelle inversion. Ces transformations sont un cas particulier des symétries conformes et peuvent être généralisées pour des espaces de courbure constante, ce qui montre leur portée étendue au-delà de la simple géométrie de Minkowski.

Enfin, il est essentiel de comprendre que les symétries de Riemann sont intimement liées aux propriétés de courbure de l’espace. Les espaces de courbure constante, comme les espaces de de Sitter ou d'Anti-de Sitter, ont des groupes de symétrie particulièrement intéressants. Ces groupes sont les seuls qui possèdent la dimension maximale 12n(n+1)\frac{1}{2} n (n+1), où nn est la dimension de l’espace. Pour ces espaces, les équations de Killing permettent de trouver toutes les symétries possibles, et leur structure peut être reliée aux propriétés physiques fondamentales de ces espaces, comme les solutions de la relativité générale ou la description des trous noirs.

Il est également utile de comprendre comment ces symétries se manifestent au niveau des champs de vecteurs covariants et contravariants, qui sont utilisés pour décrire les champs de vecteurs invariants dans un espace donné. Par exemple, pour un champ de vecteurs covariant invariant sous un groupe de symétrie généré par kαk^\alpha, la condition d’invariance est donnée par l’équation kρωα,ρ+kρωρ=0k^\rho \omega_{\alpha,\rho} + k^\rho \omega_\rho = 0, une condition qui peut être utilisée pour étudier des systèmes dynamiques ou des modèles cosmologiques.

L’importance des champs de Killing et des symétries dans les espaces de Riemann ne peut être sous-estimée. Ils sont essentiels pour comprendre les invariants géométriques, qui jouent un rôle clé dans les équations de la gravité et dans d’autres branches de la physique théorique. La compréhension de ces symétries permet non seulement de résoudre des équations complexes, mais aussi de révéler les propriétés cachées de l’espace-temps et de la matière.

Comment simplifier la métrique sphériquement symétrique et l'héritage des symétries dans les champs gravitationnels et électromagnétiques

L'équation fondamentale βG,r′ F,t′ + βG,t′ F,r′ + γG,t′ G,r′ = 0 (14.8) montre que la fonction G peut être choisie arbitrairement, ce qui transforme (14.8) en une équation aux dérivées partielles quasi-linéaire pour la fonction F, résoluble par des méthodes classiques. Par un procédé en deux étapes, nous obtenons β = 0, chaque fois avec G arbitraire, permettant ainsi de choisir G pour une simplification supplémentaire. Cependant, beaucoup d’ouvrages font une erreur à ce stade, affirmant que l’on peut choisir G pour que δ̃ = −r′², sans tenir compte du fait que δ est un scalaire sous la transformation. Si δ est constant avant transformation, il le reste, donc aucune condition supplémentaire ne peut être imposée.

L’étude précise des possibilités de simplification révèle plusieurs cas selon la nature du vecteur δ,α défini par la dérivée partielle de δ. Lorsque δ,α est un vecteur espace (cas I), la condition δ̃ = −r′² peut être satisfaite, ce qui implique une contrainte géométrique exprimée par gαβδ,α δ,β < 0. Si δ,α est un vecteur temps (cas II), on peut choisir des coordonnées telles que β̃ = 0 et δ̃ = −t′². Dans ce cas, le rôle du temps et de l’espace dans la métrique s’inverse par rapport au cas précédent. Enfin, si δ,α est un vecteur nul non trivial (cas III), la condition β̃ = 0 ne peut être satisfaite, mais il est possible de rendre γ̃ nul. Le cas IV correspond à δ constant, situation dans laquelle l’espace-temps est un produit cartésien d’une sphère de rayon constant et d’une surface bidimensionnelle, ce qui conduit à des solutions spécifiques des équations d’Einstein, notamment les solutions de Nariai, Bertotti et Robinson, qui ne sont pas des vides simples.

Cette classification révèle l’importance de la signature du vecteur δ,α, qui définit la nature locale du champ gravitationnel et oriente le choix des coordonnées adaptées. Les régions R (espace-like) et T (time-like) identifiées par Novikov traduisent la structure complexe des solutions sphériques, souvent occultée dans les traités classiques.

Pour la métrique sphériquement symétrique, on aboutit finalement à une forme où la coordonnée radiale r correspond directement à la courbure des orbites de symétrie, donnant la métrique sous la forme

ds2=e2ν(t,r)dt2−e2μ(t,r)dr2−r2(dϑ2+sin⁡2ϑdφ2),ds^2 = e^{2\nu(t,r)} dt^2 - e^{2\mu(t,r)} dr^2 - r^2 (d\vartheta^2 + \sin^2 \vartheta d\varphi^2),

appelée coordonnées de courbure, où la transformation résiduelle ne modifie que la coordonnée temporelle par une fonction arbitraire. Cette formulation souligne l’ancrage géométrique de la coordonnée radiale, distincte du temps.

L’héritage des symétries du tenseur métrique au tenseur énergie-impulsion soulève une problématique importante. Dans le cas d’un fluide parfait, les quantités physiques telles que la densité, la pression et le vecteur vitesse sont déterminées par la métrique elle-même, garantissant l’invariance de ces grandeurs sous les isométries du métrique. En revanche, pour un champ électromagnétique, bien que le tenseur énergie-impulsion hérite de toutes les symétries du métrique, le tenseur du champ Fμν ne les conserve pas nécessairement. Des exemples où Fμν n’est pas invariant sous les isométries du métrique existent, illustrant que la symétrie globale du champ gravitationnel ne se traduit pas automatiquement en symétrie du champ électromagnétique. Toutefois, si Tαβ est invariant sous le groupe de symétrie O(3), alors Fμν l’est également, résultat démontré rigoureusement et fondamental pour l’étude des champs sphériquement symétriques.

Pour un champ électromagnétique sphériquement symétrique en vide, les contraintes de symétrie imposent que seules les composantes F01 et F23 du tenseur du champ puissent être non nulles, les autres s’annulant du fait de l’antisymétrie et des conditions imposées par les générateurs de symétrie.

Il est essentiel de comprendre que la géométrie sous-jacente, l’héritage ou la non-héritage des symétries, ainsi que la nature des vecteurs δ,α influencent profondément la structure des solutions des équations d’Einstein. La subtilité des transformations admissibles et la classification des cas suivant la signature de δ,α apportent une clarté indispensable pour appréhender les espaces-temps sphériquement symétriques, notamment dans le contexte des champs électromagnétiques en interaction avec la gravité.

Il importe également de noter que les cas moins étudiés (III et IV) révèlent des situations où la simple intuition sur la symétrie et la structure métrique ne suffit pas, nécessitant des analyses spécifiques et ouvrant la voie à des solutions non triviales avec des sources différentes du vide pur, élargissant ainsi le spectre des modèles astrophysiques et cosmologiques.

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