Comment la théorie quantique a transformé notre compréhension des vibrations du réseau cristallin

La théorie quantique, telle que développée au début du 20e siècle, a bouleversé la compréhension des phénomènes physiques, en particulier dans le domaine des vibrations du réseau cristallin. La citation de Max Planck, rédigée le 12 juin 1913, à l'intention d'Albert Einstein, illustre bien l'importance de cette époque pour la physique moderne : "Parmi les grands problèmes qui font la richesse de la physique moderne, il n'en est guère aucun auquel Einstein n'ait exprimé une opinion d'importance." Cette déclaration souligne non seulement la génie d'Einstein, mais aussi la nature audacieuse de ses idées, comme celle des quanta de lumière, qui, bien qu'initialement critiquée, a ouvert de nouvelles voies pour la physique théorique.

Einstein, dès 1906, a été le premier à proposer l'idée de quantification de l'énergie des vibrations dans le réseau cristallin. Il a postulé que les éléments à chaque site du réseau cristallin oscillent à une fréquence unique, qu'il a appelée la fréquence d'Einstein (νE = ωE/2π), et que l'énergie vibratoire est quantifiée en unités données par la relation E = hνE, où h est la constante de Planck. Ces quanta d'énergie vibratoire, appelés phonons, sont au cœur de cette approche révolutionnaire. Selon le modèle d'Einstein, l'énergie totale U du cristal due aux vibrations du réseau est exprimée par l'équation :

Ici, N représente le nombre d'atomes dans le cristal, et 3N correspond aux degrés de liberté vibratoires. La probabilité qu'un état vibratoire avec la fréquence angulaire ω et l'énergie quantifiée $\hbar \omega$ soit occupé est donnée par la distribution de Bose-Einstein, initialement formulée par Planck dans sa loi du rayonnement électromagnétique.

Le travail de Debye, en combinaison avec l'idée de quantification de l'énergie des vibrations par Planck et Einstein, a permis d'éliminer la loi classique de Dulong et Petit, qui prédisait une capacité thermique constante à haute température. Cette avancée a conduit à une adoption plus large de la théorie quantique. Par exemple, après la validation expérimentale des prédictions de Debye, Walther Nernst a été convaincu que la théorie quantique ne se limitait pas à une simple interpolation, mais qu'elle représentait une nouvelle physique fondamentale.

Nernst, tout au long des années 1910-1916, a mené des recherches sur la capacité thermique des solides à basse température, confirmant la validité de la théorie quantique. Il a également organisé la première grande conférence sur ce sujet, la célèbre Conférence Solvay de 1911, à Bruxelles, financée par l'industriel belge Ernest Solvay. C'est lors de cette conférence que les bases de la mécanique quantique moderne ont été posées, avec des discussions sur la nature quantifiée de la radiation et des quanta.

En 1924, le physicien indien Satyendra Nath Bose a dérivé la loi du rayonnement de Planck d'une manière nouvelle, en introduisant une approche statistique qui a trouvé une large application dans le cadre de la mécanique quantique. Einstein, en soutenant la publication des travaux de Bose, a ainsi contribué à la naissance des statistiques de Bose-Einstein, qui décrivent des particules élémentaires identiques et de moment angulaire nul ou entier, comme les phonons. Ces particules, appelées bosons, peuvent occuper un nombre arbitrairement grand d'états quantiques.

Le spectre d'énergie des phonons, en analogie avec celui des photons, est également décrit par la loi du rayonnement de Planck. Cependant, contrairement aux photons, le spectre des phonons est limité par une fréquence maximale, la fréquence de Debye (ωD), qui découle de la structure discrète du réseau cristallin. Ce fait distingue les phonons des quanta électromagnétiques, qui, eux, n'ont pas de telles restrictions de fréquence. Cette distinction permet de mieux comprendre la dynamique des vibrations dans les cristaux, et en particulier la relation entre la structure du cristal et la distribution des phonons à différentes températures.

Il est essentiel de comprendre que cette avancée en physique n’a pas seulement été une réussite théorique. Elle a ouvert de nouvelles perspectives expérimentales et a renforcé la confiance des chercheurs dans la validité de la théorie quantique. Le travail expérimental sur les cristaux et la capacité thermique à basse température a fourni des preuves solides qui ont permis de consolider les bases de la physique quantique.

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Comment la conduction thermique et les phonons influencent la physique des cristaux à basse température

Dans les cristaux, les phonons jouent un rôle crucial dans le transport de l'énergie thermique. Dans le cas des isolants électriques, ils sont la seule méthode responsable de la conductivité thermique. La contribution des phonons à la conductivité thermique d’un cristal est liée de manière intime à la capacité thermique spécifique du cristal, une relation qu'on peut exprimer de manière simple par la formule de la théorie cinétique :

Cependant, un comportement atypique se produit à très basses températures : le nombre de phonons est réduit, ce qui rend les collisions de moins en moins significatives. C’est alors le nombre de phonons qui devient la principale variable influençant la conductivité thermique. Dans ce cas, la longueur libre moyenne des phonons se trouve limitée par les collisions avec les surfaces du cristal, et devient indépendante de la température. On observe alors que la capacité thermique $C$ suit une dépendance en $T^3$, et en conséquence, la conductivité thermique dépend de manière cubique de la température, selon la relation :

À des températures plus élevées, un phénomène supplémentaire doit être pris en compte : le processus dit « umklapp » ou processus de retournement. Ce processus, proposé par Rudolf E. Peierls en 1929, est caractérisé par une transfert de moment entre les phonons, ce qui diminue l'efficacité du transport thermique. Le processus umklapp est décrit par l'équation :

où $G$ est un vecteur de la maille réciproque. Ces processus ont une contribution significative uniquement si $K_1 + K_2 \geq 12 G$, et à des températures élevées, la probabilité d’occurrence des processus umklapp augmente proportionnellement à la température, rendant ainsi la longueur libre moyenne des phonons inversement proportionnelle à la température :

Ce comportement mène à une dépendance de la conductivité thermique en température de type :

Un autre aspect fondamental dans l’étude de la conductivité thermique des cristaux concerne les phonons balistiques. À des températures suffisamment basses, les collisions entre phonons deviennent rares, permettant à ces derniers de se propager librement sur de longues distances, de l'ordre du millimètre à plusieurs centimètres, à la vitesse du son. Ce phénomène, appelé propagation balistique des phonons, peut être observé expérimentalement en appliquant une impulsion thermique localement à la surface d'un cristal refroidi, puis en détectant le signal des phonons à l'autre extrémité du cristal après un temps de vol.

Ce phénomène est également affecté par l'anisotropie des propriétés élastiques du cristal, et l'énergie des phonons se propage de manière directionnelle au sein du cristal. Ce phénomène est appelé « mise au point des phonons » (phonon focusing) et peut être démontré en balayant latéralement la surface du cristal tout en maintenant le détecteur fixe à l'autre extrémité. Le résultat est une distribution d'intensité des phonons balistiques qui dépend fortement de la direction de propagation à l’intérieur du cristal, ce qui permet une cartographie de cette propagation, comme l’illustre la technique d'imagerie des phonons.

À température extrêmement basse, seule la « vibration du point zéro » des constituants du cristal persiste. Ce mouvement suit la relation d'incertitude de Heisenberg, qui stipule qu’un objet fixé dans l'espace doit toujours afficher une incertitude de son moment. Cette énergie résiduelle est appelée énergie de point zéro et est décrite par l'expression :

où $\nu$ est la fréquence de l'oscillateur et $h$ la constante de Planck.

Enfin, ces concepts sont essentiels pour comprendre les propriétés thermiques des cristaux à faible température et les défis techniques liés à la gestion de la chaleur dans des matériaux à haute conductivité thermique, comme les couches minces de diamant. Le diamant, avec sa conductivité thermique exceptionnellement élevée, est au centre de recherches visant à exploiter cette propriété pour des applications technologiques, notamment pour le refroidissement de dispositifs électroniques.

Comment le champ magnétique influence les propriétés électroniques dans les matériaux à faible dimensionnalité ?

L'effet de de Haas–van Alphen n’est pas isolé à la structure de la surface de Fermi. Il existe des oscillations similaires dans d'autres propriétés physiques des matériaux influencées par les porteurs de charge mobiles. L'effet de Shubnikov–de Haas dans la conductivité électrique en est un exemple pertinent. Même dans les catalyseurs métalliques, des oscillations analogues peuvent être observées lors de la variation du champ magnétique, ce qui indique une origine commune dans la dynamique des électrons sous influence du champ.

En étudiant la densité d'états qui peuvent être occupées par les électrons en fonction de leur énergie, on observe des changements significatifs en présence d'un champ magnétique. Sans champ magnétique, dans un cas tridimensionnel, la densité des niveaux d'énergie augmente proportionnellement à la racine carrée de l'énergie des électrons. Toutefois, l'introduction d'un champ magnétique modifie cette distribution, car les niveaux d'énergie sont réorganisés en cylindres de Landau dans l'espace des vecteurs d'onde. Cela entraîne une superposition de pics aigus, séparés par une distance énergétique correspondant à l'énergie cyclotronique. En revanche, dans un cas bidimensionnel, l'absence de champ magnétique conduit à une densité d'états indépendante de l'énergie, une particularité qui donne lieu à des phénomènes physiques innovants tels que l'effet Hall quantique.

L’un des résultats les plus surprenants du Hall quantique est l’apparition d’une résistance de Hall quantifiée, qui dépend uniquement des constantes fondamentales h et e. Cela a été observé pour la première fois par Klaus von Klitzing en 1980, lors de ses expériences à l’Institut de Haute Magnétorésistance de Grenoble. Là, il a utilisé un transistor à effet de champ à base de silicium, un dispositif dans lequel les porteurs de charge sont confinés à une région bidimensionnelle près de la surface du semi-conducteur. Ce résultat a non seulement apporté une confirmation spectaculaire de la théorie quantique de l'effet Hall, mais a également ouvert la voie à de nombreuses recherches sur les matériaux bidimensionnels et leur comportement sous influence de champs magnétiques forts.

Ce phénomène de quantification de la résistance de Hall est un aspect clé des matériaux à faible dimensionnalité, où les électrons ne peuvent se déplacer que dans une ou deux dimensions. Ces matériaux offrent des perspectives inédites pour l'étude des propriétés quantiques de la matière, en particulier dans le cadre des expériences à haute magnétorésistance et des applications de plus en plus sophistiquées en électronique et en spintronique.

Comment le champ magnétique est-il expulsé d'un supraconducteur ?

Dans le cadre de l'équilibre thermodynamique, à température $T$ et champ magnétique $H = H_C(T)$, on a $G_n(T, H_C) = G_s(T, H_C)$, ce qui implique que la différence entre l'énergie de densité dans les états normal et supraconducteur à $H = H_C$ est donnée par :

Cette relation souligne l'importance fondamentale de l'effet Meissner dans le comportement des supraconducteurs. L'effet Meissner est un phénomène où les courants électriques générés à la surface d'un supraconducteur agissent pour expulser tout champ magnétique interne. Ces courants dits "de blindage" génèrent un champ magnétique opposé au champ extérieur, annulant ainsi ce dernier à l'intérieur du matériau. Ce processus repose sur le fait que les courants de blindage doivent se propager le long de la surface sans aucune résistance, ce qui garantit que l'état supraconducteur perdure dans la durée, tant qu'il est exposé à un champ magnétique. En l'absence de résistivité, ces courants persistent indéfiniment sans dissipation d'énergie, à la différence des matériaux conducteurs non supraconducteurs comme le cuivre. En effet, dans un conducteur classique soumis à un champ magnétique, les courants de blindage s'annihilent progressivement à cause des pertes électriques, ce qui laisse pénétrer le champ magnétique au fil du temps. La rapidité de cette désintégration des courants dépend directement de la conductivité électrique du matériau, devenant plus lente à mesure que la conductivité augmente.

Il devient évident que l'effet Meissner découle directement de l'existence de courants supraconducteurs de blindage. Toutefois, il ne faut pas conclure que la simple absence de résistance électrique dans un matériau implique l'existence de l'effet Meissner. Au contraire, l'effet Meissner est plus fondamental pour la supraconductivité que la disparition de la résistance électrique. Ce phénomène a été identifié par Max von Laue comme un tournant dans l'histoire de la supraconductivité, mettant en lumière un aspect plus essentiel que la simple absence de résistance.

En 1935, les frères Fritz et Heinz London ont proposé une théorie phénoménologique pour expliquer cette profondeur de pénétration magnétique finie. Leur approche repose sur une équation des forces agissant sur un électron sans inclure de termes dissipatifs, donnée par :

En introduisant la densité de courant supraconducteur $j_s = -e n_s v_s$, on obtient :

Cela mène à la formulation de l'équation de Londres :

Le phénomène de l'effet Meissner peut ainsi être observé expérimentalement grâce à des courants circulaires créés dans des supraconducteurs en forme d'anneau. L'expérience consiste à induire un courant circulaire et à observer combien de temps ce courant peut maintenir un champ magnétique sans perte. En 1961, les chercheurs américains D. J. Quinn et W. B. Ittner ont mis en place une expérience utilisant un tube supraconducteur de plomb pour mesurer la décroissance du flux magnétique sur plusieurs heures. Les résultats obtenus ont permis de confirmer que la résistance électrique d'un supraconducteur tend effectivement vers zéro avec une grande précision, ce qui reste une caractéristique clé des matériaux supraconducteurs.