Comment reconnaître un polynôme nul à partir de ses valeurs ?

Soit $K$ un corps infini. Lorsqu’on travaille avec des polynômes à une ou plusieurs indéterminées sur $K$ , une question essentielle se pose : comment peut-on savoir qu’un polynôme est nul ? L’identification d’un polynôme à partir de ses valeurs est l’un des résultats les plus puissants de l’algèbre élémentaire, car elle permet de relier le monde formel des expressions symboliques à leur comportement fonctionnel.

Dans le cas d’un polynôme en une seule variable, une propriété fondamentale est la suivante : si deux polynômes $p$ et $q$ de degré au plus $n$ coïncident sur $n+1$ éléments distincts de $K$ , alors ils sont identiques. Cela résulte du fait que la différence $p - q$ est un polynôme de degré au plus $n$ qui s’annule en $n+1$ points distincts, ce qui implique nécessairement que $p - q = 0$ . Ce théorème d’unicité repose donc sur le caractère fondamental du nombre de racines qu’un polynôme non nul peut posséder : jamais plus que son degré.

Cette propriété a une conséquence immédiate : si $K$ est infini, alors un polynôme qui s’annule partout sur $K$ est nécessairement nul. C’est ce qui justifie que l’application qui envoie un polynôme $p \in K[X]$ sur la fonction $x \mapsto p(x)$ est injective. Pour un corps fini, cette injectivité n’est plus valable : un polynôme non nul peut s’annuler sur l’ensemble du corps.

Ces résultats s’étendent avec subtilité au cas des polynômes en plusieurs variables. Le cadre formel devient alors plus riche, car on manipule des fonctions de la forme $p : K^m \rightarrow K$ , où $p$ appartient à l’anneau $K[X_1, \dots, X_m]$ . L’écriture d’un polynôme dans ce contexte repose sur les multi-indices $\alpha \in \mathbb{N}^m$ et les monômes $X^\alpha := X_1^{\alpha_1} \cdots X_m^{\alpha_m}$ , avec des coefficients $p_\alpha \in K$ presque tous nuls. L’ensemble des polynômes à plusieurs indéterminées devient alors un sous-anneau de la série formelle $K[[X_1, \dots, X_m]]$ , qui contient également des expressions infinies.

La définition de l’évaluation d’un polynôme

Comment les nombres réels sont-ils représentés en base g, et quelle est la nature de ces développements ?

La représentation des nombres réels à travers des séries infinies à termes alternés, comme l’illustre le critère de Leibniz, montre que certaines séries convergent vers des valeurs bien définies, telles que la série harmonique alternée qui converge vers $\log 2$ ou la série de Leibniz qui donne $\pi/4$ . Cette convergence conditionnée sert de fondement à la représentation décimale et, plus généralement, à la représentation en base $g$ des nombres réels.

Le passage de la théorie des séries à la représentation numérique repose sur la décomposition d’un réel $x$ en une somme infinie pondérée par des puissances négatives de la base choisie. La base $g$ , un entier naturel supérieur ou égal à 2, définit l’ensemble des chiffres possibles $\{0,1,\ldots,g-1\}$ . Pour tout nombre réel $x \in [0,1)$ , il existe une suite de chiffres $(x_k)$ , où chaque $x_k$ est un chiffre en base $g$ , telle que :

x = \sum_{k=1}^\infty x_k g^{ -k}.

Cette série converge absolument et uniformément vers $x$ , ce qui assure une correspondance rigoureuse entre le réel et sa représentation en base $g$ .

La construction algorithmique des chiffres $x_k$ se fait par itérations successives du plancher d’expressions arithmétiques liées à $x$ et aux puissances de $g$ . La définition $x_k := \lfloor g r_{k-1} \rfloor$ avec $r_0 = x$ et $r_k = g r_{k-1} - x_k$ garantit que chaque chiffre est bien compris entre 0 et $g-1$ , établissant ainsi un système cohérent.

L’unicité de cette expansion est assurée à condition d’exclure les représentations où presque tous les chiffres sont égaux à $g-1$ , évitant ainsi les ambiguïtés classiques, comme celles que l’on rencontre avec les nombres ayant des développements décimaux terminés par une infinité de 9, par exemple $0,999\ldots = 1$ .

Par ailleurs, une caractéristique fondamentale est la nature rationnelle des nombres à développement périodique en base $g$ . En effet, une expansion périodique correspond à une fraction rationnelle et réciproquement, tout nombre rationnel possède une expansion périodique en base $g$ . Cette périodicité se traduit par l’existence d’un motif répétitif de chiffres à partir d’un certain rang, ce qui peut être démontré via la construction des restes $r_k$ qui prennent un nombre fini de valeurs, induisant une boucle dans la séquence.

La représentation d’un nombre réel général s’exprime par la combinaison de sa partie entière, représentée par des puissances positives de $g$ , et de sa partie fractionnaire décrite par la série de puissances négatives. Ainsi, pour $x \geq 0$ , on peut écrire :

x = \sum_{j=0}^m y_j g^j + \sum_{k=1}^\infty x_k g^{ -k},

où les $y_j$ sont les chiffres de la partie entière.

Ce cadre théorique permet aussi d’aborder la diversité des bases numériques : base décimale, binaire, ternaire, ou toute autre base $g \geq 2$ . Le choix de la base peut être guidé par des raisons pratiques, historiques ou culturelles, mais n’a pas de justification intrinsèquement mathématique. Il souligne également l’importance d’une définition claire des chiffres et de la convergence des séries qui forment la représentation.

L’étude approfondie de ces représentations révèle des propriétés essentielles sur l’ensemble des nombres réels. Par exemple, la preuve de l’unicité et de l’existence de telles expansions soutient l’argument de la non-dénombrabilité de $\mathbb{R}$ , car elle implique une infinité non dénombrable de séquences de chiffres possibles.

Au-delà de la construction formelle, il importe de comprendre que la représentation infinie d’un réel ne peut être considérée simplement comme une écriture finie prolongée indéfiniment, mais comme une limite précise d’une suite de sommes partielles, chacune approchant de plus en plus la valeur réelle. Cette distinction est cruciale pour saisir la nature des nombres irrationnels et transcendants, dont le développement ne sera jamais périodique, contrairement aux rationnels.

Enfin, cette théorie des développements numériques invite à réfléchir sur la manière dont l’algorithme sous-jacent permet de générer systématiquement chaque chiffre, ce qui assure la représentabilité effective des nombres dans la base choisie. L’algorithme garantit que les opérations arithmétiques menées pour extraire chaque chiffre sont bien définies et convergent, offrant une méthode constructive et non seulement existentielle pour la représentation des réels.

Quand le produit cartésien de deux ensembles est-il vide ?

Soit X et Y deux ensembles. Il est démontré que le produit cartésien $X \times Y$ est vide si et seulement si au moins l'un des ensembles X ou Y est vide, ce qui s’écrit formellement :

X \times Y = \emptyset \iff (X = \emptyset) \lor (Y = \emptyset).

La preuve de cette équivalence s’appuie sur un raisonnement par l’absurde et sur la négation des propriétés associées. Supposons d’abord que le produit soit vide, mais que ni X ni Y ne le soient. Dans ce cas, il existe des éléments $x \in X$ et $y \in Y$ . Par définition du produit cartésien, $(x, y) \in X \times Y$ , ce qui contredit l’hypothèse que $X \times Y = \emptyset$ . Réciproquement, si l’un des ensembles est vide, alors il n’existe aucun couple $(x,y)$ , donc $X \times Y$ est nécessairement vide.

Cette propriété se généralise aux produits de plusieurs ensembles. Pour trois ensembles $X, Y, Z$ , le produit est défini par $X \times Y \times Z := (X \times Y) \times Z$ , et ainsi de suite pour $n$ ensembles, où le produit est itéré en regroupant successivement les facteurs. Cette notation permet de représenter chaque élément du produit comme un $n$ -uplet $(x_1, \ldots, x_n)$ , où chaque $x_j$ appartient à l’ensemble $X_j$ correspondant.

Une notion plus abstraite et essentielle dans cette perspective est celle des familles d’ensembles indexées. Une famille $\{A_\alpha ; \alpha \in A\}$ est un ensemble d’ensembles indexés par un ensemble $A$ . Ces familles permettent de définir des opérations généralisées telles que l’intersection et l’union sur des collections arbitraires, qu’elles soient finies ou infinies. Par exemple, l’intersection d’une famille est

\bigcap_{\alpha \in A} A_\alpha = \{ x \in X ; \forall \alpha \in A, x \in A_\alpha \},

et l’union correspondante est

\bigcup_{\alpha \in A} A_\alpha = \{ x \in X ; \exists \alpha \in A, x \in A_\alpha \}.

Ces notions jouent un rôle fondamental dans la théorie des ensembles et sont encadrées par des propriétés classiques comme les lois de De Morgan, l’associativité et la distributivité appliquées aux intersections et unions de familles d’ensembles. Ces propriétés sont essentielles dans la manipulation des ensembles, et leur compréhension est nécessaire pour appréhender des constructions plus complexes en mathématiques.

Il est important de noter que le concept même de « ensemble » ainsi que celui d’« élément » restent des notions primitives en mathématiques, non définies mais régies par des axiomes. Par conséquent, les démonstrations et définitions reposent sur des règles fixées a priori, lesquelles forment la base de la théorie des ensembles. Cette approche axiomatique est indispensable pour assurer la rigueur et la cohérence dans l’étude des ensembles, bien que son approfondissement dépasse le cadre élémentaire.

Dans ce cadre, les fonctions sont définies comme des relations particulières entre deux ensembles, associant à chaque élément d’un ensemble de départ un unique élément d’un ensemble d’arrivée. Cette définition purement ensembliste évite toute connotation arithmétique ou géométrique et repose sur la notion de graphe d’une fonction, sous-ensemble du produit cartésien vérifiant la propriété d’unicité pour chaque premier composant.

Le graphe d’une fonction $f : X \to Y$ est ainsi défini par

\text{graph}(f) = \{ (x, f(x)) ; x \in X \} \subseteq X \times Y,

et caractérise entièrement la fonction. En particulier, même les fonctions constantes ou identités peuvent être décrites dans ce cadre formel.

Ce traitement abstrait des ensembles et des fonctions est indispensable pour aborder la mathématique moderne, dans laquelle la rigueur est primordiale. L’ensemble des propriétés, définitions et axiomes présentés ici constitue la base à partir de laquelle s’élaborent des théories plus complexes, en algèbre, analyse ou topologie.

Il est crucial pour le lecteur de saisir que les constructions élémentaires telles que le produit cartésien, les familles d’ensembles, et la définition axiomatique des fonctions ne sont pas de simples formalismes, mais les piliers sur lesquels repose toute la structure des mathématiques contemporaines. Une compréhension profonde de ces notions permet de maîtriser non seulement les démonstrations classiques, mais aussi les idées avancées et abstraites qui en découlent. Le travail sur ces fondations prépare également à une meilleure appréhension des théories ultérieures, notamment l’étude des espaces, des morphismes ou des catégories, qui s’appuient toutes sur ces concepts fondamentaux.

Qu’est-ce qu’une fonction analytique et comment les séries entières caractérisent-elles leur comportement local ?

Une fonction $f$ définie sur un domaine $D \subseteq \mathbb{K}$ est dite analytique si et seulement si elle est infiniment différentiable sur $D$ et si, pour tout point $x_0 \in D$ , il existe un voisinage $U \subseteq D$ tel que la fonction puisse être localement représentée par sa série de Taylor centrée en $x_0$ :

f(x) = T(f, x_0)(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k, \quad x \in U.

Cette caractérisation fondamentale souligne que l’analyticité est une propriété locale. En effet, pour qu’une fonction soit analytique sur $D$ , il suffit que chaque point de $D$ admette un voisinage sur lequel cette représentation par série de Taylor soit valide. Ceci se distingue de la simple $C^\infty$ -régularité, car il existe des fonctions infiniment différentiables qui ne sont pas analytiques, comme la fonction

f(x) = \begin{cases}

e^{ -1/x} & x > 0, \\ 0 & x \leq 0, \end{cases}

f (x) = {e^{- 1/ x} 0 x > 0, x \leq 0,

qui, bien qu’appartenant à $C^\infty(\mathbb{R})$ , ne coïncide pas localement avec sa série de Taylor nulle au voisinage de zéro.

Une autre pierre angulaire de l’étude des fonctions analytiques est la relation entre séries entières et fonctions analytiques. Une série entière

a(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k

possède un rayon de convergence $\rho > 0$ sur lequel elle définit une fonction analytique. Mieux encore, pour tout $x_0 \in \rho B$ (boule de rayon $\rho$ ), la fonction peut être développée en série de Taylor autour de $x_0$ , avec une convergence absolue garantie dans un voisinage adapté. Cette propriété assure que la fonction définie par la série entière est exactement égale à la somme de sa série de Taylor dans la boule de convergence, consolidant ainsi le lien intime entre séries entières et analytique.

Les fonctions classiques telles que $\exp$ , $\cos$ , $\sin$ sont exemplaires de fonctions analytiques sur $\mathbb{K}$ . Leurs dérivées successives restent analytiques, une conséquence directe des propriétés des séries entières et du théorème de dérivation terme à terme.

Un autre aspect fondamental de l’analyticité est lié aux primitives (ou antérieures) des fonctions analytiques. Si $f \in C^\omega(D, \mathbb{K})$ possède une primitive $F$ sur un domaine $D$ , alors cette primitive est unique à une constante additive près et est elle-même analytique. Ceci est démontré en exprimant $f$ par sa série de Taylor locale et en intégrant terme à terme, ce qui donne une représentation en série entière pour $F$ .

La fonction logarithme, définie sur $\mathbb{C} \setminus (-\infty, 0]$ , est un exemple d’application importante : elle est analytique sur ce domaine et admet une série entière de développement

\log(1+z) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{z^k}{k}

valide dans la boule unité. Ce développement est lié à sa définition comme primitive de la fonction $z \mapsto \frac{1}{z}$ .

Enfin, la généralisation du binôme à des exposants complexes illustre la puissance des séries entières en analyse complexe. Le développement en série de Newton pour une puissance $(1+z)^\alpha$ , où $\alpha \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{N}$ , a un rayon de convergence égal à 1 et satisfait l’équation différentielle caractéristique des fonctions analytiques. Ce cas général démontre la continuité du passage des exposants entiers aux exposants complexes dans le cadre de l’analyticité, avec des propriétés similaires de convergence et de différentiabilité.

Il est essentiel de comprendre que la convergence locale et la possibilité de représentation par séries de Taylor sont au cœur même de la notion d’analyticité, différenciant cette classe de fonctions des simples fonctions lisses. La structure algébrique des espaces de fonctions analytiques, notamment la fermeture sous la multiplication et la dérivation, ainsi que la propriété d’unicité des primitives, permettent de construire un cadre rigoureux pour l’étude des fonctions complexes et réelles analytiques.

Par ailleurs, la distinction entre $C^\infty$ et $C^\omega$ n’est pas simplement technique : elle a des implications profondes dans la résolution des équations différentielles, la théorie des singularités et l’analyse locale des fonctions. Une fonction $C^\infty$ non analytique peut être extrêmement régulière mais « plate » à un point donné, ce qui signifie que tous ses dérivés y sont nuls, sans que la fonction soit localement nulle. Cette subtilité éclaire pourquoi les séries de Taylor ne suffisent pas toujours à décrire le comportement local des fonctions infiniment différentiables, tandis que l’analyticité garantit cette description exacte.

Comment les polynômes trigonométriques permettent-ils l’approximation uniforme des fonctions continues périodiques ?

L’étude des polynômes trigonométriques s’inscrit dans le cadre plus large de l’approximation uniforme des fonctions continues, notamment celles définies sur le cercle unité. En introduisant la substitution $z = e^{i t}$ pour $t \in \mathbb{R}$ , on relie naturellement les fonctions définies sur le cercle complexe au paramètre réel $t$ , ce qui ouvre la voie à une analyse approfondie via la formule d’Euler. Cette dernière établit que toute combinaison linéaire des termes $c_k z^k + c_{ -k} z^{ -k}$ peut s’écrire en termes de fonctions trigonométriques réelles, soit des cosinus et des sinus, avec des coefficients réels ou complexes dépendant des $c_k$ .

Ainsi, une fonction de la forme

T_n(t) = a_0 + \sum_{k=1}^n \left( a_k \cos(k t) + b_k \sin(k t) \right)

est appelée polynôme trigonométrique de degré $n$ . Ces polynômes représentent des éléments fondamentaux dans l’espace des fonctions périodiques, car ils forment une sous-algèbre dense de l’algèbre des fonctions continues $2\pi$ -périodiques à valeurs dans $\mathbb{K}$ (où $\mathbb{K}$ est souvent $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ).

Le passage entre les polynômes définis sur le cercle unité $S$ et les polynômes trigonométriques sur $\mathbb{R}$ s’effectue grâce à un isomorphisme d’algèbres via l’application $\text{cis}^*$ , qui associe à un polynôme $p$ la fonction $p \circ \text{cis}$ définie sur $\mathbb{R}$ . Cet isomorphisme garantit une parfaite correspondance entre ces deux univers fonctionnels, permettant ainsi d’étudier les propriétés des fonctions périodiques à partir des propriétés algébriques des polynômes sur le cercle.

Cependant, il est crucial de souligner que l’ensemble des polynômes trigonométriques n’est pas dense dans l’ensemble des fonctions bornées continues sur $\mathbb{R}$ , ce qui exclut, par exemple, des fonctions discontinues ou présentant des singularités trop prononcées. En revanche, la clôture de cet ensemble dans l’espace des fonctions continues $2\pi$ -périodiques forme un espace de Banach, et cet espace correspond précisément à celui des fonctions continues périodiques, permettant une approximation uniforme des fonctions de cette classe par des polynômes trigonométriques.

La notion de périodicité est elle-même intimement liée à la structure du groupe additif $\mathbb{R}$ . Pour une fonction continue périodique non constante, l’ensemble des périodes forme un sous-groupe fermé non trivial de $\mathbb{R}$ , nécessairement cyclique infini, engendré par une plus petite période positive $p_0$ . Cette propriété garantit que toute fonction périodique est entièrement déterminée par sa restriction à un intervalle de longueur $p_0$ . D’ailleurs, la réduction à la période $2\pi$ est justifiée par la possibilité de rééchelonnement des variables, simplifiant ainsi l’étude sans perte de généralité.

La bijection entre les fonctions continues sur le cercle unité $S$ et les fonctions continues $2\pi$ -périodiques sur $\mathbb{R}$ , via $\text{cis}^*$ , est plus qu’une correspondance formelle : elle respecte la topologie induite par la norme uniforme. Cela permet d’identifier ces deux espaces comme isométriques, ce qui est fondamental pour la théorie de l’approximation. La continuité inverse de cette application est garantie par la régularité des fonctions étudiées et la nature topologique du cercle.

L’ensemble des fonctions $2\pi$ -périodiques à valeurs dans un espace de Banach $E$ forme un sous-espace fermé de l’espace des fonctions bornées continues, conservant ainsi la structure complète et normée d’un espace de Banach. Cette richesse structurelle permet de développer des outils analytiques puissants, notamment dans la résolution des équations fonctionnelles périodiques, l’analyse harmonique et la théorie des séries de Fourier.

Au-delà de cette construction formelle, il est essentiel de comprendre que la méthode d’approximation par polynômes trigonométriques est intimement liée à la décomposition harmonique des fonctions périodiques. Chaque terme $\cos(k t)$ ou $\sin(k t)$ représente une oscillation élémentaire, et la somme finit de telles oscillations permet de reconstituer, avec une précision arbitrairement grande, la fonction cible sur tout intervalle de période. Cette approche est à la base de nombreuses applications en physique, ingénierie et mathématiques appliquées, notamment dans l’étude des signaux, des vibrations et des phénomènes ondulatoires.

Il faut aussi noter que la limitation à la périodicité $2\pi$ ne restreint en rien la généralité des résultats puisque tout autre période positive peut être ramenée à ce cas par un changement d’échelle. La structure cyclique des périodes confère une robustesse et une flexibilité qui facilitent la modélisation et l’analyse des phénomènes périodiques complexes.

L’ensemble de ces résultats souligne l’importance de la topologie, de l’algèbre et de l’analyse fonctionnelle dans la compréhension des fonctions périodiques et de leur approximation. Il est fondamental que le lecteur saisisse non seulement les définitions et les constructions, mais aussi la portée conceptuelle de l’isomorphisme entre fonctions sur le cercle et fonctions périodiques sur la droite réelle, ainsi que la nature précise de la densité des polynômes trigonométriques dans les espaces fonctionnels correspondants.

Cette compréhension permet d’appréhender plus profondément la puissance des outils mathématiques utilisés, ainsi que leurs limites, en particulier dans le traitement des fonctions non continues ou non périodiques, où d’autres techniques doivent être envisagées.

Comment l’héritage scientifique et technologique de l’Antiquité a façonné le monde médiéval ?
Comment les discours évangéliques blancs redéfinissent le racisme dans le contexte de Donald Trump
Le Gonzo et la politique : Comment Donald Trump a redéfini les rituels politiques et médiatiques