La métrique et la courbure dans les espaces de Riemann : étude de surfaces et géodésiques

Dans un espace euclidien, la métrique permet de décrire la distance locale entre les points de la surface d'une variété. Cela nous amène à la notion de tensore métrique, essentiel dans l'étude de la géométrie riemannienne. Pour une surface donnée, comme une sphère, il est possible d'en déduire la forme de la métrique en utilisant des coordonnées paramétriques adaptées. Par exemple, pour une sphère de rayon $a$ centrée à l'origine, les coordonnées sphériques permettent d'écrire la métrique sous la forme :

Ainsi, le tenseur métrique associé à la sphère, dans ces coordonnées, est donné par :

Cela nous permet de comprendre comment la géométrie locale de la sphère est représentée par ce tenseur, qui encode la manière dont les distances sont mesurées sur la surface de la sphère.

Toutefois, il est essentiel de noter que la métrique n’influence que la géométrie locale, et non la topologie globale de la surface. Par exemple, si l'on prend un cylindre de rayon $a$ avec les équations paramétriques $x = a \cos \varphi, y = a \sin \varphi, z = z$, on peut constater que bien que la courbure de cet objet soit nulle dans les coordonnées spécifiées (car les symboles de Christoffel sont tous nuls et le tenseur de Riemann s'annule), la topologie du cylindre n'est pas euclidienne. En effet, si l'on se déplace le long d'une géodésique (un cercle perpendiculaire aux génératrices du cylindre), on revient au point de départ sans pouvoir contracter cette courbe à un point, ce qui est impossible dans un plan euclidien. Ce phénomène révèle que la géométrie locale n’est pas suffisante pour décrire toute la topologie de l’espace.

Un autre exemple pertinent est celui du tore. Un tore, en tant que surface immergée dans l’espace euclidien tridimensionnel, présente une courbure non nulle. Toutefois, dans un espace euclidien de dimension 4, un tore peut être plat. Ce phénomène se comprend en considérant des coordonnées polaires dans le plan $\mathbb{R}^2$, qui permettent de décrire une surface plane mais ayant la topologie du tore.

Il est important de distinguer la courbure riemannienne, qui quantifie la manière dont la surface se courbe localement dans l’espace ambient, et la courbure normale, qui peut varier selon les sections normales d’une surface à un point donné. Par exemple, dans le cas d'un cylindre, bien qu’il n’y ait pas de courbure dans certaines directions, il existe des directions où la courbure est positive. Cela montre que la courbure d’une surface peut être nulle localement tout en possédant une structure topologique non triviale.

La courbure de Gauss d’une surface, qui est définie comme le produit des plus grandes et des plus petites courbures dans les directions normales, est un indicateur fondamental de la géométrie de la surface. Pour une sphère, toutes les courbures normales sont égales, et la courbure de Gauss est simplement le carré de la courbure de la section normale. En revanche, pour un cylindre, l’une des courbures est nulle, ce qui fait que la courbure de Gauss est également nulle, bien que le cylindre ne soit pas une surface euclidienne.

Un autre aspect crucial de la géométrie riemannienne est la notion de géodésique. Une géodésique est une courbe qui minimise ou maximise la distance entre deux points sur une surface donnée. Sur une variété riemannienne, les géodésiques sont les solutions des équations d'Euler-Lagrange appliquées à la distance. Celles-ci dépendent du tenseur métrique de l’espace considéré. En termes plus simples, une géodésique est une courbe qui représente le chemin "le plus court" entre deux points, et dans un espace de Riemann, elle est une ligne d'extrémum de la distance.

Le fait qu’une géodésique soit une courbe d’extrémum dans un espace riemannien est une propriété importante, car cela permet de relier la structure géométrique locale à des trajectoires spécifiques sur la surface. Par exemple, dans le cas de la sphère, les géodésiques sont les grands cercles, qui sont des chemins naturels qui minimisent la distance entre deux points.

La notion de géodésique ne se limite pas à un espace euclidien, et les espaces de Riemann peuvent également avoir des géodésiques complexes qui ne correspondent pas à des lignes droites simples. Il est important de comprendre que la notion de "distance" dans un espace riemannien est influencée par le tenseur métrique, et donc par la courbure de l’espace.

En outre, la courbure peut avoir des implications profondes sur la structure globale d'un espace. Par exemple, même si une variété semble localement plate, sa courbure peut révéler des propriétés topologiques intéressantes. Les géodésiques, en tant qu'extrema de la distance, peuvent alors servir à étudier la structure intrinsèque de l'espace, et leur étude aide à comprendre comment les objets se comportent sous des transformations géométriques et topologiques.

Comment se manifeste l’influence d’un corps en rotation sur la métrique dans la relativité générale ?

Dans le cadre de l’approximation des champs faibles de la relativité générale, le comportement du champ gravitationnel engendré par un corps est analysé par une expansion systématique en puissances de $1/r$ et $v/c$, où $r$ est la distance à la source et $v$ la vitesse caractéristique des masses en mouvement. À cet ordre d’approximation, la métrique $g_{\alpha\beta}$ qui décrit la géométrie de l’espace-temps peut être exprimée en termes de quantités multipolaires telles que la masse $M$, le moment cinétique $P^I$, et les moments quadrupolaires $d_{IJ}$, avec leurs dérivées temporelles.

La relation entre la déformation du corps et les composantes du tenseur métrique est donnée par un développement rigoureux, dans lequel les quantités $d_{IJ}$, $b_{IJ}$ et leurs dérivées $\dot{d}_{IJ}, \ddot{d}_{IJ}$ apparaissent comme des corrections essentielles. Néanmoins, ces dérivées temporelles peuvent être éliminées de la métrique effective $g_{\alpha\beta}$ par un changement judicieux de coordonnées, à travers une transformation de jauge engendrée par un vecteur $b_\alpha$, soigneusement choisi. Ce procédé met en évidence une subtilité fondamentale de la relativité générale : certaines entités apparaissant dans les expressions intermédiaires n’ont pas de signification physique intrinsèque, car elles peuvent être absorbées dans le choix des coordonnées. Cette dépendance explicite à la jauge souligne la nécessité de prudence dans l’interprétation des résultats issus d’approximations.

Après application de cette transformation, la métrique finale obtenue jusqu’à l’ordre considéré devient :

où $m = \kappa M / 8\pi$, $P^I = \kappa \epsilon^{IJK} B_{JK} / 8\pi$, et $D_{IJ} = d_{IJ}$. On observe que les quantités physiques déterminantes sont la masse $M$, les moments quadrupolaires $D_{IJ}$, et le moment angulaire $P^I$, chacune traduisant un aspect spécifique de la structure et du mouvement de la source.

Le terme $g_{0I}$, qui dépend explicitement du moment cinétique $P^I$, marque une distinction profonde entre la relativité générale et la gravitation newtonienne. Ce terme est responsable du phénomène de "traînée des référentiels inertiels", ou effet Lense–Thirring. Dans ce cadre, un corps en rotation n'influence pas seulement la structure locale du champ gravitationnel par sa forme ou sa masse, mais aussi en induisant une rotation du référentiel inertiel lui-même autour de lui.

On peut éclairer ce phénomène par une analogie coordonnée : considérons une métrique de Minkowski exprimée dans un système en rotation. Sous une transformation du type $x^I = x'^I + \epsilon_{IKL} \omega^K x'^L t$, la métrique prend une forme où les composantes $g_{0I}$ ne sont plus nulles, bien que le fond reste plat. Toutefois, dans le cas relativiste traité ici, la décroissance en $1/r^3$ du terme $g_{0I}$ associé à la rotation est une caractéristique intrinsèque de l’espace-temps courbe généré par une masse en rotation, et non une simple artefact de coordonnées.

Cette traînée des référentiels a des conséquences observables. En 1960, Schiff prédit que cette rotation inertielle devrait engendrer une précession mesurable de l’axe d’un gyroscope placé en orbite autour de la Terre. Cette prédiction fut expérimentée par la mission Gravity Probe B, dirigée par Francis Everitt à l’université de Stanford. Commencée en 1963, l’expérience s’étendit sur plus de quatre décennies, exigeant un raffinement technologique extrême. Les résultats finaux, annoncés en 2007 et publiés par la suite, confirmèrent les prévisions de la relativité générale.

Contrairement à la relativité générale, la théorie newtonienne ne permet pas une influence directe de la rotation de la source sur le champ extérieur. L’unique effet indirect provient de la déformation géométrique du corps due aux forces centrifuges, modifiant la distribution de masse et donc son moment quadrupolaire, ce qui affecte le champ à l’extérieur de façon indirecte mais mesurable.

Ce contraste entre les deux théories illustre de manière frappante le caractère géométrique de la gravitation en relativité : non seulement la masse, mais aussi le mouvement de la masse façonne l’espace-temps autour d’elle. Le fait qu’un observateur situé à grande distance puisse détecter des effets liés à la rotation d’un corps à travers la géométrie de l’espace-temps qu’il ressent démontre l’universalité de la courbure gravitationnelle comme vecteur d’information physique.

Les subtilités évoquées dans la construction de la métrique mettent en garde contre l’usage non critique des approximations. Les termes apparemment signifiants dans une expression peuvent disparaître après un changement de coordonnées ou révéler leur nature purement fictive. Cette leçon est cruciale : toute approximation repose sur des hypothèses, et leur validité doit être surveillée rigoureusement tout au long de l’analyse.