Le modèle anti-glace développé et validé dans cette étude repose sur une prise en compte des gradients de température en surface, de la transition laminaire-turbulent et des dynamiques de ruissellement de l'eau. Dans le cadre de la modélisation du transfert thermique et de la dynamique de masse autour des profils d'aile, il est essentiel de comprendre les phénomènes associés à la transition des régimes d'écoulement et aux interactions entre la couche limite thermique et l'humidité en surface.

La transition de laminaire à turbulent est un processus clé qui influence directement le transfert de chaleur et, par conséquent, l'efficacité des systèmes de protection contre la glace. Dans le modèle original de Silva et al. (2008), le paramètre de transition σ/c était défini à 0,007 pour les surfaces supérieure et inférieure du profil d'aile pour le cas 67A. Les modèles de transition utilisés dans l’étude se basent sur des fonctions d’intermittence spécifiques qui relient les écoulements laminaire et turbulent dans une région finie. Ces fonctions, comme celles de Reynolds-Kays-Kline (RKK) et d'Abu-Ghannan-Shaw (AGS), sont essentielles pour prédire avec précision l'amorçage de la transition et sa longueur dans le contexte des profils d'aile anti-glace.

Les résultats expérimentaux et les simulations numériques montrent que les modèles intégrés, bien qu’utiles dans certaines configurations, présentent des limitations lorsqu’il s’agit de prédire avec précision la transition dans des cas où les effets thermiques et les gradients de pression sont significatifs. Ces modèles sont particulièrement efficaces dans les configurations où l'écoulement est relativement stable et où la transition est relativement souple. Cependant, les modèles différentiels, tels que ceux modifiés dans l’étude de Cebeci et Cousteix (2005), capturent mieux l’effet de l’histoire de l'écoulement et des variations de température et de pression, en particulier dans les configurations où l'écoulement est influencé par des conditions de surface complexes.

L'importance de la prise en compte de l'effet des rivulets d'eau est également soulignée dans ce contexte. La modélisation des rivulets, ou petites rivières de gouttes d'eau, permet de représenter de manière plus réaliste le ruissellement d'eau sur les surfaces des profils d’aile dans les zones de protection contre la glace. Ces rivulets, qui sont représentés comme des films continus dans les modèles, ont un impact direct sur la distribution de la chaleur et de la masse autour du profil. Le ruissellement de l'eau influence non seulement la capacité de l'aile à se réchauffer efficacement mais également la dynamique de la transition de laminaire à turbulent, en modifiant la rugosité de la surface et en perturbant le flux de chaleur.

Les modèles de transition tels que RKK et AGS, chacun ayant ses avantages et ses inconvénients, sont comparés en termes de prédiction de la position et de la longueur de la transition. Le modèle RKK, avec sa forme intégrale, est particulièrement efficace dans les situations où les équations de moment et de température sont résolues de manière intégrale. Il est flexible et capable de s’adapter aux données expérimentales en tenant compte des effets non linéaires, tels que ceux dus à l’impaction des gouttelettes ou aux niveaux élevés de turbulence. Cependant, ce modèle présente des limites dans les configurations où l'écoulement est fortement perturbé par des facteurs externes, comme les conditions de givrage.

En revanche, le modèle AGS, bien qu’il soit plus adapté à un code différentiel, a tendance à sous-estimer l'effet de la transition dans des configurations complexes telles que celles rencontrées dans les systèmes de protection contre la glace. Ce modèle est mieux adapté pour prédire l'amorçage de la transition et la longueur de la région de transition dans des écoulements réguliers, mais il nécessite des ajustements pour des applications dans des environnements où l'impact des gouttes d’eau ou des conditions de givrage est notable.

Il est aussi important de noter que l'intégration de modèles hydrodynamiques de ruissellement d’eau, qui incluent des rivulets cylindriques pour évaluer la mouillabilité de la surface en aval de la zone d'impact, constitue une avancée importante. Ces modèles permettent d’optimiser la gestion de l'humidité présente sur les surfaces des profils d'aile, un facteur crucial pour maintenir l’efficacité du système de protection anti-glace.

L'application d'un modèle numérique modifié, comme le BLP2C, permet également de mieux simuler la transition laminaire-turbulent en prenant en compte les effets de l'histoire de l'écoulement ainsi que les gradients thermiques et de pression sur les profils d'aile équipés de systèmes de protection contre la glace. Ce code différentiel modifié, grâce à son modèle de turbulence à longueur de mélange et à sa fonction d'intermittence, capture les effets de l'évolution temporelle des paramètres du flux et leur influence sur la transition thermique et hydrodynamique.

Il convient de souligner qu’aucun modèle ne peut capturer à lui seul la complexité des phénomènes physiques en jeu dans les conditions de protection anti-glace. L'approche multi-physique adoptée dans cette étude, avec ses cinq niveaux de modélisation, vise à offrir une estimation plus complète et plus précise du transfert de chaleur et de masse autour des profils d’aile. Il est également essentiel de valider chaque phénomène physique pris en compte pour garantir la fiabilité des résultats obtenus.

Le modèle développé ici apporte des solutions innovantes pour évaluer les effets thermiques et hydrodynamiques dans des configurations où les profils d'aile sont soumis à des conditions de givrage. Les effets de la transition laminaire-turbulent, les dynamiques de ruissellement d’eau et les propriétés de la couche limite thermique sont des éléments cruciaux qui doivent être modélisés avec précision pour optimiser la performance des systèmes anti-glace.

La modélisation de la congélation des gouttelettes surchauffées pendant le vol : Approches et calculs des valeurs propres et des fonctions propres

Le problème des valeurs propres et des fonctions propres devient particulièrement pertinent dans le contexte de l'analyse dynamique de phénomènes physiques complexes tels que la congélation des gouttelettes en vol. Contrairement à l'approche conventionnelle, où les valeurs propres sont des constantes, dans ce cadre, les valeurs propres et les fonctions propres sont traitées comme des fonctions variables de la variable temps. Cette variation dépendante du temps est essentielle pour modéliser de manière réaliste le processus de congélation des gouttelettes superrefroidies.

Le système d'équations différentielles qui découle de cette formulation, et qui est utilisé pour résoudre ce problème, prend la forme suivante :

∂2ψ1(x,τ)∂x2+(μ(τ))2ψ1(x,τ)=0pour0<x<1\frac{\partial^2 \psi_1(x, \tau)}{\partial x^2} + \left( \mu(\tau) \right)^2 \psi_1(x, \tau) = 0 \quad \text{pour} \quad 0 < x < 1

Les conditions aux frontières associées à ce système d'équations sont :

ψ1(0,τ)=0\psi_1(0, \tau) = 0
∂ψ1(x,τ)∂x∣x=1+B(a1(τ)+θ1,H∗(1,τ))ψ1(1,τ)=0\left. \frac{\partial \psi_1(x, \tau)}{\partial x} \right|_{x=1} + B \left( a_1(\tau) + \theta^*_{1,H}(1, \tau) \right) \psi_1(1, \tau) = 0

L'intégration de ce système permet de trouver les solutions analytiques des fonctions propres et des normes associées, qui sont exprimées sous la forme suivante :

ψ1(x,τ)=sin⁡(μ1(τ)x)\psi_1(x, \tau) = \sin(\mu_1(\tau) x)

Ces fonctions sont fondamentales dans la simulation numérique, car elles représentent les modes de propagation dans un système physique dynamique. La procédure de transformation intégrale permet de résoudre ces équations en un ensemble de systèmes d'équations différentielles non linéaires couplées, qui doivent être résolus numériquement pour obtenir des résultats précis.

Une fois cette étape accomplie, les valeurs propres μ1(τ)\mu_1(\tau) et les fonctions propres associées sont utilisées pour déterminer les températures filtrées θ1,H∗(x,τ)\theta^*_{1,H}(x, \tau), qui servent à décrire les variations de température dans le processus de congélation. La formule inverse de la transformation intégrale permet de récupérer les températures de manière analytique à partir des données transformées.

Le passage à la phase de recalescence, considérée comme instantanée dans ce cadre, repose sur des relations algébriques qui permettent de calculer le volume total de glace formé par nucléation sans avoir à résoudre de nouvelles équations différentielles partielles. Cela constitue une simplification importante, car elle permet de calculer des paramètres critiques tels que les enthalpies de fusion LmL_m et les taux de nucléation RiniR_{\text{ini}}.

Le modèle évolue ensuite vers la phase de congélation proprement dite, où un filtre implicite est appliqué pour homogénéiser les conditions aux frontières non linéaires. Ce processus implique l'utilisation de coefficients filtrants a3(τ)a_3(\tau) et b3(τ)b_3(\tau) qui sont déterminés au fur et à mesure de la simulation. Les relations algébriques et les conditions aux frontières sont modifiées pour prendre en compte le comportement de la température au voisinage de la surface de la gouttelette, avec des expressions comme :

θ3,H∗(x,τ)=F3(x,τ)+θ3,H∗(x,τ)\theta^*_{3,H}(x, \tau) = F_3(x, \tau) + \theta^*_{3,H}(x, \tau)

Cette approche de filtre est cruciale pour simuler le transfert de chaleur dans un système où les conditions aux frontières changent au fil du temps. Le système de différentiation pour les coefficients a3(τ)a_3(\tau) et b3(τ)b_3(\tau) est résolu en fonction des conditions initiales et des équations de transformation, permettant de suivre l'évolution dynamique de la congélation.

Il est également essentiel de noter que la résolution de ce système d'équations non linéaires couplées nécessite l'utilisation d'approximations et de discrétisations spécifiques pour garantir la convergence des solutions. Ces techniques de simulation numérique, telles que la méthode de l'approximation par ordre fini MM, sont nécessaires pour obtenir des résultats fiables et applicables aux phénomènes physiques modélisés.

Les dernières étapes du modèle concernent la phase de congélation proprement dite, où les relations de température et de déplacement de la frontière sont calculées et intégrées dans le modèle numérique. Le suivi des variations des valeurs propres μ3(τ)\mu_3(\tau) au fil du temps, ainsi que la prise en compte de la structure de la glace formée pendant la recalescence, permettent de compléter la modélisation du processus de congélation.

Il est important de comprendre que ces modèles, bien que fondés sur des principes théoriques solides, reposent largement sur des approximations numériques et nécessitent des validations expérimentales pour s'assurer de leur précision dans des conditions réelles. De plus, la prise en compte de l'impact des paramètres physiques comme la température et la pression sur le comportement des gouttelettes en vol est essentielle pour affiner les prédictions et mieux comprendre les phénomènes de congélation dans des systèmes à échelle réduite.

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