Comment caractériser la solution dans les problèmes elliptiques linéaires ?

Soit une séquence d'éléments $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de $H$, telle que $\|u_n\|_{L^2(\Omega)} > n \|u_n\|_m$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Par un argument d'homogénéité, nous pouvons supposer que $\|u_n\|_{L^2(\Omega)} = 1$. Nous avons alors également $\|u_n\|_m \leq 1$, ce qui prouve que la séquence $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est bornée dans $H^1(\Omega)$. Grâce aux théorèmes de compacité vus dans le chapitre 1 (Section 1.6), la séquence $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est relativement compacte dans $L^2(\Omega)$. Nous pouvons supposer, après avoir extrait une sous-séquence, qu'il existe un $u \in L^2(\Omega)$ tel que $u_n \to u$ dans $L^2(\Omega)$ lorsque $n \to +\infty$. Puisque $\|u_n\|_{L^2(\Omega)} = 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, nous avons également $\|u\|_{L^2(\Omega)} = 1$.

Dans cette situation, nous avons donc une contradiction qui démontre que la séquence $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ne peut converger vers une fonction non nulle dans $L^2(\Omega)$.

Si $v \in \text{Im}(J)$, alors il existe un $u \in H$ tel que $v = J(u)$. On définit $S(v) = \langle T, u \rangle_{(H^1(\Omega))', H^1(\Omega)}$. Puisque $J$ est une isométrie et que la norme $\|\cdot\|_{H^1(\Omega)}$ est équivalente à la norme $\|\cdot\|_m$, l'application $S$ est une application linéaire continue du sous-espace $\text{Im}(J)$ de $L^2(\Omega)^N$ vers $\mathbb{R}$. Par le théorème de Hahn-Banach, on peut donc étendre $S$ à un élément $S \in (L^2(\Omega)^N)'$, l'espace dual topologique de $L^2(\Omega)^N$. Ensuite, grâce au théorème de représentation de Riesz dans les espaces de Hilbert, il existe un $F \in L^2(\Omega)^N$ tel que :

Dès lors, pour tout $u \in H$, on obtient :

La prochaine étape dans l'analyse consiste à étudier l'existence et l'unicité des solutions. En prenant $v = 1_{\Omega}$ dans l'équation (2.25), on montre que $a = 0$. Ensuite, en appliquant le théorème de Lax-Milgram (Théorème 2.3) dans l'espace de Hilbert $H$ équipé de la norme $\|\cdot\|_m$ avec $a(u, v) = A(x)\nabla u(x) \cdot \nabla v(x) \, dx$ et $T(v) = F(x) \cdot \nabla v(x) \, dx$, on obtient une solution unique $u \in H$ à l'équation (2.25) pour tout $v \in H$.

Cette approche démontre non seulement l'existence, mais aussi l'unicité de la solution dans l'espace $H$.

Comment comprendre la convergence faible et les solutions des problèmes elliptiques

La convergence faible dans les espaces fonctionnels joue un rôle crucial dans la résolution des problèmes elliptiques, notamment ceux de type variationnel. Lorsqu'on examine un problème elliptique classique, on peut se retrouver face à une séquence de solutions approchantes (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ, où chaque terme 𝑢𝑛 appartient à un sous-espace de Sobolev 𝐻1₀(Ω), l’espace des fonctions ayant des dérivées premières intégrables, avec des conditions de Dirichlet (c'est-à-dire vanishing at the boundary). L’étude de cette séquence nous permet de démontrer des propriétés importantes telles que la convergence faible de la séquence vers une solution 𝑢 dans 𝐻1₀(Ω), et ce, sous certaines conditions de régularité.

En partant de l’équation différentielle dans un domaine Ω, on suppose que les fonctions 𝑢𝑛 satisfont une équation variationnelle du type:

avec $A$ une forme bilinéaire coercive et $f_n$ une séquence de termes qui converge faiblement. La solution de ce problème, $u_n$, évolue avec $n$, et il est important de vérifier la convergence faible de $u_n$ vers une solution $u$. Le passage à la limite, lorsque $n \to +\infty$, conduit à un résultat fondamental : la séquence $u_n$ converge faiblement dans $H_0^1(\Omega)$ vers $u$, ce qui signifie que, bien que les $u_n$ ne convergent pas nécessairement dans le sens fort, la convergence dans le sens faible garantit la validité de l'approximation de la solution.

Cependant, bien que la convergence faible assure l’existence d’une solution dans $H_0^1(\Omega)$, elle ne garantit pas automatiquement la continuité entre les espaces $L^2(\Omega)$-faible et $H_0^1(\Omega)$. En fait, la continuité entre ces espaces dépend des propriétés spécifiques du problème, notamment la coercivité de la forme bilinéaire et l'adhérence des suites $f_n$. Il est donc crucial de bien comprendre que, même si une solution existe, l'analyse des convergences faibles impose une attention particulière à la nature de cette convergence, en particulier dans le cadre de théorèmes tels que celui de Rellich.

D’un point de vue algorithmique, les résultats de cette analyse permettent de développer des méthodes numériques permettant d’approcher ces solutions par discrétisation, tout en contrôlant les erreurs liées à la convergence faible. Il est donc impératif de veiller à ce que les espaces de fonctions utilisés pour la discrétisation respectent les propriétés fonctionnelles du problème continu, afin d’assurer que la convergence faible dans le problème continu se reflète adéquatement dans la solution numérique.

La compréhension de ces nuances, notamment en ce qui concerne la convergence dans les différents espaces de Sobolev, et l'application correcte des théorèmes comme celui de Rellich, sont essentielles pour la résolution efficace des équations différentielles partielles et la validation des méthodes numériques utilisées en approximation de ces solutions.