La convergence faible des distributions et ses applications fondamentales

Le théorème classique de la limite centrale est une pierre angulaire en théorie des probabilités, mais la version qui nous intéresse dans cette section, nommée Théorème G.2, s’applique à une situation plus spécifique où la somme de variables aléatoires indépendantes converge faiblement vers une distribution normale. Soit $(Y_1^{(N)}, \ldots, Y_N^{(N)})$ un ensemble de variables aléatoires indépendantes sur un espace de probabilité $(\Omega_N, F_N, P_N)$, et supposons que ces variables satisfont les conditions suivantes : il existe des constantes $\gamma_N$ telles que $\gamma_N \to 0$ et $|Y_k^{(N)}| \leq \gamma_N$ presque sûrement. En outre, la somme $\sum_{k=1}^{N} Y_k^{(N)}$ converge en moyenne vers $m$ et la variance $\sum_{k=1}^{N} \text{var}_N(Y_k^{(N)})$ converge vers $\sigma^2$. Alors, la distribution de la somme $\sum_{k=1}^{N} Y_k^{(N)}$ converge faiblement vers une distribution normale de moyenne $m$ et de variance $\sigma^2$.

Dans cette optique, le théorème G.3 nous permet d’étudier la topologie faible dans l’espace des mesures en donnant une description détaillée de la manière dont une séquence de mesures $(\mu_n)$ peut converger faiblement vers une mesure $\mu$. Cela implique notamment que les espaces $M(S)$ de mesures sont séparables et métrisables, ce qui est crucial pour travailler avec des séquences de mesures dans une topologie faible. Si $S$ est un espace de Polish, alors l'espace des mesures $M(S)$ hérite de cette propriété, ce qui le rend bien adapté pour des applications pratiques, notamment en théorie de la probabilité.

Une application directe du théorème de Portmanteau est donnée par le théorème G.5, qui montre la loi des grands nombres pour les distributions empiriques. Supposons que nous ayons une séquence de variables aléatoires indépendantes $X_1, X_2, \dots$ avec une distribution commune $\mu$. Alors, presque sûrement, la distribution empirique des $X_n$, définie comme $\rho_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \delta_{X_k}$, converge faiblement vers $\mu$. Ce théorème est une généralisation importante de la loi des grands nombres, car il concerne la convergence des distributions empiriques et non des moyennes individuelles.

Enfin, la stabilité de la convergence faible est abordée dans le théorème de Slutsky (Théorème G.8), qui traite de la convergence des sommes et des produits de variables aléatoires convergeant faiblement. Ce théorème est particulièrement utile pour les applications où plusieurs variables aléatoires sont combinées, en assurant que la convergence faible des lois combinées se maintient sous certaines conditions.

Pour compléter ce cadre théorique, le théorème de Prohorov est souvent utilisé pour démontrer l’existence de limites dans des contextes variés, notamment dans les théories de la convergence faible des mesures de probabilité en dimension infinie. Ce résultat trouve des applications en statistique, en théorie de l'information et dans d'autres domaines où la stabilité des mesures joue un rôle fondamental.

Comment les mesures de risque convexes sont-elles liées à l'acceptation des positions financières dans un marché dynamique ?

Les mesures de risque convexes sont au cœur de l’évaluation du risque dans les marchés financiers modernes. Elles sont utilisées pour déterminer l'acceptabilité des positions financières, en tenant compte de l'impact des événements futurs sur le portefeuille. Ces mesures s’appuient sur l’idée de l'acceptation d'une position sous certaines contraintes de risque, où l'objectif est de s’assurer que les pertes potentielles restent dans une zone acceptable pour l'investisseur. Le cadre théorique que l’on explore ici repose sur l’interaction entre les ensembles d’acceptation et les risques associés à différents scénarios de marché.

Ce type de mesure peut être généralisé en introduisant des mécanismes de couverture, où une position peut être modifiée par une quantité $\xi$ afin d'atténuer son risque. Ce changement dans l'ensemble d'acceptation est formalisé par l'ensemble A_1^{\bar} := \{X \in L^\infty \mid \exists \xi d \in \mathbb{R}, X + \xi \cdot Y \in B \cap B_1 \}. L'ensemble A_1^{\bar} décrit alors les positions acceptables après avoir intégré un instrument de couverture, c’est-à-dire une modification stratégique de la position pour réduire le risque.

Une fois que nous avons ces bases, l’analyse du risque à travers la mesure de risque convexes devient plus claire : elle est fondamentalement déterminée par l’équilibre entre les attentes de rentabilité et les ajustements nécessaires pour couvrir les risques. Ces ajustements sont mesurés à travers des fonctions de perte, qui sont des fonctions convexes et croissantes. Les fonctions de perte correspondent à la façon dont nous modélisons la pénalité associée à chaque unité de risque. Une fonction de perte typique peut prendre des formes comme $\ell(x) := -u(-x)$, où $u(x)$ est une fonction d’utilité, et le but est d’optimiser l’utilité espérée d’un portefeuille en fonction de son risque.

Pour clarifier la mécanique de cette mesure, on peut la réécrire sous une forme plus accessible : on définit l'ensemble d'acceptation $A$ comme un ensemble des positions où l’espérance de la fonction de perte est inférieure ou égale à un seuil donné $x_0$, ce qui nous permet d’obtenir une forme normalisée de la mesure de risque. Cette approche de la gestion du risque est tout à fait compatible avec les critères de rentabilité du marché, en particulier en ce qui concerne la gestion d’un portefeuille dans un environnement de marché dynamique et incertain.

Une autre approche centrale de ce cadre est la définition des ensembles d'acceptation à partir des fonctions de perte convexes. Ces fonctions permettent de structurer le problème du risque de manière optimale, où les ajustements de portefeuille sont basés sur une maximisation de l’utilité ou une minimisation des pertes. La mesure de risque obtenue de cette manière est dite "utility-based shortfall risk measure". Il s’agit donc d’une mesure qui combine théorie de l’utilité et gestion des risques de sous-performance.

Enfin, il est important de souligner qu’un tel modèle de risque n'est pas simplement une formalité mathématique mais une méthode robuste de gestion du risque dans des situations où les investisseurs cherchent à minimiser leurs pertes potentielles tout en maximisant leur utilité attendue. Le cadre théorique derrière ces modèles de risque permet aux praticiens du marché de définir des stratégies de couverture efficaces et de comprendre comment les ajustements de position peuvent affecter la rentabilité à long terme.

Comment se construit la supercouverture des options américaines et européennes dans un cadre de marchés incomplets ?

La démonstration centrale repose sur l’observation que la différence entre la valeur du portefeuille Vt et le paiement Ht peut être considérée comme une nouvelle option américaine actualisée, ce qui permet d’appliquer un résultat fondamental (Théorème 7.13). Toutefois, il faut gérer l’asymétrie inhérente à la couverture des options américaines : le vendeur doit se prémunir contre toutes les stratégies d’exercice possibles, tandis que l’acheteur ne doit en trouver qu’une seule adaptée. Cette stratégie optimale d’arrêt est donnée par τt := inf{u ≥ t | U↓u = Hu}, où U↓u désigne la valeur inférieure enveloppe de Snell.

On introduit alors une option américaine modifiée H̃ définie par H̃u = (Vu − Hu) ⋅ 1{u=τt, u = 0, ..., T}. Cette construction garantit que pour tout temps d’arrêt σ, H̃σ ≤ H̃τ, ce qui permet de relier l’espérance conditionnelle essentielle supérieure de H̃σ au portefeuille Vt et à la valeur minimale U↓t. En conséquence, la quantité Vt − U↓t correspond à l’enveloppe supérieure de Snell Ũ↑ associée à H̃. La décomposition prévisible de Doob appliquée à Ũ↑ fournit un processus prévisible d-dimensional ξ̃, qui, combiné au portefeuille initial ξ, permet de définir une stratégie de couverture η = ξ̃ − ξ assurant la supercouverture.

Le raisonnement symétrique établit également l’autre inégalité en montrant que toute stratégie η̃ qui couvre le paiement Hσ à l’instant σ implique une borne inférieure sur Ũt, reliée à l’enveloppe inférieure U↓t, par l’usage d’une martingale construite à partir des gains cumulés de la stratégie. Ceci s’appuie sur un théorème classique garantissant que ce processus est une martingale sous chaque mesure équivalente de martingale locale.

Un résultat clé, la dualité de la supercouverture, affirme que ces bornes sont optimales et se réalisent, ce qui établit une égalité entre les valeurs essentielles supérieures et inférieures des espérances conditionnelles, chacune étant atteinte par des stratégies prévisibles adéquates.

Enfin, l’étude détaillée d’un modèle à une période avec actifs risqués vectoriels révèle que la supercouverture peut être vue comme une couverture parfaite dans un modèle extrémal associé. Le coût de supercouverture d’une option donnée est alors égal au prix canonique calculé dans ce modèle complet extrémal, dont la mesure support est concentrée sur les points extrêmes de l’enveloppe convexe du support initial. Ce résultat s’appuie sur des théorèmes profonds de convexité, notamment le théorème de Choquet et celui de Carathéodory, qui garantissent la représentation des mesures optimales par des combinaisons finies de points extrêmes.

Ce passage illustre que, même dans des modèles incomplets, la supercouverture peut être comprise comme la meilleure couverture possible dans un modèle complet extrémal qui domine le modèle initial. Cette approche éclaire la dualité entre la théorie abstraite des options dans des environnements incertains et les constructions pratiques de stratégies de couverture.