Comment déterminer si une application simpliciale entre graphes se relève en plongement ?

Considérons une application simpliciale non dégénérée $f : K \to L$ entre complexes simpliciaux, et analysons les conditions sous lesquelles le plongement par morceaux linéaires induit $|f| : |K| \to |L|$ peut être relevé en un plongement dans $|L| \times \mathbb{R}$. Le relevement ici correspond à une élévation de la structure de l'application à un espace produit, conservant l’injectivité topologique.

Pour aborder ce problème, on introduit la notion de relation binaire $R$ définie sur le produit des sommets $(2)K_f$, où $x R y$ signifie que le couple $(x,y)$ appartient à un certain sous-ensemble déterminé par une surjection de recouvrement $p_2$. Cette relation est antisymétrique et irréflexive par construction. Le point central est la vérification de la transitivité de $R$, qui caractérise la structure d’ordre stricte nécessaire pour que le relevement soit possible.

La transitivité est traduite en une formule booléenne $\Phi_f$, construite à partir des composantes connexes du complexe associé $|(2)K_f|$ et de l’involution induite par la permutation des facteurs. Chaque orbite de cette involution est associée à une variable booléenne, tandis que les composantes connexes reçoivent soit cette variable, soit sa négation, selon leur position dans l’orbite. La formule $\Phi_f$ impose que, pour tout triple ordonné $(C, D, E)$ de composantes connexes vérifiant certaines conditions d’incidence, l’implication $(\alpha_C \wedge \alpha_D) \Rightarrow \alpha_E$ tienne, où $\alpha_C$ désigne la variable ou sa négation associée à $C$.

Le théorème fondamental stipule que le relevement $|\tilde{f}|$ existe si et seulement si (1) le recouvrement $p_2 : |(2)K_f| \to |(2)K_{\tilde{f}}|$ est trivial, et (2) la formule booléenne $\Phi_f$ est satisfiable. Cette dernière condition établit une bijection entre les solutions de $\Phi_f$ et les classes d’isotopie des relevements, ce qui lie intrinsèquement la combinatoire des graphes à la topologie des plongements.

L’analyse du problème passe par la construction d’une fonction $H$, équivariante et continue, vers la sphère $S^2$, qui encode les orientations des ordres linéaires sur les ensembles de sommets associés aux fibres de $f$. L’assignation des variables booléennes découle directement de l’image par $H$ des composantes connexes, garantissant que la formule $\Phi_f$ est satisfaite lorsque le relevement existe.

Réciproquement, toute affectation satisfaisant $\Phi_f$ permet de définir une relation $R$ qui est une relation d’ordre stricte et transitive sur $(2)V(K_f)$, formant ainsi un système cohérent d’ordres linéaires admissibles sur les fibres de $f$. Ces ordres sont compatibles avec la structure simpliciale, assurant que les relations respectent les inclusions des simplexes. Le processus assure la construction d’un relevement topologique de $f$.

Un exemple illustratif est fourni par l’exemple de Giller, qui montre une immersion de la sphère $S^2$ dans $\mathbb{R}^3$ ne pouvant pas être relevée en plongement. La structure du graphe des points multiples révèle, via l’analyse de la formule $\Phi_f$, que la satisfaction de celle-ci échoue, démontrant l’impossibilité du relevement malgré la trivialité apparente du recouvrement.

Il est essentiel de noter que ces résultats s’étendent naturellement du cadre strict des complexes simpliciaux à celui des multigraphes et de leurs homomorphismes, élargissant ainsi leur applicabilité. Cette généralisation permet d’aborder des situations plus complexes et moins régulières, tout en conservant l’interprétation combinatoire des conditions topologiques.

Au-delà des résultats formels, il importe de comprendre que le problème de relevement traduit une tension entre la combinatoire locale des arêtes et sommets et la topologie globale de l’espace dans lequel l’application s’insère. L’analyse booléenne des ordres linéaires admissibles sert d’outil puissant pour détecter des obstructions subtiles à l’existence de plongements, que les seules considérations géométriques ne suffiraient pas à révéler.

La formule $\Phi_f$ et ses solutions sont en quelque sorte le reflet combinatoire d’une condition géométrique profonde : la possibilité de « trier » les fibres de l’application selon un ordre compatible avec l’involution induite par la topologie. Cette dualité entre combinatoire et topologie souligne la richesse du lien entre théorie des graphes, logique booléenne et topologie géométrique.

Il convient également de souligner que la trivialité du recouvrement $p_2$ est un prérequis fondamental : elle garantit que les composantes connexes ne se « chevauchent » pas de manière complexe, permettant l’assignation univoque des variables booléennes. En l’absence de cette trivialité, la structure topologique devient trop entremêlée, et la définition d’une relation d’ordre stricte cohérente est impossible.

Ainsi, la théorie développée ouvre la voie à une classification complète des relevements possibles par l’étude des solutions de $\Phi_f$, offrant un cadre conceptuel unifié pour aborder la question de l’embeddabilité des applications simpliciales et de leurs généralisations.

Comment les twists de Dehn affectent les invariants de surfaces de Seifert et les nœuds de genre un

Les twists de Dehn ont un impact fondamental sur la géométrie et les invariants des surfaces de Seifert de genre un. Lorsqu’un twist de Dehn est appliqué, comme dans le cas de $\tau_{\alpha}$, il transforme certaines variables tout en en laissant d’autres inchangées. Par exemple, la transformation $\tau_{\alpha}$ modifie $\beta^{ - }$ en $\beta^{\prime- } = \beta - \alpha^{ - }$, mais laisse $\alpha$ inchangé. En conséquence, les courbes $u_{\alpha} = \alpha \alpha^{ - } - 1$, représentées dans les figures 20.4 et 20.7, restent invariantes ($u_{\alpha}^{\prime} = u_{\alpha}$), tandis que la courbe $u_{\beta} = \beta^{ - } - 1 \beta$ est modifiée en $u_{\beta}^{\prime} = \alpha^{ -1} u_{\beta} \alpha$.

L'effet de ce twist de Dehn est crucial pour la modification des invariants de Reidemeister, qui sont des outils essentiels pour comprendre la topologie des nœuds et des surfaces associées. Par exemple, après l’application du twist, la différence entre deux polynômes d’Alexander, $\delta'_{\alpha, \beta}$ et $\delta_{\alpha, \beta}$, peut être exprimée par une formule impliquant $u_{\alpha}$ et $u_{\gamma}$, indiquant ainsi l’impact du twist sur les coefficients des invariants.

Le twist de Dehn n’affecte pas seulement la structure locale des surfaces de Seifert, mais il a également un rôle important dans les calculs des torsions de Reidemeister. Par exemple, les éléments $w_{\delta}(a, b, c)$ peuvent subir des changements significatifs sous l’application de twists, ce qui influence la structure des éléments dans les espaces homologiques associés. De plus, les invariants $wSL(K)$, utilisés pour étudier les nœuds dans les sphères de homologie rationnelle, sont également modifiés par les twists de Dehn, révélant une propriété fondamentale des transformations topologiques.

L'étude de ces transformations permet de mieux comprendre les relations entre les différents invariants et leur comportement sous différentes manipulations topologiques des surfaces et des nœuds. Il est important de noter que ces changements sont non triviaux et nécessitent des calculs détaillés basés sur les bases symplectiques et les formes d'Alexander.

En appliquant un twist de Dehn sur une surface de Seifert, les nouveaux paramètres $(a', b', c')$ peuvent être liés aux anciens par des relations précises : par exemple, $a' = a + 2b$, $b' = 2b + c$, et $c' = -b$. Ces relations montrent l'impact du twist sur les paramètres qui caractérisent la surface et ses invariants associés. Cela permet non seulement d'analyser le changement dans les éléments homologiques mais aussi de prédire la façon dont les propriétés géométriques de la surface changent.

Le twist de Dehn peut aussi être utilisé pour démontrer l'invariance des polynômes de Reidemeister et des invariants associés sous les cobordismes de surfaces de Seifert. Ces transformations jouent un rôle essentiel dans la démonstration des théorèmes de cobordisme et dans l’étude de la topologie des surfaces et des nœuds. Le cas des surfaces de Seifert de genre un est particulièrement intéressant car il met en lumière des structures de la topologie 3D qui sont souvent invisibles dans des contextes de dimensions plus élevées.

Enfin, il convient de souligner que ces résultats ne sont pas limités à des manipulations purement théoriques. En pratique, les twists de Dehn et leurs effets sur les invariants sont des outils puissants pour les mathématiciens et les topologistes qui cherchent à comprendre les nœuds et leurs surfaces associées, en particulier dans les contextes de géométrie et de topologie des variétés de dimension 3.

Les Cartes de Pli Simples et les Immersions Smooth

Les cartes de pli simples jouent un rôle essentiel dans l’étude des singularités et des immersions dans la géométrie différentielle. Une carte $f : N \to M$ est qualifiée d'immersion lisse si chaque point de $N$ possède un voisinage qui est plongé de manière lisse par $f$. Plus précisément, $f$ est une immersion lisse si et seulement si $\partial f = \emptyset$, ce qui signifie qu’il n’y a pas de singularités qui perturbent la structure locale de $N$ sous $f$. En revanche, les cartes de pli lisses sont caractérisées par des singularités spécifiques, appelées singularités de type "pli" (ou type $(1, 0)$), qui sont des points où la carte présente une déformation douce mais notable.

Une carte de pli est définie comme une carte $f : N \to M$ telle que $\partial f = \emptyset$. Ces cartes peuvent être lisses ou algébriques et incluent les cartes de pli simples, qui sont des cartes dont les singularités ne se croisent pas avec elles-mêmes. En d'autres termes, elles ne contiennent pas de points où l’image de trois points distincts de $N$ est identique, ce qui est une condition fondamentale pour que la carte soit considérée comme un "pli simple". Dans ce contexte, il est possible de dire que les immersions lisses sont aussi des cartes de pli simples, et les cartes génériques, qu'elles soient lisses ou PL (Polyédriques), qui ne possèdent pas de points triples, sont également des cartes de pli simples.

Dans les constructions géométriques plus avancées, une carte de pli simple est utilisée pour garantir que la topologie de l’espace $N$ reste contrôlable sans apparition de singularités multiples. Par exemple, une carte de pli simple $f : N \to M$ ne doit pas avoir de "points triples", ce qui signifie que $f(x) = f(y) = f(z)$ pour trois points distincts $x, y, z \in N$ est exclu. C’est une condition cruciale pour garantir la régularité de la carte dans des situations complexes.

Un autre aspect important dans l'étude des cartes de pli simples est la notion de "retrait de déformation", où une carte de pli simple peut être déformée de manière contrôlée sans perdre ses propriétés. Cela est crucial dans la démonstration des théorèmes relatifs à la topologie et à la géométrie des plongements, car il permet de simplifier le problème à des cas plus fondamentaux tout en préservant les caractéristiques topologiques essentielles.

Les cartes lisses qui sont des cartes de pli simples sont également étudiées dans des contextes spécifiques où il est important d’éviter les intersections multiples dans les cartes. Par exemple, dans les cartes PL ou les cartes lisses, l’absence de points triples garantit que les intersections entre les images de $N$ sous $f$ sont simples, ce qui est essentiel pour assurer que la carte est bien définie et ne présente pas de complications topologiques ou géométriques inattendues.

Dans la démonstration des théorèmes comme le Théorème 13.1 (c) sur les immersions lisses, l’idée centrale repose sur la construction d’un voisinage fermé $N'$ qui soit une variété avec frontière et qui se rétracte de manière déformée sur $X$, un sous-ensemble de $N$. Ce processus est fondamental pour comprendre comment les cartes peuvent être étendues tout en maintenant leur régularité. À ce stade, il devient clair que la théorie des cartes de pli simples et lisses est intimement liée à des concepts avancés de déformation et de retraits de voisinages, qui permettent de manipuler les objets géométriques tout en préservant leurs propriétés topologiques essentielles.

Il est également important de comprendre que la théorie des cartes de pli simples ne se limite pas à l’analyse locale des singularités, mais touche également à des questions de stabilité topologique sous différentes transformations. Par exemple, le fait qu'une carte soit simple ou non peut avoir des conséquences sur la manière dont les variétés sont connectées ou déformées, influençant ainsi la structure globale de $N$ et $M$. Dans ce sens, l’étude des cartes de pli simples constitue une partie intégrante de la topologie différentielle moderne, où la compréhension des singularités et des immersions devient essentielle pour résoudre des problèmes complexes liés à la géométrie des variétés et à leur classification.

Enfin, les applications des cartes de pli simples ne se limitent pas aux situations théoriques. Elles trouvent également des applications pratiques dans la modélisation de phénomènes physiques et dans la résolution de problèmes géométriques dans des espaces de dimensions plus élevées, où la possibilité d’éviter les singularités multiples et de contrôler les déformations est un atout précieux. En ce sens, l'étude des cartes de pli simples ouvre des voies d'exploration passionnantes dans de nombreux domaines des sciences mathématiques et de l’ingénierie, notamment dans le traitement des singularités dans les systèmes dynamiques et la théorie des surfaces.

Le levé des cartes génériques aux embeddings : l'obstruction des points doubles

Soit $M^m$ une variété PL et $N^n$ un polyèdre compact, et $M'$ et $N'$ des sous-polyèdres fermés de $M$ et $N$, respectivement. Soit $f : N \to M$ une application PL telle que $f^{ -1}(M') = N'$, et que $f |_{N \setminus N'}$ soit une carte de type "pli simple" sans points triples, et $f' = f |_{N'}$. Supposons que $e' : N' \to \mathbb{R}^k$ soit une carte PL telle que $f' \times e' : N' \to M' \times \mathbb{R}^k$ soit un embedding et que $e' : \hat{f'} \to S^{k-1}$ s'étende en une carte équivariante $\alpha : \hat{f} \to S^{k-1}$.

Nous voulons maintenant démontrer que $e'$ s'étend en une carte PL $e : N \to \mathbb{R}^k$ telle que $f \times e : N \to M \times \mathbb{R}^k$ soit un embedding et $e' : \hat{f} \to S^{k-1}$ soit équivariant homotopique à $\alpha$, tout en fixant $\hat{f'}$.

Il est essentiel de noter que l'application $f$ n'est pas nécessairement générique ici, et que les dimensions $m$, $n$ et $k$ sont arbitraires. Il est également à remarquer qu'une carte PL générique sans points triples est automatiquement une carte de type pli simple.

Preuve et construction de $e$

Nous sommes donnés $e'$ et $\alpha$, et nous devons construire $e$. Soit $f^\circ = f |_{N \setminus N'}$. Il est important de souligner que $\hat{f'} = \hat{f} \setminus \hat{f}^\circ$, mais que $\hat{f'}$ pourrait être plus grand que $\hat{f'}$. Il est évident que $\hat{f'} = \hat{f} \cap (N' \times N')$. Soit $S' : \hat{f'} \to \mathbb{R}^k$ défini par $S'(x, y) = \frac{e'(x) + e'(y)}{2}$, et soit $S : \hat{f} \to \mathbb{R}^k$ une carte PL quelconque prolongeant $S'$ et satisfaisant $S(x, y) = S(y, x)$. Nous définissons aussi $A' : \hat{f'} \to \mathbb{R}^k$ et $a' : \hat{f'} \to [0, \infty)$ par $A'(x, y) = \frac{e'(y) - e'(x)}{2}$ et $a'(x, y) = \|A'(x, y)\|$, puis nous prolongeons ces cartes de manière similaire pour obtenir $A : \hat{f} \to \mathbb{R}^k$.

Nous définissons ensuite $A(x, y)$ par $A(x, y) = \alpha(x, y) \cdot a(x, y)$ pour $x \neq y$, et $A(x, x) = 0$. Il en résulte que $A$ est isotrope et $A(x, y) = e'(y) - e'(x)$ lorsque $(x, y) \in \hat{f'}$.

Puisq