Quelle est la structure formelle des polynômes et des séries de puissances, et comment les manipule-t-on dans un anneau ou un corps ?

La relation classique $(1 + X)^m (1 + X)^n = (1 + X)^{m+n}$ dans un anneau commutatif $R$ est au cœur de l’arithmétique des séries formelles de puissances. Ce résultat, appuyé par le théorème binomial, permet de dériver l'identité $\sum_{k=0}^{m+n} \binom{m+n}{k} X^k = \left( \sum_{k=0}^m \binom{m}{k} X^k \right) \left( \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} X^k \right),$ où les coefficients de même degré sont comparés pour obtenir l’identité combinatoire $\sum_{k=0}^{m+n} \left( \sum_{j=0}^k \binom{m}{j} \binom{n}{k-j} \right) X^k = \sum_{k=0}^{m+n} \binom{m+n}{k} X^k.$ L’égalité des coefficients, ici cruciale, repose sur le fait que deux polynômes sont égaux si et seulement si tous leurs coefficients respectifs le sont.

Les séries formelles de puissances dans $R[[X]]$ doivent être comprises non comme des sommes convergentes mais comme des suites indexées par $\mathbb{N}$, où $X^k$ n’est qu’un symbole. Cette interprétation évite les ambiguïtés liées à la convergence, absente dans un cadre purement algébrique. Néanmoins, certaines manipulations restent possibles grâce à des lois algébriques étendues.

Une application fondamentale du calcul formel est l’évaluation efficace d’un polynôme $p(x)$ par une méthode récursive : $x_n := x,\quad x_{k-1} := p_k x_k + p_{k-1},$ permettant de calculer $p(x)$ en seulement $n$ multiplications et $n$ additions. Cette méthode dite de Horner surpasse la méthode directe qui nécessite $2n - 1$ multiplications.

Une conséquence essentielle de cette propriété est le développement de tout polynôme autour d’un point $a \in K$. Il existe des coefficients uniques $b_0, \dots, b_n \in K$ tels que $p = b_0 + b_1(X - a) + \dots + b_n(X - a)^n.$ Ce développement conduit immédiatement à la notion de facteur linéaire : si $p(a) = 0$, alors $X - a$ divise $p$, ce qui est un cas particulier du théorème fondamental de l’algèbre.

Il est fondamental de noter que toutes ces constructions reposent sur l'absence de diviseurs de zéro dans l'anneau de base. Si $R$ est un corps, les résultats prennent leur forme la plus forte, notamment en assurant la factorisation unique et l'existence d'inverses multiplicatifs pour les coefficients non nuls. En revanche, si $R$ contient des diviseurs de zéro, comme dans certains anneaux finis ou anneaux non intègres, les résultats doivent être adaptés, souvent en perdant l’unicité des divisions ou la validité de certaines identités de degré.

Il est aussi essentiel de comprendre que l'approche des sér

Comment se définissent et se comportent les ouverts et fermés dans les sous-espaces topologiques ?

Premièrement, un ensemble $M \subseteq Y$ est dit ouvert dans $Y$ si et seulement s’il existe un ouvert $O$ dans $X$ tel que $M = O \cap Y$. Cette définition repose sur le fait que la topologie relative de $Y$ est précisément l’ensemble des intersections des ouverts de $X$ avec $Y$. Par conséquent, un point $x \in M$ est un point intérieur à $M$ dans $Y$ si et seulement si il existe un rayon $r > 0$ tel que la boule $B_Y(x, r) = B_X(x, r) \cap Y$ soit contenue dans $M$. Cette caractérisation souligne l’importance des boules ouvertes restreintes au sous-espace, qui fournissent la base pour la topologie induite.

Un raisonnement analogue s’applique pour les ensembles fermés dans $Y$. Un sous-ensemble $M \subseteq Y$ est fermé dans $Y$ si et seulement s’il existe un fermé $A \subseteq X$ tel que $M = A \cap Y$. En effet, la fermeture relative est la trace sur $Y$ de la fermeture dans $X$. La complémentaire d’un fermé relatif est un ouvert relatif, ce qui assure la cohérence des définitions.

Au-delà des espaces métriques, ces définitions s’étendent naturellement aux espaces topologiques généraux. La notion d’intérieur, de frontière, de voisinage et de fermeture restent valides et cohérentes, bien que certaines propriétés classiques des espaces métriques ne soient plus garanties. Par exemple, dans un espace topologique arbitraire, il est possible qu’une suite convergente ait plusieurs limites, contrairement aux espaces de Hausdorff (espaces séparés) où la limite est unique.

La première axiomatique de dénombrabilité joue un rôle fondamental dans l’analyse des suites et de la continuité. Elle garantit l’existence d’une base de voisinages dénombrable autour de chaque point, ce qui permet de caractériser la convergence et la continuité au moyen de suites, un outil central en analyse. Dans les espaces satisfaisant cette propriété, la continuité séquentielle est équivalente à la continuité topologique classique.

Les espaces de Hausdorff, qui exigent que tout couple de points distincts admette des voisinages disjoints, assurent la fermeture des singletons et l’unicité des limites des suites convergentes. Tout espace métrique est un espace de Hausdorff, ce qui établit une hiérarchie claire entre les différentes classes d’espaces topologiques.

Enfin, les sous-espaces topologiques conservent naturellement les propriétés de séparation et de dénombrabilité de l’espace ambiant. La topologie relative garantit que la continuité et les propriétés topologiques des fonctions restreintes s’harmonisent parfaitement avec celles définies sur l’espace global.

Il est crucial de saisir que la topologie relative ne modifie pas la nature intrinsèque des notions fondamentales, mais restreint leur domaine d’application. Cela permet d’étudier des objets locaux ou partiels tout en conservant une cohérence avec la structure globale. L’étude approfondie de ces mécanismes prépare à aborder des notions plus complexes comme les espaces quotients, les espaces produit, ou encore la topologie uniforme.

La compréhension fine de l’ouverture, de la fermeture et de leurs interactions dans les sous-espaces topologiques est une pierre angulaire qui conditionne la maîtrise des concepts avancés en topologie générale. Cette connaissance permet d’éviter des erreurs fréquentes liées à l’interprétation des propriétés topologiques quand on passe d’un espace à un sous-espace, tout en offrant un cadre rigoureux pour analyser continuité, convergence et séparation.

Qu’est-ce qu’un espace compact et pourquoi cette notion est-elle cruciale en topologie ?

Prenons une suite $(x_k)$ convergeant vers un point $a \in X$. Le sous-ensemble $K := \{a\} \cup \{x_k ; k \in \mathbb{N}\}$ est compact. En effet, tout recouvrement ouvert de $K$ contient un voisinage ouvert de $a$ et des ouverts contenant les $x_k$. La convergence de la suite permet d’extraire un rang $N$ tel que $x_k \in O_\alpha$ pour $k > N$. Dès lors, l’union finie de ces ouverts, ajoutée à celui contenant $a$, suffit à recouvrir $K$.

Plus frappant encore, l’ensemble $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$ n’est pas compact. Un recouvrement formé d’intervalles ouverts disjoints $(k - \frac{1}{3}, k + \frac{1}{3})$ ne possède pas de sous-recouvrement fini de $\mathbb{N}$, puisqu’il faudrait au moins un ouvert pour chaque entier naturel.

Mais la réciproque est fausse : un ensemble fermé et borné n’est pas nécessairement compact dans un espace métrique arbitraire. C’est pourquoi la compacité admet une autre caractérisation, plus fine et plus utile dans de nombreux contextes : un sous-ensemble $K \subset X$ est compact si et seulement si toute suite de points de $K$ admet un point d’accumulation dans $K$. Cette propriété séquentielle de la compacité éclaire ses conséquences profondes, notamment dans l’analyse fonctionnelle.

La réciproque implique que tout ensemble séquentiellement compact est totalement borné. Supposons le contraire : alors il existe un rayon $r > 0$ tel qu’aucune famille finie de boules de rayon $r$ ne recouvre $K$. Une suite peut être construite par sélection successive de points hors de ces boules. Cette suite n’aura pas de point d’accumulation, contredisant l’hypothèse. Ainsi, la totalité de la borne est prouvée.

Ce qu’il est crucial d’ajouter à cette présentation est la distinction entre la compacité et la compacité séquentielle, qui, bien qu’équivalentes dans les espaces métriques, divergent dans les espaces topologiques généraux. De même, la notion de compacité locale, qui concerne la compacité des voisinages de chaque point, constitue une extension naturelle importante. Enfin, les interactions entre compacité et continuité — notamment la propriété selon laquelle l’image continue d’un ensemble compact est compacte — perm

Qu’est-ce qu’une relation, une relation d’équivalence et un ordre partiel en théorie des ensembles ?

Une relation binaire sur un ensemble $X$ se définit simplement comme un sous-ensemble $R \subseteq X \times X$. Cette notion élémentaire permet de formaliser une multitude de concepts fondamentaux en mathématiques. Au lieu d’écrire $(x,y) \in R$, on note souvent $xRy$ ou $x \sim y$, ce qui rend la lecture plus fluide. Une relation $R$ est dite réflexive si pour tout $x \in X$, on a $xRx$, autrement dit si la diagonale $\Delta_X = \{(x,x) : x \in X\}$ est incluse dans $R$. La transitivité exige que lorsque $xRy$ et $yRz$, alors $xRz$. Enfin, une relation est symétrique si $xRy$ implique $yRx$.

Une relation d’équivalence est une relation binaire qui est simultanément réflexive, transitive et symétrique. On la note généralement $\sim$. Cette relation partitionne $X$ en classes d’équivalence, où chaque classe $[x] = \{ y \in X : y \sim x \}$ rassemble tous les éléments équivalents à $x$. L’ensemble $X/\sim = \{ [x] : x \in X \}$ forme une partition de $X$ en sous-ensembles disjoints dont l’union est $X$.

Différents exemples illustrent cette notion : les relations d’égalité stricte, la relation "avoir les mêmes parents" sur les habitants d’une ville, ou encore la relation induite par une fonction $f : X \to Y$ où $x \sim y \iff f(x) = f(y)$. Dans ce dernier cas, les classes d’équivalence correspondent aux fibres de la fonction, et il existe une fonction induite $\tilde{f} : X/\sim \to Y$ qui factorise $f$.

Dans un ensemble partiellement ordonné, des éléments peuvent être incomparables, ce qui complexifie l’analyse. Les notions de borne supérieure (supremum) et borne inférieure (infimum) sont essentielles : une borne supérieure d’un sous-ensemble $A \subseteq X$ est un élément $s \in X$ tel que $a \leq s$ pour tout $a \in A$, et si cet élément est minimal parmi les bornes supérieures, on parle alors de supremum. De même pour l’infimum, qui est la plus grande borne inférieure.

Les fonctions entre ensembles ordonnés peuvent préserver l’ordre : une fonction $f : X \to Y$ est dite croissante si $x \leq y$ implique $f(x) \leq f(y)$. Cette propriété est cruciale dans de nombreux domaines, notamment l’analyse et la théorie des ordres, car elle garantit que la structure ordinale est conservée sous l’application.

Au-delà des définitions, il est essentiel de comprendre que ces concepts fournissent un cadre unificateur pour aborder des structures complexes dans de nombreux champs mathématiques. Une relation n’est pas simplement un ensemble de paires, mais un moyen d’organiser, classifier et analyser des objets en fonction de critères précis. La notion de relation d’équivalence facilite la construction de nouveaux ensembles "modulo" une relation, réduisant ainsi la complexité des problèmes. Les ordres partiels permettent quant à eux de modéliser des hiérarchies, des contraintes ou des notions de comparaison partielle.

Dans la pratique, il convient aussi de considérer comment ces relations interagissent avec d’autres structures, telles que les topologies, les opérations algébriques, ou les fonctions entre ensembles. L’étude des restrictions de relations, ainsi que des propriétés des fonctions induites, ouvre la voie à une compréhension plus fine et plus riche des systèmes mathématiques. Cette approche est indispensable pour progresser dans des domaines avancés comme la théorie des catégories, l’algèbre abstraite, ou l’analyse fonctionnelle.