La Théorème de Théétète et la Preuve Arithmétique Défavorable de la Proposition X.9 d'Euclide

La démonstration du théorème de Théétète, telle que décrite dans le passage 147d3-e1 du Théétète, a été interprétée de manière problématique dans les textes mathématiques ultérieurs, notamment dans les Éléments d'Euclide, où elle apparaît dans la Proposition X.9. Cette démonstration, principalement arithmétique, souffre de plusieurs défauts qui, bien qu'identifiables et corrigeables, ont eu un impact profond sur la manière dont l'histoire des mathématiques grecques et la philosophie de Platon ont été comprises.

La proposition X.9 dans les Éléments d'Euclide, selon l’interprétation donnée par le Scholion Anonyme aux Éléments (X.62), met en relation le théorème de Théétète avec la question de la commensurabilité des longueurs de segments de droite. Ce théorème stipule que si deux segments de droite ne sont pas commensurables, alors leurs carrés respectifs n'ont pas la même proportion que deux carrés parfaits. Cela renvoie à la démonstration arithmétique suivante : si $a$ et $b$ sont des segments de droite tels que $a^2 / b^2 = C/A$, où $C$ et $A$ sont des nombres non carrés, alors $a$ et $b$ sont incommensurables.

L’une des failles majeures de la preuve d'Euclide réside dans son incompletude sur deux points essentiels. Premièrement, Euclide suppose que $a$ et $b$ sont commensurables et en déduit, sans définir adéquatement une proportion mixte, que la proportion des carrés $a^2$ et $b^2$ devrait correspondre à celle de deux carrés parfaits. Cette démarche, qui passe outre la nécessité d'une définition rigoureuse de la proportion mixte, laisse un vide logique dans l’argumentation.

Deuxièmement, même si l’on parvient à établir cette proportion mixte, la difficulté se trouve dans la nature de cette proportion, qui est de type "mélangé", c'est-à-dire impliquant des magnitudes et des nombres naturels. Euclide, bien qu’il traite de telles proportions dans d’autres propositions, n’apporte pas la rigueur nécessaire pour expliquer cette relation.

Une réponse à cette lacune peut être trouvée dans les travaux de Knorr et Taisbak, qui proposent une définition arithmétique de la proportion mixte, permettant de compléter la preuve de la Proposition X.9. En utilisant cette définition, il devient immédiatement évident que la relation $m^2 / n^2 = C / A$ est arithmétiquement valide, et que cette proportion ne mène à aucune contradiction logique. Toutefois, cette correction n'est pas l'originale de Théétète. En fait, elle est attribuée à Archytas, un mathématicien grec de la même époque, dont les travaux ont permis de compléter et de clarifier certaines démonstrations arithmétiques dans les Éléments d'Euclide.

Une autre difficulté soulevée par la démonstration d'Euclide est l'absence d’une construction des racines dans cette démonstration. Euclide ne fournit pas la méthode pour extraire des racines carrées dans le cadre de cette démonstration, un détail qui rend la Proposition X.9 incomplète et, du point de vue des mathématiques modernes, quelque peu triviale. Si l’on prend en compte le contexte dans lequel cette démonstration a été formulée dans l'Antiquité, elle revêt toutefois une importance philosophique et mathématique considérable, bien que cela ne soit pas évident à partir de la formulation euclidienne elle-même.

Il existe une idée persistante, notamment dans certaines publications contemporaines, selon laquelle le théorème de Théétète concernant l'irrationalité des racines carrées serait contenu dans la Proposition X.9 des Éléments. Cette interprétation est erronée. Le théorème de Théétète, qui démontre l’irrationalité de certains surds, n'est pas prouvé dans cette proposition, et ce malentendu persiste malgré des clarifications dans des commentaires tels que ceux de Heath. La Proposition X.9, bien qu’elle soit d'une grande portée dans le contexte antique, ne prouve en aucune manière ce que Théétète a démontré à propos des irrationnels.

Ce qui est essentiel à comprendre, c’est que la preuve arithmétique de la Proposition X.9, bien que correcte après correction, ne représente pas la démonstration originale de Théétète. Les méthodes utilisées par Euclide et les platoniciens, influencées par des concepts plus modernes de proportion et de commensurabilité, ont facilité la correction de cette preuve, mais elles sont étrangères à l’esprit et aux outils mathématiques de Théétète.

L’analyse de cette preuve nous invite à réfléchir sur les différences fondamentales entre les méthodes antiques et modernes. En outre, l’importance de la rigueur dans les définitions et la cohérence logique des démonstrations reste un principe fondamental de la géométrie et des mathématiques en général, aussi bien aujourd'hui qu’à l’époque d’Euclide.

Quelle est la relation entre les immersions et les immersions stables-framées ?

Dans le cadre de la théorie de l'homotopie stable, les immersions stables-framées jouent un rôle central, notamment en lien avec la structure du groupe de cobordisme des immersions stables-framées, Immst−fr(n − k, k). Ce groupe est introduit dans la littérature comme une classe d'équivalence d'immersions qui sont stables et accompagnées de structures de tramage. Un élément de ce groupe est représenté par une paire $(f, \tilde{\varphi})$, où $f : M^{n-k} \to \mathbb{R}^n$ est une immersion et $\tilde{\varphi}: \nu(I \circ f) \sim (k + N)\epsilon$ est un tramage stable, c'est-à-dire un isomorphisme prescrit du faisceau normal de l'immersion $I \circ f: M^{n-k} \to \mathbb{R}^{n+N-k}$ vers le faisceau trivial $\epsilon$, où $N$ est un grand entier positif. Cette construction permet de comprendre la relation entre les immersions stables-framées et les variétés sous-jacentes qu'elles génèrent.

Les immersions stables-framées sont liées à des relations de cobordisme, où les classes d'équivalence sont équipées d'une opération de somme disjointe, formant ainsi un groupe abélien. Cette structure, analysée par la construction de Pontryagin–Thom, mène à un isomorphisme naturel entre le groupe des immersions stables-framées et les groupes d'homotopie associés à certains espaces de Stiefel. En effet, on a un isomorphisme du type $Immst−fr(n− k, k) = \pi_{N+n}(V_{n+N,n+N-k})$, avec une homomorphie de Hurewicz associée. Ces constructions sont cruciales pour comprendre comment les immersions stables-framées s'intègrent dans le cadre plus large de la théorie de l'homotopie stable.

Dans des cas particuliers où l'immersion $f$ est un plongement, le groupe des immersions stables-framées devient celui des plongements stables-framés, noté $Embst−fr(n− k, k)$. Une relation naturelle entre ces deux groupes existe, décrite par un homomorphisme naturel $f_{org}: Embst−fr(n− k, k) \to Immst−fr(n− k, k)$. Ce lien est détaillé dans un théorème fondamental, qui précise que, sauf dans des cas particuliers comme $n = k = 2l$, le homomorphisme entre les groupes tensorisés par les rationnels est un isomorphisme.

Une autre relation importante survient entre les immersions stables-framées et les immersions faiblement framées (skew-framed immersions), qui est donnée par une construction de transfert généralisée de type Khan–Priddy. Cette dernière, notée $\lambda : Immsf(n− k, k) \to Immst−fr(n, k)$, permet de transférer des structures de tramage faiblement stable à des structures de tramage stable, en construisant des immersions stabilisées codimensionnées. Ce processus repose sur des techniques sophistiquées, telles que la stabilisation des immersions et la décomposition des fibres de faisceaux en sommes de Whitney.

Dans des cas spécifiques, notamment lorsque $n = 4l + 2$ et $k = 2l + 1$, la structure du groupe des immersions stables-framées présente une invariance intéressante, à savoir l'invariant de Browder–Eccles. Cet invariant, qui est défini à l'aide de formes quadratiques sur des variétés immerses, joue un rôle crucial dans la classification des immersions stables-framées en codimension élevée. Il est en particulier lié à l'invariant de Kervaire, qui est un outil fondamental dans la théorie des immersions de haute codimension.

Il convient de noter que l'étude de ces immersions ne se limite pas simplement à la compréhension de la structure des groupes de cobordisme associés, mais implique également une analyse approfondie des propriétés géométriques et topologiques des immersions, telles que la stabilité des faisceaux normaux et les interactions entr