Comment les diagrammes de Gauss et les w-graphes définissent les liens tressés et les liens de chaînes

Lorsqu'un diagramme de Gauss est construit pour un lien tressé, chaque segment de cercle, en fonction de son orientation, contient une séquence ordonnée de têtes de flèches, pouvant être vide. La décoration des arêtes correspondantes dans le diagramme w est obtenue en remplaçant chaque tête de flèche hi par un élément t i i, où ti et εi représentent respectivement la queue et le signe de la flèche qui contient hi. Afin de réduire le nombre de sommets, les arêtes vides peuvent être contractées, comme l'illustre la figure 18.5. Cela montre qu'il existe une procédure standardisée pour obtenir un graphe w à partir d'un diagramme de Gauss pour des liens tressés.

Pour un diagramme de Gauss D d'un lien tressé soudé, on définit également un graphe w de manière similaire. Chaque composant du graphe w contient désormais deux sommets marqués, qui sont en bijection avec les extrémités des intervalles, et les arêtes correspondent aux segments orientés d'intervalle entre chaque paire de queues de flèches adjacentes et/ou aux extrémités d'intervalles. La structure de ce graphe w montre une forme très spécifique, motivant des définitions supplémentaires.

Les graphes w de type (0, 1) sont appelés cycliques si chaque composant est homéomorphe à un cercle, décomposé en sommets bivalents non marqués et en arêtes orientées, de sorte que chaque sommet ait une arête orientée entrant et une autre sortante. Ce modèle se rencontre typiquement dans les liens tressés soudés où l'orientation des arêtes joue un rôle crucial dans la définition des relations topologiques entre les composants. À l'inverse, les graphes w de type (2, 0) sont appelés linéaires si chaque composant est homéomorphe à un intervalle, composé de deux sommets marqués, de sommets bivalents non marqués et d'arêtes orientées, de telle sorte que chaque sommet non marqué ait une arête orientée entrante et une autre sortante.

La carte ψL, qui associe à un lien tressé un graphe w, et la carte ψSL, qui associe à un lien de chaîne un graphe w linéaire, sont toutes deux surjectives. Cela signifie que pour chaque graphe w de type linéaire, il existe un lien de chaîne correspondant, et de manière similaire pour les liens tressés, ce qui permet de passer de l’un à l’autre de façon naturelle en utilisant des mouvements comme les contractions et les orientations appropriées des arêtes.

En revanche, ces cartes ne sont pas injectives. Il existe des mouvements locaux qui modifient la structure d’un graphe w sans changer la nature du lien sous-jacent. Un exemple de ces mouvements est le mouvement ϒ, qui est une transformation locale sur les liens tressés et de chaînes, impliquant plusieurs versions selon le contexte des lettres et des signes dans les étiquettes de mots. Ces mouvements permettent de manipuler les graphes sans altérer les propriétés topologiques fondamentales des liens.

Le théorème central stipule que la carte ψL induit une bijection entre les graphes w de type (0, 1) et les liens tressés, à condition d’appliquer les mouvements ϒ et les réversions globales. De même, la carte ψSL induit une bijection entre les graphes w de type (2, 0) et les liens de chaînes, sous les mêmes conditions de mouvements.

Ces relations montrent non seulement la structure combinatoire des liens tressés et des liens de chaînes, mais elles révèlent également des connexions profondes avec d'autres classes de liens géométriques, notamment les liens de surfaces rubans. Un lien de surface ruban est un lien orienté dont les composants sont des tori ou des anneaux, et qui peut être réalisé par immersion dans un 4-variété. Il existe une carte surjective de ces liens de surfaces rubans vers les liens tressés et de chaînes, offrant ainsi une manière plus flexible de les étudier.

Ainsi, le lien tressé ou le lien de chaîne peut être vu comme une projection particulière d’un lien de surface ruban, ce qui permet une étude topologique et combinatoire plus générale. Ces liens sont classifiés selon leur capacité à être réalisés comme une union de corps de poignées orientés dans un 4-variété, et cette classification offre un cadre plus large pour comprendre la topologie des objets liés à des surfaces.

En somme, les graphes w et les diagrammes de Gauss offrent un langage puissant pour modéliser les liens tressés et de chaînes, tout en fournissant des outils pour comprendre leur relation avec des surfaces plus complexes et des variétés de dimension supérieure. La manipulation des graphes w et l’utilisation des transformations comme les mouvements ϒ ouvrent une voie d’approfondissement dans l’étude des structures de nœuds et de liens, enrichissant notre compréhension de la topologie des espaces tridimensionnels et quatre-dimensionnels.

Quel est l'impact des invariants topologiques sur les surfaces de Seifert et les nœuds dans les sphères rationnelles ?

Le concept d'invariants topologiques, notamment dans le cadre des nœuds et des surfaces de Seifert, est essentiel pour comprendre la structure et les propriétés des objets géométriques en topologie. Pour un espace vectoriel rationnel $V$, lorsque l'on travaille avec des produits tensoriels symétrisés tels que $V \otimes_s V$, on considère souvent des produits $u \otimes_s v$, où $u$ et $v$ sont des éléments de $V$. Ces produits sont utilisés pour étudier des structures algébriques comme $Q[[V]]$, l'algèbre des séries formelles, et leur interaction avec des morphismes algébriques naturels. Les résultats obtenus à partir de telles structures permettent de définir des invariants qui sont des outils puissants pour analyser des nœuds dans des sphères rationnelles.

Une question fondamentale se pose alors : comment ces invariants, comme les formes de Seifert symétrisées et d'autres invariants topologiques, peuvent-ils être utilisés pour étudier les nœuds dans des sphères rationnelles, en particulier dans les cas où ces nœuds sont liés à des surfaces de Seifert de genre un ? Cette question trouve sa réponse dans les travaux sur les surfaces de Seifert et les invariants associés à la topologie des nœuds.

Prenons l'exemple du théorème de Seifert qui stipule que toute surface de Seifert dans une sphère rationnelle peut être utilisée pour définir des invariants topologiques. Par exemple, pour un nœud $K$ dans une sphère rationnelle $R$, on peut étudier les formes symétrisées $V_s$ qui sont des produits tensoriels symétriques dans $H^1(E; \mathbb{Q})$, l'espace de cohomologie de la surface de Seifert $E$. Ces formes, telles que $V_s(\alpha \otimes_s \beta)$, sont utilisées pour extraire des invariants numériques qui sont des invariants topologiques de la surface de Seifert et du nœud lui-même. Le calcul de ces invariants permet d'obtenir des informations sur la géométrie et la topologie des nœuds dans des sphères rationnelles.

Un autre aspect crucial de cette théorie est la manière dont les morphismes algébriques peuvent induire des transformations entre les espaces de séries formelles. Par exemple, un morphisme $\varphi : V \to W$ entre deux espaces vectoriels rationnels induit un morphisme algébrique $\varphi^* : Q[[V]] \to Q[[W]]$, permettant ainsi de transférer les propriétés topologiques d’un espace à un autre. Cela devient particulièrement utile dans l’étude des nœuds et des surfaces de Seifert où de tels morphismes peuvent relier des propriétés algébriques et topologiques, offrant une approche unifiée pour l’étude des invariants de nœuds.

En se concentrant sur les surfaces de Seifert de genre un, un résultat remarquable est que l’invariant $W_s(D^2(\Sigma))$ de la surface $\Sigma$ dans une sphère rationnelle ne dépend pas de la surface elle-même mais est un invariant du nœud $K$. Cela découle du fait que les surfaces de Seifert liées à un nœud $K$ peuvent être modifiées de manière continue sans changer l’invariant associé, ce qui confirme que ces invariants sont des caractéristiques topologiques essentielles des nœuds et de leur environnement géométrique. En d’autres termes, ces invariants ne sont pas sensibles à la forme exacte de la surface de Seifert, mais uniquement à la structure du nœud qu’elle encadre.

Enfin, un point fondamental à comprendre dans l’étude de ces invariants est que, bien que les calculs des invariants impliquent souvent des produits tensoriels et des séries formelles, les résultats obtenus sont liés à des propriétés géométriques profondes des nœuds, comme la torsion de Reidemeister, la forme d’Alexander et les polynômes d’Alexander multivariés. Ces objets algébriques sont utilisés pour caractériser les nœuds en fonction de leur géométrie dans des espaces à trois dimensions et sont d’une importance capitale pour les recherches avancées en topologie des nœuds.

Il est important de souligner que les invariants définis par des séries formelles et les produits tensoriels symétrisés sont loin d’être des outils purement algébriques. Ils sont directement liés à des propriétés topologiques et géométriques des objets que l’on étudie. L’interaction entre les espaces vectoriels, les séries formelles et les morphismes algébriques est donc essentielle pour mieux comprendre comment les invariants topologiques se manifestent dans les sphères rationnelles et pour les nœuds.

Comment les équations de Yang–Mills relient la physique quantique aux structures mathématiques modernes

L'architecture des théories de Yang–Mills permet de prédire les probabilités des événements à haute énergie (comme ceux liés à l'électron relativiste), de manière similaire à l’équation de Schrödinger dans la mécanique quantique non relativiste. Cette approche ouvre la voie à des formulations plus complexes, qui se révèlent encore plus abstraites dans le cas des équations de Yang–Mills. En effet, celles-ci commencent par une prise en compte des champs quantiques dès le départ.

L'une des avancées majeures de la théorie de Yang–Mills réside dans sa capacité à transformer des concepts physiques initialement mathématisés en véritables concepts mathématiques purs. En d’autres termes, la théorie met en lumière des structures géométriques, au cœur desquelles se trouve la notion de faisceau principal. C’est ainsi que, sous des transformations de jauge locales — des modifications de la trivialisation locale du faisceau principal —, le champ quantique se transforme exactement de la même manière qu’une connexion (un champ de jauge) sur un faisceau principal. Ce champ de jauge, dont la force est représentée par la courbure $F_A$ de la connexion, détermine l’énergie des champs à travers la fonctionnelle d’action de Yang–Mills.

Les équations de mouvement de cette théorie sont données par les équations d'Euler–Lagrange appliquées à cette fonctionnelle d’action. Celles-ci conduisent à l’équation de Yang–Mills : $dA \, F_A = 0$, où $dA$ représente l’opérateur de Hodge appliqué à des formes différentielles. Bien que cette équation soit d'une simplicité mathématique et d'une élégance frappante, elle est aussi d'une profondeur trompeuse. L’aspect probabiliste de la théorie n'apparaît que plus tard, lorsque l'on applique l’intégration de chemins de Feynman (qui ne sont pas entièrement rigoureusement définis d’un point de vue mathématique) pour représenter les fonctions d'ondes à travers les propagateurs, éléments qui spécifient les amplitudes de probabilité pour observer des particules à des positions données.

Pour rendre cette théorie pleinement conforme aux données expérimentales, qui sont elles aussi probabilistes, il reste encore à appliquer la règle de Born, permettant ainsi de calculer les probabilités d'observation des phénomènes. À ce point, il est important de noter que le travail de Donaldson, en utilisant l’espace de modules des instantons sur des variétés de dimension quatre, montre que la version classique de la théorie de Yang–Mills, bien qu’intéressante en mathématiques pures, a une relation beaucoup plus faible avec la physique expérimentale.

Le rôle fondamental des mathématiques dans la physique moderne peut être observé dans la façon dont les outils de la topologie différentielle ont permis de pousser la théorie des champs de Yang–Mills plus loin. Cependant, contrairement à ce que certains commentaires populaires pourraient suggérer, ce sont des concepts mathématiques développés indépendamment de la physique qui ont été réintégrés dans la théorie quantique des champs (QFT), en particulier avec l'apparition des théories de jauge non abéliennes. Dans ce cadre, les développements de la théorie ont été réalisés sans référence explicite à ces outils mathématiques à la manière dont ils sont utilisés aujourd'hui.

L’exemple de l’interaction forte, modélisée par la chromodynamique quantique (QCD) et son lagrangien SU(3) de Yang–Mills, montre une complexité mathématique extrême. Ce lagrangien gouverne l'interaction des quarks et des gluons, y compris le confinement des quarks, et utilise des structures telles que les matrices de Gell-Mann et les tenseurs de champ colorés pour décrire les interactions entre ces particules. Si cette description peut sembler élégante, elle devient rapidement complexe lorsqu’on s’aventure dans les calculs de QCD, donnant lieu à des "cauchemars computationnels" bien connus des praticiens de la physique des particules.

L’importance de ce développement réside dans la capacité qu'il offre à rendre compte de phénomènes fondamentaux, comme l'asymptote de liberté et la dynamique des quarks à haute énergie, un concept qui a valu un prix Nobel à ses créateurs, David Gross, Frank Wilczek et Hugh D. Politzer. Cependant, cela souligne aussi une autre réalité : les élégantes formulations théoriques cèdent souvent le pas à une complexité calculatoire extrême, indispensable à la précision de la théorie mais également un obstacle majeur pour la compréhension intuitive.

Les théories quantiques modernes, telles que celles qui ont émergé avec la mécanique quantique de Dirac et de Schrödinger, ont établi des bases qui ont conduit à des découvertes révolutionnaires comme la QED (électrodynamique quantique) et la QCD. Cependant, bien que ces développements aient permis une description plus précise des phénomènes microscopiques, ils ne permettent toujours pas de comprendre pleinement la constitution de la réalité à ses niveaux les plus fondamentaux. Ce défi demeure une question ouverte, et la théorie quantique des champs continue de poser des énigmes qui nécessitent des avancées à la fois théoriques et expérimentales.

La physique moderne, bien qu'extrêmement sophistiquée dans ses formulations, ne fait que commencer à explorer les implications de ces concepts mathématiques et à les appliquer aux phénomènes observés. La recherche en cours sur la gravité quantique, par exemple, pourrait bien conduire à de nouvelles théories qui dépassent le cadre actuel des théories de Yang–Mills, en intégrant ces idées dans des modèles plus unifiés de l'univers.

La puissance créative de l'infini : Rencontre entre la science et la spiritualité

Il parvint à organiser une rencontre en Grèce, où le pape de Rome et le patriarche de Constantinople se retrouvèrent enfin face à face. Une fois réunis, les deux grands prêtres décidèrent qu'ils étaient désormais amis, et que cela durerait éternellement. Dès lors, le père Andrei fut toujours reçu à bras ouverts, aussi bien au patriarcat d'Istanbul qu'au Vatican. Il était désormais une figure reconnue sur la scène internationale.

Avant de pouvoir vous raconter comment le père Andrei et moi nous sommes retrouvés, il me faut revenir sur mon histoire personnelle. Je suis né dans un pays orthodoxe et j'ai été baptisé, mais mes deux enfants bien-aimés, Hannibal et Alexandra, que Milen et moi avons eu plus tard, ne l'ont pas été. Ni mes parents ni moi-même n'étions des chrétiens pratiquants, et je continue de ne pas l'être. Par tradition, mes parents et moi, enfant, allions à l'église à Noël et à Pâques, mais c'était tout. En tant que jeune adolescent, mon principal intérêt était la philosophie, et mon livre préféré, mon "livre de chevet" comme les Français le diraient, était la Critique de la raison pure de Kant. Mais j'ai ensuite évolué, passant de la philosophie à la physique, puis aux mathématiques. Finalement, je suis devenu mathématicien.

Cependant, à l'âge de dix-huit ou dix-neuf ans, mon intérêt pour la philosophie, qui était toujours vivant malgré mon virage vers les sciences, m'a conduit à découvrir le mysticisme, ce qui m'a permis de rencontrer la communauté des Iesihastos. C'est ainsi que j'ai fait la connaissance du frère Andrei. Quelques années après son départ, je rencontrai le professeur Anton Dumitriu, pour lequel il avait travaillé à la Faculté de philosophie. À ce moment-là, le professeur Dumitriu était en prison, emprisonné pour des raisons politiques. J'avais lu plusieurs de ses ouvrages traitant des paradoxes de la logique et d'autres sujets connexes, qui m'avaient beaucoup intéressé. Et maintenant qu'il était libre, nous avons fait connaissance et avons eu de nombreuses discussions passionnantes.

Cependant, ma véritable passion restait les mathématiques. En été 1962, alors que je me préparais à participer au Congrès international des mathématiciens à Stockholm, où j'étais invité en tant qu'orateur, je savais que je ne reviendrais jamais en Roumanie. Seul le père Alexe, parmi quelques rares personnes, savait que je ne comptais pas retourner dans mon pays. Il me donna alors sa bénédiction. Quelques années plus tard, en 1967, lorsque Milen et moi nous installâmes à Bures-sur-Yvette, en région parisienne, je retrouvai le père Andrei. À ce moment-là, il voyageait beaucoup et lorsqu'il s'arrêtait à Paris, il séjournait dans une cellule à l'intérieur d'un centre œcuménique dirigé par des Dominicains, appelé Istina, dans le magnifique parc de Saint-Cloud. En russe liturgique, "Istina" signifie l'éternité. Nous avons repris nos discussions, partagé des repas ensemble, et je me souviens qu'il impressionna profondément Milen.

Le père Andrei et moi avons abordé de nombreux sujets, mais nous n'étions pas toujours d'accord. En particulier, je n'étais pas toujours en accord avec ses vues sur le Tiers-Monde, auquel il s'était beaucoup attaché, ni avec ses opinions concernant notre société occidentale, qui, à mes yeux, était le seul endroit où l'on pouvait mener des recherches scientifiques dans la joie. Cependant, un sujet qui m'a toujours fasciné et que j'ai souvent abordé avec le père Andrei était le pouvoir créatif de l'infini. J'essaierai de vous donner un exemple de ce que peut accomplir cette puissance magique.

Depuis environ 1900, il existait un célèbre problème en mathématiques, la conjecture de Schoenflies. En termes simples, elle stipule que dans n'importe quelle dimension n, certains objets n-dimensionnels, a priori très différents les uns des autres, sont en réalité identiques. En 1925, on savait que pour n égal à trois ou moins, la conjecture était vraie, mais au-delà, cela restait un mystère total. Puis, à la fin des années 1950, Barry Mazur, en utilisant la puissance magique de l'infini, prouva la conjecture de Schoenflies pour tous les n ; et il n'avait que 18 ans à l'époque. Je ne vous donnerai ici qu'une caricature de son argumentation, à un niveau scolaire. Imaginons une somme infinie alternée de plus et de moins un. En organisant le calcul de deux manières différentes, l'une nous donne un, l'autre zéro. Ainsi, on "prouve" que un égale zéro, ce qui est bien sûr absurde. Mais la démonstration de Barry était d'une beauté fantastique, tellement nouvelle et originale qu'il fallut six mois à la communauté mathématique pour la comprendre et l'accepter.

Le père Andrei était très intéressé par ces idées concernant le pouvoir créatif de l'infini et par le fait qu'en utilisant cette puissance, on puisse maîtriser l'absurde. Mais la municipalité de Paris décida de transformer le parc de Saint-Cloud en un stade. Le parc fut alors effacé, Istina disparut, et le père Andrei cessa de venir. Nous avons continué à nous écrire, entre Paris et le Liban.

En 1990, lorsque le communisme tomba, le père Andrei retourna dans sa cellule au patriarcat de Bucarest, où il mourut quelques années plus tard. Mais entre-temps, il avait écrit quelques livres, dans lesquels, parmi de nombreuses autres choses, il parlait de moi, son ami. Quelques années plus tard, cela m'a valu une invitation au Vatican, à une conférence théologique. Je pensais être hors de propos dans ce contexte et, très poliment, bien sûr, je refusai.

Maintenant, vous pourriez vous demander si je crois en Dieu ou non. En quelques lignes, je tenterai de donner une réponse à cette question. Il faut d'abord dire que je ne vais pas à l'église et que la religion organisée est quelque chose de totalement étranger à ma manière de vivre. De plus, je considère que la question de l'existence de Dieu est dénuée de sens. Pour moi, le mot "existe" se réfère à ce monde, aux choses accessibles par nos sens, par l'expérimentation scientifique ou la théorie scientifique. Cela limite la question à notre univers, notre monde. Bien sûr, il existe aussi le scénario des mondes parallèles, du multivers. La théorie des cordes, mais pas seulement elle, peut suggérer cela, et personnellement, j'aime bien cette suggestion. Mais je ne pense pas que cela soit pertinent pour notre discussion actuelle. De toute façon, "exister" est un terme qui devrait être restreint à notre monde, notre univers, ou notre multivers.

Quand on regarde le monde autour de nous, il est certainement beau : des plantes et des animaux magnifiques, de splendides forêts et montagnes, sans oublier la beauté du ciel étoilé. Mais derrière la beauté de la lumière du soleil, par une journée d'été radieuse, se profile la beauté majestueuse des équations de Maxwell. La grande beauté profonde du monde réside en fait dans ses lois mathématiques. Quant à leur statut ontologique, je pense qu'il demeure un grand mystère. Bien sûr, quand il s'agit de biologie en tant que science, c'est encore un peu comme la physique avant Galilée et Descartes. Misha Gromov prédit que lorsque la biologie atteindra un stade plus avancé, des mathématiques encore inconnues et probablement immensément belles entreront en jeu. Mais cela reste à venir.

Ainsi, nous arrivons au monde des mathématiques, qui, à mes yeux, est aussi réel et objectif que notre monde. Derrière la réalité de notre monde se cache cette réalité mathématique d'une beauté inouïe. Les mathématiques sont en réalité une structure infiniment grande, infiniment complexe et fantastiquement belle. Appelons cela le château infini, et nous, humains, n'avons accès qu'à une très petite partie finie de celui-ci. À ce moment, j'aimerais penser qu'une entité, appelons-la la Transcendance, pourrait contempler le château infini dans son ensemble, tout à la fois. Imaginez saisir la totalité des entiers, d'un seul coup, comme nous saisissons un petit morceau de celui-ci. À ce niveau, l'indécidabilité de Gödel prend une tout autre dimension, et il n'y a plus de questions sans réponse.