Comment étudier la fonction de densité d'états et la concentration des électrons de surface dans les structures quantifiées et les MOSFETs magnétiques

Le modèle de dispersion des électrons dans des matériaux comme le GaSb ou l'InSb, étudié par des chercheurs tels que Zhang et al., repose sur des relations complexes qui dépendent non seulement de l'énergie des électrons, mais aussi des conditions environnementales, telles que les champs électriques et magnétiques. Ces relations peuvent être modélisées à l'aide de l'équation de dispersion $k^2 = \gamma(E)$, où $\gamma(E)$ est une fonction dépendante de l'énergie.

$$N_s = F^{ -1}(\eta)$$

$$k^2 = \gamma_{9}(E) = \left( 2B \right)^{ -1} [\delta_2 - \delta_1 E^2 + \dots]$$

$$N(E) = \delta'(E - E_{quantisé})$$

La fonction de densité d'états (DOS) est un concept fondamental pour comprendre les propriétés électroniques des systèmes à faible dimension, tels que les puits quantiques et les super-réseaux. Dans des structures semi-conductrices comme les puits quantiques en HgTe/CdTe ou dans d'autres matériaux à faible masse effective, la DOS joue un rôle essentiel pour décrire la distribution des états électroniques en fonction de l'énergie. Cependant, lorsque ces structures sont soumises à un champ magnétique, la quantification magnétique modifie la forme de cette fonction, introduisant de nouveaux comportements intéressants. En outre, les effets photoélectroniques (EP) et la génération de courants photoélectriques apportent des perspectives supplémentaires sur la manière dont les électrons réagissent à l'irradiation.

où $E_{44,n}$ représente l'énergie quantifiée dans cette situation. La fonction de densité d'états (DOS) associée à cette structure peut être exprimée par :

$$n_0 = \text{partie réelle de} \, F^{ -1}(\eta_{44,n})$$

Ici, $V_4(E_{15,14SL})$ est un facteur lié à la distribution des états électroniques sous irradiation, qui peut être calculé par la formule :

Ici, $A_2$ représente l'énergie quantifiée associée à ces structures et la densité d'états $NMQWSL(E)$ se prend sous la forme :

$$v_z B(E) = \sqrt{\frac{2}{m c^2}} \left(E - n + \hbar \omega_0 \right)$$

Cette relation montre que la vitesse des électrons photoélectriques dépend directement de l’énergie de l’électron et des paramètres physiques du système. L’intensité du courant photoélectrique par sous-bande est ensuite donnée par :

où $f(E)$ est la fonction de distribution de Fermi, et $B(E)$ représente la densité d’états par sous-bande. Ce courant photoélectrique total peut être exprimé de manière simplifiée sous la forme :

Il est à noter que la vitesse des électrons et la fonction de densité d’états se compensent mutuellement, ce qui a pour effet de rendre cette partie de l’équation indépendante des variations de la température sous des conditions de forte dégénérescence des porteurs. En d’autres termes, à température élevée, le champ magnétique ne modifie pas significativement la densité de courant photoélectrique dans un système hautement dégénéré.

Dans le cas où la dégénérescence est faible, c’est-à-dire lorsque la concentration des porteurs est faible, on observe un effet de "gel" des porteurs sous l’effet du champ magnétique, ce que l’on appelle le gel magnétique. Ce phénomène se manifeste par une diminution de la concentration des électrons avec l’intensification du champ magnétique. Cette diminution est particulièrement marquée sous la condition de non-dégénérescence, ce qui conduit à une réduction de l'énergie de Fermi, rendant ainsi le semi-conducteur moins dégénéré.

L’application d’un champ magnétique modifie la fonction de densité d’états de manière complexe. Par exemple, dans un système avec des champs croisés (électrique et magnétique), la densité d’états présente des oscillations en fonction de l’énergie des électrons. Cette variation est non seulement influencée par l’intensité du champ magnétique, mais aussi par l’intensité du champ électrique. En effet, la présence d’un champ électrique perpendiculaire au champ magnétique entraîne une modification de la forme de la fonction de densité d’états, comme le montre la relation :

$$N(E, E_0, B) = \sum_n \frac{g_v}{\pi^2 \hbar^2} \left[ (E - E_{3n})^{1/2} H(E - E_{3n}) - (E - E_{4n})^{1/2} H(E - E_{4n}) \right]$$

En ce qui concerne l’émission photoélectrique, le courant photoélectrique dans ces conditions peut être formulé comme suit :

$$J(E_0, B) = \frac{\alpha_0 e g_v}{4 L_x \pi^2} \sum_{n=0}^{n_{\text{max}}} \int \frac{\partial f(E)}{\partial E} dE$$

Un autre aspect important est que l’introduction du champ électrique modifie la forme du spectre énergétique des électrons dans un semi-conducteur, en déplaçant l’énergie de l’état fondamental. Cette modification est particulièrement visible dans les systèmes où l’énergie de Fermi est affectée par la présence d’un champ magnétique, ce qui peut entraîner une augmentation ou une diminution de la densité d’états selon les conditions d’énergie.

Finalement, il est crucial de comprendre que l’application d’un champ magnétique dans des systèmes à basse température ou dans des structures quasi-1D peut entraîner des effets très spécifiques, comme la réduction de la résistance maximale due à la suppression des états électroniques dans la direction perpendiculaire au champ. Cela limite l’effet de la quantification de la conductivité dans des structures où la mobilité des électrons est déjà restreinte. En outre, le gel magnétique et les oscillations de la densité d’états dans des systèmes à faible dégénérescence doivent être pris en compte pour prévoir le comportement électronique dans des conditions expérimentales extrêmes.

Quelle est l'application des fonctions de densité d'états dans les structures quantifiées des matériaux non paraboliques ?

Les matériaux semi-conducteurs de type IV-VI, notamment ceux présentant une structure non parabolique, présentent des propriétés électroniques particulières qui sont largement étudiées à travers les fonctions de densité d'états (DOS). Ces fonctions, qui décrivent la distribution des états électroniques dans un matériau à une énergie donnée, jouent un rôle central dans la compréhension des propriétés électroniques des structures quantifiées, telles que les puits quantiques (QWs) et autres dispositifs à faible dimensionnalité.

Le modèle de densité d'états pour les matériaux IV-VI peut être formulé en fonction de l'énergie de Fermi (EF) et du quantum de nombre d'onde. Ce modèle tient compte de la non-paraboliques des bandes, qui modifie la forme traditionnelle de la fonction de densité d'états. Le calcul de la densité d'états totale dans un matériau quantifié peut être écrit de manière concise comme une somme sur les sous-bandes d'énergie quantifiée, qui dépendent de l'énergie de Fermi et du nombre quantique associé à la direction de la quantification.

Une des particularités des matériaux non paraboliques est l'effet de l'anticrossing des bandes, ce qui rend l'expression de la fonction de densité d'états plus complexe. En conséquence, la concentration des électrons, qui est directement liée à cette fonction, ne suit pas simplement une relation linéaire ou quadratique comme dans les matériaux paraboliques. De plus, l'effet de l'écart de bande, et notamment des queues de bandes, peut introduire des corrections importantes à la densité d'états et, par conséquent, à la concentration des porteurs.

L'expression générale de la densité d'états dans les structures quantifiées peut être vue comme une fonction du produit de la densité d'états de chaque sous-bande multipliée par une fonction de Heaviside $H(E - E_{n_z})$, qui sélectionne les états à une énergie $E_{n_z}$ plus petite que l'énergie de Fermi. Ce terme permet d'incorporer l'effet de la quantification de l'énergie dans des structures à faible dimension.

L'étude de la concentration d'électrons dans ces matériaux sous forte dégénérescence des porteurs montre que cette concentration est aussi une fonction non triviale des paramètres énergétiques. Par exemple, la concentration d'électrons dans une structure quantifiée peut être donnée par l'intégrale de la fonction de densité d'états sur les états occupés, prenant en compte les effets de non-paraboliques, ainsi que les contributions des queues de bandes.

Il est également essentiel de comprendre que, dans les matériaux à faible dimension, les interactions électroniques sont fortement influencées par la quantification de l'énergie et les effets de confinement spatial. La taille des structures (par exemple, les puits quantiques) peut modifier considérablement la densité d'états et la dynamique des porteurs. Par conséquent, la compréhension des fonctions de densité d'états dans ces matériaux n'est pas seulement cruciale pour la modélisation théorique, mais aussi pour le développement pratique de dispositifs à faible dimension, tels que les transistors à effets de champ quantiques, où la gestion de la densité d'états joue un rôle clé dans la performance de ces dispositifs.