Quelle est la charge critique pour le flambement d'une poutre encastrée à ses deux extrémités ?

La recherche de la charge critique d'une poutre encastrée aux deux extrémités représente un exemple riche et révélateur de l’interaction entre la théorie des bifurcations et les méthodes numériques dans la mécanique des structures. Le problème se formule par une équation caractéristique non linéaire en la variable μ, liée à la longueur propre de flambement, pour laquelle on cherche les racines positives à l’aide d’une itération de Newton.

La détermination des fonctions propres associées est aussi essentielle pour caractériser les modes de flambement. En posant ζ = x/L, la forme déformée de la poutre s’écrit comme une combinaison linéaire de sinusoïdes modifiées, où les constantes doivent être soigneusement choisies en fonction de la parité de l’indice n associé à la racine μₙ. Pour les indices impairs (n = 1, 3, 5, …), les conditions aux limites imposent D₄ = 0 et D₃ = -1, ce qui donne une fonction propre du type φₙ(ζ) = 1 - cos(μₙζ). Pour les indices pairs (n = 2, 4, 6, …), l’expression devient plus complexe, faisant intervenir à la fois cos(μₙζ) et sin(μₙζ) avec des coefficients dépendants de μₙ.

Walther Ritz généralise cette approche en proposant de chercher w(x) comme combinaison linéaire de fonctions connues, appelées fonctions de Ritz, ce qui permet de ramener le problème à une forme matricielle. Cette reformulation conduit naturellement à un problème aux valeurs propres : trouver les a ≠ 0 tels que (K - PG)a = 0, où K et G sont des matrices issues du produit scalaire des dérivées des fonctions de base. La valeur minimale de P pour laquelle cette équation a une solution non triviale correspond à la charge critique. L’élégance de cette méthode réside dans sa capacité à transformer un problème différentiel continu en un problème algébrique discret, tout en conservant la structure fondamentale du système.

Dans le cas d’une poutre en porte-à-faux, encastrée à une extrémité et soumise à une force axiale à l’autre, on utilise une approximation cubique : w(ζ) = a₁ζ² + a₂ζ³. Les fonctions de Ritz sont alors ζ² et ζ³, qui satisfont les conditions essentielles w(0) = w′(0) = 0. L’application directe de la méthode conduit à l’assemblage des matrices K et G, et à la résolution du problème de stabilité via l’annulation de la plus petite valeur propre de A = K - PG.

Il est important de souligner que ces méthodes, bien que numériques ou semi-analytiques, ne se contentent pas d’approcher une solution ; elles révèlent aussi la nature profonde de l’instabilité et du comportement structurel post-critique. La structure du problème, qu’elle soit exprimée sous forme différentielle ou matricielle, possède une symétrie intrinsèque qui se manifeste dans les fonctions propres et les valeurs propres associées.

Ce que le lecteur doit également retenir, c’est que la stabilité ne se résume pas à la seule identification d’une valeur critique : c’est une propriété globale du système qui dépend des conditions aux limites, de la géométrie de la structure, des choix de fonctions tests, et même des imperfections présentes. La capacité à interpréter les fonctions propres comme modes de flambement réels est essentielle pour passer du calcul abstrait à la compréhension physique, ce qui constitue la finalité véritable de l’analyse de stabilité dans la mécanique des structures.

Comment comprendre les contraintes normales et de cisaillement dans les poutres en fonction des charges appliquées?

Les valeurs de contrainte dans une poutre sous charges peuvent être calculées par des formules classiques, qui dépendent de plusieurs paramètres, tels que la géométrie de la poutre, les propriétés du matériau et les conditions de charge. L'exemple donné dans la section 9.1 montre comment calculer les contraintes normales et de cisaillement en fonction de la charge maximale appliquée. Pour une poutre soumise à une charge uniforme, la contrainte normale (σ_max) et la contrainte de cisaillement (τ_max) peuvent être calculées à l’aide des relations suivantes.

La formule de la contrainte normale est donnée par :

où $M_{\text{max}}$ est le moment maximal appliqué à la poutre, $L$ est la longueur de la poutre, $h$ est la hauteur de la section transversale, et $I$ est le moment d'inertie de la section transversale.
D'autre part, la contrainte de cisaillement est donnée par la formule :

où $V_{\text{max}}$ est la force de cisaillement maximale et $Q(0)$ est le premier moment d'aire, dépendant de la géométrie de la section de la poutre.

La théorie linéaire des poutres et son application aux structures

La théorie linéaire des poutres repose sur un modèle mathématique dans lequel les équations différentielles gouvernantes peuvent être résolues par des méthodes classiques. Cette théorie, fondée sur l'hypothèse de petites déformations, permet de modéliser le comportement des poutres soumises à diverses charges et conditions de soutien. L'une des premières étapes de l'application de cette théorie consiste à dériver les équations linéaires à partir des équations non linéaires qui décrivent le comportement d'une poutre dans des conditions plus réalistes, comme celles impliquant de grandes déformations.

Les résultats obtenus par cette approche peuvent être appliqués à différents types de poutres : celles qui sont statiquement déterminées et indéterminées, les poutres prismatiques et non prismatiques, celles qui comportent des articulations internes, ou encore celles soumises à des charges ponctuelles. Dans chaque cas, la méthode de résolution reste identique, mais la variation des charges appliquées et des conditions de support rend chaque problème unique. L’analyse se distingue ainsi par la nature des charges appliquées, des conditions aux bords et, pour les poutres non prismatiques, par la variation du module de flexion.

Propriétés géométriques et comportement sous charge

Le comportement d'une poutre sous charge dépend de plusieurs facteurs. Tout d'abord, les propriétés du matériau jouent un rôle majeur à travers le module de Young, qui caractérise la rigidité du matériau à la déformation. Ensuite, les caractéristiques géométriques de la section transversale de la poutre, telles que l'aire de la section et les premiers et seconds moments d'aire, influencent directement la distribution des contraintes à l'intérieur de la poutre. Enfin, la nature et la distribution des charges appliquées ainsi que les conditions aux bords (support simple, encastrement, charnière) sont cruciales pour déterminer l'intensité et la localisation des contraintes.

Importance des moments d'aire et du module de flexion

Il est essentiel pour le lecteur de comprendre que, bien que les contraintes normales et de cisaillement puissent être calculées directement à partir des équations ci-dessus, la géométrie de la section de la poutre joue un rôle fondamental dans la détermination de ces contraintes. En particulier, le moment d'inertie de la section, $I$, et le module de flexion $EI$, sont cruciaux. La résistance d'une poutre à la flexion ne dépend pas uniquement de son matériau, mais aussi de la manière dont sa section est configurée. Une section plus grande ou une section avec des matériaux plus rigides répartis de manière optimale (par exemple, une section en I) augmentera la résistance à la flexion.

Enfin, il est utile de rappeler que l’analyse manuelle effectuée dans les chapitres précédents peut être automatisée à l’aide d’un algorithme de calcul, permettant une résolution plus rapide et plus précise des problèmes de poutres complexes.