La théorie de l'intégrabilité de Lebesgue et son application au cas des fonctions mesurables

Soit $f \in L^0(X, \mathcal{P}, \mathbb{R})$. La fonction $f$ est intégrable de Lebesgue par rapport à $\mathcal{P}$ si et seulement si elle est $\mathcal{P}$-intégrable. Dans ce cas, l'intégrale de Lebesgue de $f$ sur $X$ coïncide avec l'intégrale de Bochner-Lebesgue. Autrement dit, pour les fonctions à valeurs réelles, la définition de l'intégrabilité de Lebesgue des fonctions à valeurs dans $\mathbb{R}$ est cohérente avec la définition donnée dans la section 2.5. Ce résultat découle directement du théorème 3.9 et de la remarque 3.3(e).

Une conséquence importante de ce résultat est que pour tout $\epsilon > 0$, il existe un $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tous $k, j > N$, l'inégalité $\int_X |f_k - f| \, d\mathcal{P} < \epsilon$ soit satisfaite. Cela implique que la suite $(f_j)$ forme une suite de Cauchy dans $L^1(X, \mathcal{P}, \mathbb{E})$, et grâce à la complétude de $L^1(X, \mathcal{P}, \mathbb{E})$, on peut conclure que la suite converge dans cet espace.

L'exemple mentionné dans la remarque 3.6(a) souligne que l'existence d'une fonction dominante intégrable est cruciale pour l'application du théorème de convergence dominée. En effet, sans cette fonction dominante, la convergence de l'intégrale pourrait ne pas être garantie, ce qui rend ce théorème un outil fondamental pour démontrer l'intégrabilité des fonctions mesurables.

Comment relier divergence, gradient, rotationnel et leur sens géométrique sur une variété pseudo-riemannienne

Lorsque l’on travaille sur une variété pseudo-riemannienne orientée de dimension trois, la structure différentielle et métrique permet une reformulation élégante des opérateurs fondamentaux du calcul vectoriel classique : gradient, divergence, rotationnel. Ces opérateurs ne sont plus de simples constructions formelles, mais se révèlent comme des manifestations naturelles du langage des formes différentielles et de la géométrie extérieure.

Dans ce contexte, le gradient d’une fonction f est défini comme la duale, via la métrique, de la différentielle df. Localement, si v est un champ de vecteurs s’exprimant par v = ∑ vʲ ∂/∂xʲ dans une carte positive, alors on retrouve (grad f | v)_M = df(v) = ∑ (∂f/∂xʲ) vʲ. Cette relation identifie le produit scalaire entre le gradient de f et v à l’évaluation de la différentielle df sur v. À partir de cette relation et de l’interprétation du volume local par la forme de volume u_M, on obtient l’identité classique pour la divergence d’un champ de vecteurs pondéré : div(fv) u_M = d((fv) ⨼ u_M) = (grad f | v)_M u_M + f div v u_M. L’opérateur divergence agit ainsi comme une dérivation du produit f v, reflétant la règle de Leibniz dans la géométrie différentielle.

Lorsque la dimension est exactement trois, on peut définir l’opérateur rotationnel, ou curl, à partir de l’exigence de commutativité du diagramme reliant champs de vecteurs et formes différentielles. On impose que (curl v) ⨼ u_M = d(ω_v), où ω_v est la 1-forme associée à v via la métrique. Ce n’est donc qu’en dimension trois que cette construction est bien définie, ce qui reflète l’unicité du produit vectoriel tridimensionnel.

Dans un système de coordonnées orthonormées, le rotationnel prend sa forme classique : curl v = (∂₂v₃ - ∂₃v₂) e₁ + (∂₃v₁ - ∂₁v₃) e₂ + (∂₁v₂ - ∂₂v₁) e₃. Cela coïncide avec le développement du déterminant formel faisant intervenir les dérivées partielles et la base canonique de ℝ³, bien que cette écriture formelle masque les subtilités géométriques sous-jacentes. Elle reste néanmoins utile dans le cadre euclidien, en particulier pour les applications en physique et en ingénierie.

Il est remarquable que ces opérateurs satisfassent des relations de compatibilité naturelles issues du fait que d² = 0 : le rotationnel d’un gradient est nul, et la divergence d’un rotationnel est également nulle. Ces propriétés sont immédiatement visibles à travers le diagramme commutatif reliant les espaces de formes différentielles Q⁰(M) → Q¹(M) → Q²(M) → Q³(M), où chaque flèche est l’opérateur extérieur d. La construction géométrique des opérateurs vectoriels se révèle ainsi comme une simple transcription du langage des formes différentielles, rendant leur structure conceptuellement transparente.

Ces résultats permettent également d’établir l’existence de potentiels. Sur un ouvert contractile de ℝ³, si curl v = 0, alors il existe une fonction f telle que v = grad f. Inversement, si div v = 0, alors v est le rotationnel d’un autre champ de vecteurs w. Cela découle du lemme de Poincaré, qui affirme que toute forme différentielle fermée est exacte dans un ouvert contractile. La formulation moderne, exprimée à l’aide du crochet intérieur et de l’opérateur d, montre que les conditions de conservativité ou de solénoïdalité d’un champ vectoriel s’interprètent par la clôture de formes différentielles associées.

Au-delà de ces formulations, il est essentiel de comprendre que les définitions de grad, div et curl, ainsi que leurs propriétés, reposent sur la structure différentielle et métrique de la variété. Par exemple, la définition du rotationnel nécessite non seulement que la variété soit de dimension trois, mais aussi qu’elle soit orientée et munie d’une métrique permettant d’identifier formes et vecteurs. Le rôle central joué par la forme volume u_M, par l’opérateur extérieur d, et par l’operation de contraction ⨼ souligne à quel point ces constructions sont naturelles dans le cadre du formalisme différentiel.

Les généralisations à des variétés non euclidiennes obligent à abandonner l’usage de symboles formels comme le nabla ∇, inapproprié hors du cadre euclidien. Dans le contexte riemannien, ∇ désigne généralement la connexion de Levi-Civita, distincte des opérateurs extérieurs utilisés ici. Il importe donc de distinguer rigoureusement les notations selon le