Nous rappelons l'expansion réduite de Magnus RF(μ1,…,μk)→Z⟨⟨X1,…,Xk⟩⟩/RRF(\mu_1, \dots, \mu_k) \to Z\langle\langle X_1, \dots, X_k \rangle\rangle / R, où ϵXi\epsilon X_i prend des valeurs dans le quotient de l'anneau Z⟨⟨X1,…,Xk⟩⟩Z\langle\langle X_1, \dots, X_k \rangle\rangle des séries formelles en variables non commutatives, modulo l'idéal RR engendré par les monomes contenant au moins deux fois la même variable. L'expansion réduite de Magnus est connue pour être injective, comme on peut le vérifier dans des travaux précédents [35].

Pour chaque i∈{1,…,k}i \in \{1, \dots, k\}, j∈{2,…,mi}j \in \{2, \dots, m_i\}, et pour chaque séquence I=i1…irI = i_1 \dots i_r d'entiers distincts dans {1,…,k}∖{i}\{1, \dots, k\} \setminus \{i\}, nous définissons μ(I;i,j)\mu(I; i, j) comme le coefficient de Xi1…XirX_{i_1} \dots X_{i_r} dans E(αij)E(\alpha_{ij}). Ces coefficients sont appelés les invariants non répétés de Milnor de la forêt soudée F\mathcal{F}.

L'existence de ces invariants est bien définie. En effet, comme indiqué plus haut, la forêt soudée possède un ensemble préféré de méridiens (cf. remarque 18.3.13), et les mi−km_i - k longitudes d'arc formant son système périphérique réduit induisent des éléments bien définis αij\alpha_{ij} dans RG(F)=RF(μ1,…,μk)RG(\mathcal{F}) = RF(\mu_1, \dots, \mu_k), dont l'invariance sous la virtualisation autonome résulte directement de la proposition 18.3.20.

La proposition 18.3.27 présente un résultat de classification crucial : deux forêts soudées sont équivalentes par un mouvement sv si et seulement si elles possèdent les mêmes invariants non répétés de Milnor.

Nous revenons maintenant à la topologie de dimension 4 et à l'étude des sphères percées nouées. Une union de kk sphères percées nouées est l'image d'une immersion propre dans B4B^4, où chaque sphère SiS_i est une sphère 2-dimensionnelle avec mim_i disques disjoints retirés, et son bord est envoyé sur un unlink fixé UU dans ∂B4=S3\partial B^4 = S^3, jusqu'à isotopie fixant le bord. Cette union est dite de type (m1,…,mk)(m_1, \dots, m_k).

L'objectif est de classifier ces unions de sphères percées nouées jusqu'à la link-homotopie, où deux telles unions sont link-homotopiques si elles peuvent être obtenues par immersion propre tout en maintenant les composants distincts disjoints et en envoyant leur bord sur UU.

L'un des résultats notables dans ce cadre est une généralisation du théorème 3.5 de [6]. Proposition 18.4.3 stipule que toute union de sphères percées nouées est link-homotopique à une union de rubans. Ce résultat découle d'une stratégie en trois étapes : d'abord, on considère le bord ∂S\partial S comme un unlink et on rétrécit une voisine de ce bord, ce qui permet de traiter SS comme un lien à 2 composants ; ensuite, à l'aide d'un théorème de Bartels et Teichner, on peut montrer qu'il existe une link-homotopie transformant ce lien en une union disjointe de sphères non nouées.

Les invariants de Milnor liés à ces unions de sphères percées nouées ont été définis dans [7, Sec. 5.2.3], et peuvent se décliner en trois catégories : les cartes de Milnor, les invariants de boucle de Milnor et les invariants d'arc de Milnor. Les deux premiers sont extraits des longitudes de boucle, mais dans le cas d'une union de sphères percées nouées, ces invariants sont triviaux, étant donnés par des courbes parallèles aux composants du bord, qui sont des copies du nœud trivial. Les invariants d'arc sont définis en poussant dans B4∖SB^4 \setminus S et en fermant de manière canonique les arcs de type bord à bord, ce qui définit une collection d'éléments du groupe fondamental réduit de B4∖SB^4 \setminus S.

En prouvant le théorème 18.4.4, on montre que les unions de sphères percées nouées sont classifiées, jusqu'à la link-homotopie, par leurs invariants non répétés de Milnor. Ce théorème repose sur les résultats de la proposition 18.4.3, et sur la proposition 18.3.27, selon laquelle les forêts soudées ayant les mêmes invariants non répétés de Milnor sont équivalentes par mouvement sv, ce qui permet d'établir l'équivalence de link-homotopie entre deux telles unions.

Un corollaire intéressant de ce résultat, à savoir que les disques liés (c'est-à-dire des unions de sphères percées nouées à un seul trou) sont link-homotopiquement triviaux, résulte directement de ce théorème. En particulier, un lien de tranche admet une union unique de disques de tranche en 4-dimensions, ce qui est également un corollaire direct de l'étude des invariants de Milnor et de la classification des unions de sphères percées nouées.

En résumé, les invariants non répétés de Milnor constituent un outil fondamental pour classifier les unions de sphères percées nouées jusqu'à la link-homotopie. Cette approche s'applique non seulement à des cas classiques comme les liens à deux brins, mais aussi à des cas plus généraux, ce qui ouvre la voie à des extensions vers des classes plus larges de liens de surfaces dans la topologie en 4 dimensions.

Comment les basins et les co-basins influencent la topologie des fonctions différentielles sur la sphère 3D

Soit un bassin B(m)B(m), défini dans un cadre topologique donné, où l'on distingue les basins et les co-basins en fonction de leurs propriétés géométriques et topologiques. Un co-bassin joint B∗B^* est une boule maximale dont la frontière est constituée de deux parties : un disque horizontal ∂FB∗\partial F B^*, où l'on désigne par z0z_0 son niveau, et un disque ∂LB∗\partial L B^*, contenu dans la frontière LL-de B(m)B(m). Ce co-bassin est caractérisé par une particularité importante : son seuil ss, unique et défini par le λ\lambda-saddle, possède une propriété particulière d’intersection avec les séparatrices, ce qui rend la structure du co-bassin unique dans son environnement immédiat.

La configuration du co-bassin est fortement liée à la structure des basins, en particulier la relation de séparation entre les minima et les maximums dans l’espace de niveau. Le minimum d'une fonction ff sur B(m)B(m) est réalisé en mm, et l’ensemble de l'arc de contact descendant d'un point de contact positif sur ∂LB(m)\partial L B(m) descend vers une inflexion dans l'intérieur de B(m)B(m). Cette dynamique montre que le bassin B(m)B(m) est une structure de type puits, se fermant sur des seuils de saddles définis par des inflexions particulières. Ainsi, un bassin, tel qu'un co-bassin, est souvent comparé à une poche dans la géométrie dynamique : une cavité qui, tout en étant connectée à l’ensemble global de l’espace, est définie par un seuil et un minimum particulier dans son voisinage.

Lorsque l’on se penche sur la complexité inférieure d'un tel système, κ−(f,β)\kappa^{ - }(f, \beta), celle-ci est définie par un couple d'entiers non négatifs qui mesurent la topologie du système dans un domaine donné. L’aspect de cette complexité inférieure est déterminé par les arcs de contact des minima négatifs, dont l’apparition est associée à des inflexions particulières, telles que l’inflexion I0I_0 qui génère une naissance d’arc de minima négatifs. Ces minima sont accidentels lorsque les conditions de leur frontière sont remplies, notamment lorsqu’ils contiennent soit deux saddles, soit une inflexion négative. Ce mécanisme révèle des comportements topologiques subtils qui ont des implications profondes pour l’analyse de la dynamique des basins et des co-basins.

La présence de telles structures accidentelles, qui peuvent modifier la topologie des basins, est significative. Elle peut introduire des comportements non trivials dans la dynamique des difféomorphismes. Par ailleurs, lorsqu’on applique des isotopies conjugantes de contact à ces systèmes, on peut déplacer ces structures tout en conservant l’ensemble des contacts fixes. Cette isotopie, soutenue dans le domaine 0<f<1/20 < f < 1/2, permet de moduler la topologie des basins sans perturber la structure de contact des minima négatifs. Une fois l'isotopie effectuée, on constate que les co-basins joints au bassin B(m)B(m) peuvent être isolés et dissociés, ce qui simplifie la structure topologique de l'ensemble. En effet, l’élimination des co-basins joints joue un rôle crucial dans la réduction de la complexité du système.

L’importance de cette approche réside dans le fait que la compréhension de ces phénomènes est nécessaire pour étudier les propriétés des difféomorphismes sur la sphère 3D et les applications de cette analyse à la théorie des systèmes dynamiques. L'élimination de la complexité inférieure, à travers des isotopies successives, permet de simplifier l’étude des interactions topologiques entre les différents éléments du système. C'est en décomposant et en isolant ces structures complexes que l’on peut espérer obtenir une vue d’ensemble plus claire du comportement des difféomorphismes.

Les résultats de ce processus de réduction de la complexité, grâce à des isotopies qui modifient la structure tout en conservant les points de contact essentiels, permettent de prouver des théorèmes importants concernant les difféomorphismes. La complexité supérieure, définie par la symétrie z→1−zz \to 1 - z, peut être abordée de manière similaire, avec des résultats symétriques concernant les minima et les saddles positifs. Les isotopies successives dans le cadre de cette démarche permettent ainsi de réduire la complexité, en éliminant les arcs de contact négatifs et en isolant les basins et leurs interactions.

Dans l’ensemble, la compréhension des basins et des co-basins, ainsi que des mécanismes qui gouvernent leur évolution sous isotopie, est essentielle pour la compréhension de la topologie des difféomorphismes sur des espaces complexes tels que la sphère 3D. La réduction de la complexité inférieure et supérieure ouvre la voie à une analyse plus claire des structures dynamiques sous-jacentes, avec des applications potentielles dans les domaines de la géométrie différentielle et de la topologie des systèmes dynamiques.

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