Quelles sont les conditions d’arbitrage et de complétude dans un modèle de marché ?

Dans l’étude des marchés financiers, la notion d’arbitrage joue un rôle central, car elle sert de fondement à la théorie moderne de l’évaluation des actifs. Une option est dite « in the money » lorsque son prix d’exercice est avantageux par rapport au prix du sous-jacent, sinon elle est « out of the money ». Les bornes universelles d’arbitrage encadrent le prix des options, assurant qu’aucune opportunité de profit sans risque ne soit possible. Ces bornes, formalisées par des inégalités précises, sont souvent atteintes dans des modèles simples mais significatifs. Par exemple, dans un modèle où l’actif risqué suit une loi de Poisson discrète à paramètre 1, la mesure risque-neutre peut être construite de telle sorte que ces bornes soient exactes. Ainsi, la valorisation des options trouve une limite précise entre le prix minimal et maximal admissible sans créer d’arbitrage.

La théorie s’étend naturellement aux options put et call, et la parité put-call garantit que les bornes d’arbitrage s’appliquent symétriquement à ces instruments. Le marché étant supposé sans arbitrage, les prix des dérivés convexes, comme les options à payoff convexe, respectent également des inégalités bornées par les valeurs extrêmes du sous-jacent et le taux sans risque. Cela traduit l’interdépendance des prix des dérivés et l’importance des propriétés convexes dans l’évaluation.

Lorsque plusieurs titres contingent sont négociés simultanément, la définition des prix d’arbitrage s’étend naturellement : ces prix doivent être cohérents entre eux, autrement dit ils doivent préserver l’absence d’opportunité d’arbitrage lorsqu’on considère le marché agrandi. Par exemple, les prix de différentes options put avec des prix d’exercice croissants doivent respecter une hiérarchie, garantissant que les spreads baissiers (bear put spreads) ne puissent générer de profits sans risque. Cette structure impose des contraintes linéaires et convexes sur les prix, liées à la théorie des spreads et à la convexité des payoffs.

La structure d’un marché complet est finie et peut être réduite à un espace probabiliste fini avec un nombre limité d’atomes, au plus égal au nombre d’actifs plus un. Cette finitude résulte du fait que l’ensemble des variables aléatoires réalisables par des portefeuilles est un espace vectoriel de dimension finie. Chaque atome correspond à une situation de marché distincte, sans subdivision possible, sur laquelle la probabilité est strictement positive. Cela garantit que tout actif contingent peut s’exprimer comme une combinaison linéaire des actifs de base.

Enfin, le caractère non-redondant d’un modèle complet implique que la filtration du marché est engendrée par les actifs eux-mêmes, sans information supplémentaire. Ainsi, la connaissance des prix des actifs à un instant donné suffit à décrire entièrement la dynamique des actifs dérivés et leur valorisation future. Un exemple simple illustre ce concept : un modèle binaire à deux états où le prix de l’actif risqué peut prendre deux valeurs distinctes selon un paramètre probabiliste. Dans ce cas, la condition d’absence d’arbitrage impose que le prix actuel soit une moyenne pondérée des deux valeurs possibles du sous-jacent, avec des poids strictement positifs. Cette restriction conforte la théorie qui relie la probabilité risque-neutre à la valorisation sans arbitrage.

Comment minimiser efficacement le risque de perte dans la couverture financière ?

Dans le contexte de la gestion des risques financiers, la minimisation du risque de perte, ou risque de shortfall, se présente comme une problématique centrale lorsque l'on cherche à couvrir un actif ou une créance avec un capital limité. La fonction de perte joue ici un rôle essentiel pour caractériser la nature du risque que l’investisseur souhaite réduire.

Considérons d’abord les fonctions de perte de la forme ℓ(x) = x^p, avec p > 1, qui traduisent une aversion croissante au risque, particulièrement aux pertes importantes. La couverture optimale consiste alors à ajuster la réclamation à couvrir, H, par un profil modifié Hψ_p^∗ = H − (c_p ⋅ φ^∗)^{1/(p−1)} ∧ H, où le coefficient c_p est calibré pour respecter la contrainte budgétaire sous la mesure martingale équivalente P^∗. Ce mécanisme réduit l’exposition aux pertes importantes en adaptant la couverture à la forme spécifique du risque perçu.

Dans la limite lorsque p tend vers l’infini, correspondant à une aversion extrême au risque, le profil optimal converge vers une forme de couverture avec un seuil constant c_∞, aboutissant à un actif modifié (H − c_∞)^+. Ce résultat offre une perspective nette sur la structure de la couverture sous une contrainte forte d’évitement des pertes majeures, traduisant la transformation progressive du problème vers une forme de super-hedging sous un capital donné.

Si l'on considère un cas de neutralité au risque, avec une fonction de perte linéaire ℓ(x) = x, la minimisation du risque de shortfall revient à maximiser l’espérance sous une contrainte budgétaire. Le problème se reformule alors en un problème classique de test d’hypothèse où la stratégie optimale s’apparente à une règle seuil, avec un indicateur caractéristique 1{φ^∗ < c_1}, où c_1 est déterminé par l’équation de contrainte. Ce cadre illustre comment l’approche statistique du test d’hypothèse peut modéliser la décision optimale en présence d’un capital limité et d’une distribution des pertes.

À l’opposé, pour un investisseur plutôt enclin à prendre des risques, la fonction de perte devient concave (exemple avec ℓ(x) = x^q, q ∈ (0,1)), ce qui modifie fondamentalement la nature du problème. Dans ce contexte, la minimisation du risque de shortfall passe par la maximisation d’une espérance sous des mesures probabilistes modifiées, conduisant à une règle de test impliquant un seuil fonction de φ^∗ H^{1−q}. Cette situation reflète un appétit au risque élevé où les pertes potentielles sont moins redoutées, et la stratégie peut inclure une prise de risque calculée plus grande.

En examinant la limite q → 0, on retrouve la notion de couverture quantile (quantile hedging), où la stratégie devient un indicateur à seuil sur φ^∗ H, aboutissant à une solution de couverture « knock-out » : la position est couverte uniquement si une condition probabiliste sur le rapport φ^∗ H est satisfaite. Cette transition révèle comment l’aversion au risque conditionne directement la forme et la nature des stratégies optimales.

Il est crucial de comprendre que la nature de la fonction de perte ou de la mesure de risque adoptée influence profondément la forme optimale de la couverture. L’aversion au risque, qu’elle soit forte, faible ou même négative, modifie la structure des stratégies, passant d’une couverture complète à une couverture partielle pondérée par des seuils probabilistes. Le choix des mesures probabilistes équivalentes P^∗, Q, Q^∗ joue un rôle déterminant dans la modélisation et la résolution du problème, puisqu’elles traduisent les perceptions du risque sous-jacent dans des marchés complets ou incomplets.

De plus, la compréhension des limites asymptotiques lorsque les paramètres d’aversion au risque varient permet d’éclairer les comportements extrêmes des investisseurs, et les solutions associées, telles que le super-hedging ou le quantile hedging, qui représentent des cas limites de la théorie. Cette approche montre la flexibilité et la richesse du cadre mathématique permettant de modéliser des préférences diverses dans la gestion des risques.

La maîtrise des concepts probabilistes, comme les mesures équivalentes martingales et les techniques de test d’hypothèses statistiques, est indispensable pour appréhender ces mécanismes de couverture. Enfin, la nature des contraintes budgétaires impose une réflexion approfondie sur la relation entre capital initial et risques acceptables, conditionnant la faisabilité et la forme des stratégies optimales.

Comment mesurer le risque monétaire d’une position financière ?

Pour une appréciation plus robuste, on utilise une classe de mesures de risque qui respectent des axiomes fondamentaux, visant à modéliser la perception du risque à travers des préférences robustes. Ainsi, la notion de « robust shortfall risk » se définit comme la borne supérieure sur une famille de mesures de probabilité Q de l’espérance d’une fonction de perte convexe ℓ appliquée à la position négative, L(X) = sup_{Q ∈ Q} E_Q[ℓ(−X)]. Cette formulation traduit la volonté d’appréhender le risque sous différents scénarios probabilistes, reflétant l’incertitude ou l’ambiguïté sur la vraie loi des gains et pertes.

Au-delà de la perspective de l’investisseur, celle de l’autorité de contrôle impose une lecture monétaire du risque : le risque se mesure alors en termes de capital minimal nécessaire pour rendre une position acceptable, en l’ajoutant à celle-ci et en l’investissant sans risque. Ce concept est formalisé par l’axiome d’invariance par translation monétaire, ou cash invariance, qui stipule que la mesure de risque ρ vérifie ρ(X + m) = ρ(X) − m pour tout montant m. Cette propriété garantit que le capital ajouté réduit directement la charge de risque. En outre, la monotonie impose que si une position X est partout inférieure à une autre position Y, alors son risque doit être au moins aussi grand, reflétant la logique économique que l’augmentation des gains diminue le risque.

Cette construction axiomatise un cadre rigoureux pour mesurer le risque financier, permettant d’intégrer à la fois la perception subjective de l’investisseur, les contraintes réglementaires et la diversité des scénarios possibles. Une caractéristique essentielle est la loi d’invariance, qui garantit que la mesure dépend uniquement de la distribution de la position sous une certaine mesure de probabilité, renforçant ainsi la robustesse des conclusions.

Par ailleurs, la distinction entre profit et perte doit être bien comprise : on travaille en général sur les profits et pertes actualisés (P&L), souvent avec un facteur d’actualisation lié à un taux sans risque. Ce choix facilite l’interprétation monétaire du risque et assure la cohérence avec les instruments financiers standardisés.

Il importe enfin de reconnaître que ces modèles, bien que rigoureux, restent des approximations. L’analyse doit donc être complétée par une prise en compte des limites pratiques, telles que la qualité des données, la stabilité des modèles, et la complexité des marchés. La notion d’acceptabilité, liée à la possibilité de couvrir ou d’atténuer les risques, souligne aussi que le risque ne se réduit pas à une seule valeur numérique, mais se conjugue à une stratégie globale.

Quelle est la nature et la portée des mesures de risque cohérentes et invariantes par loi ?

La démonstration que l’Average Value at Risk (AV@R) est une mesure de risque cohérente repose sur une représentation duale précise et sur des propriétés fondamentales telles que la cash-invariance et la monotonie. L’équation (4.48), établie pour toute variable aléatoire bornée X, exprime AV@R comme un supremum sur un ensemble maximal de mesures Qλ. Cette caractérisation est essentielle, car elle fait apparaître AV@R comme la mesure de risque la plus conservatrice parmi celles qui dominent le Value at Risk (V@R) au niveau λ, tout en respectant la cohérence, c’est-à-dire la convexité, la monotonie, la translation et la positivité homogène.

Le recours à des densités φ = dQ/dP permet de comparer la valeur attendue sous différentes mesures Q hors de Qλ, montrant que pour toute Q non incluse dans Qλ, la différence entre EQ[−X] et AV@Rλ(X) peut devenir arbitrairement grande. Cette propriété illustre la maximalité et l’exhaustivité de l’ensemble Qλ dans la représentation duale. De plus, la continuité par convergence croissante, ou continuité par le bas, de AV@R est assurée par un argument classique basé sur la convergence dominée et la représentation en quantiles, garantissant ainsi une stabilité analytique essentielle à toute application pratique.

Cette théorie s’inscrit dans un cadre plus large, celui des mesures de risque invariantes par loi, qui dépendent uniquement de la distribution de la variable aléatoire et non de sa réalisation. La propriété d’invariance par loi est cruciale pour modéliser le risque de manière robuste et universelle. Dans ce contexte, la Fatou property devient un critère fondamental, assurant la semi-continuité inférieure dans la topologie faible*, condition nécessaire pour garantir la stabilité sous limites monotones de suites de variables aléatoires. La richesse atomless de l’espace de probabilité permet d’utiliser des outils avancés tels que la proposition 4.59, qui assure l’approximation de variables aléatoires par des moyennes de variables de même loi, ce qui facilite la preuve de cette propriété pour toute mesure de risque convexe et invariante par loi.

Enfin, il faut garder à l’esprit que ces constructions ne sont pas purement abstraites : elles constituent le fondement théorique pour la conception d’outils d’évaluation du risque financier capables de refléter la nature des pertes extrêmes tout en conservant des propriétés mathématiques indispensables à la cohérence et à la gestion rigoureuse du risque.