Kuinka täydellisten nesteiden termodynamiikka määrittelee lämpötilan ja entropian

Täydellisten nesteiden liike- ja termodynaamiset yhtälöt ovat keskeisiä kosmologisessa ja tähtitieteellisessä tutkimuksessa. Näiden nesteiden liike voidaan kuvata seuraavilla yhtälöillä: (12.17), joissa Tαβ saadaan (12.73):sta. Tämän lisäksi otetaan huomioon, että partikkelitiheys n pysyy vakiona prosesseissa, joissa ei tapahdu partikkelien syntymistä tai hävittämistä. Tällöin tietyssä tilavuudessa olevien partikkelien kokonaismäärä pysyy muuttumattomana ajan hetkellä t2 verrattuna aikaan t1 < t2, tai se on yhtä suuri kuin alkuperäisten partikkelien määrä t1:ssä ja niiden määrä, joka saapuu tai poistuu tilavuudesta t1 ja t2 välillä.

Tässä yhteydessä on tärkeää sisällyttää jatkuvuusyhtälö partikkelitiheydelle n: (nuα);α = 0. Tämä yhtälö tarkoittaa sitä, että partikkelivirta ei voi muodostaa tai tuhoutua, vaan sen määrä pysyy vakiona tietyssä ajanhetkessä.

Fenomenologisessa termodynamiikassa, jos järjestelmän tilavuus V on määritelty, systeemin entalpia H saadaan kaavasta H = U + pV, jossa U on järjestelmän sisäenergia. Kosmologiassa tai tähtitieteellisissä laskelmissa, joissa tarkastellaan tähtien sisäosia, määritelty tilavuus on usein partikkelikohtainen tilavuus Vp = 1/n, ja (ϵ+p) on entalpian tiheys. Tällöin voidaan määritellä entalpia per partikkeli seuraavasti: ℋ = (ϵ + p)/n.

Näin ollen voidaan olettaa, että yksittäisen partikkelin kohdalla fenomenologinen termodynamiikka pätee. Entalpian muutos seuraa Gibbsin identiteettiä: dH = V dp + TdS. Tämän vuoksi ϵ ja p voidaan laskea Einsteinin yhtälöiden avulla, ja n ja V = 1/n saavat selkeän fysikaalisen tulkinnan. Tämä mahdollistaa entalpian H ja entalpian tiheyden ℋ käsitteellistämisen ja tarkastelun.

Fenomenologinen termodynamiikka sanoo, että kaksi tilanfunktiota riittävät täydelliseen termodynaamiseen kuvaukseen yksikomponenttiselle aineelle; muut funktiot voidaan laskea tilanyhtälöstä. Tässä tapauksessa voidaan sanoa, että enintään kaksi kolmesta funktiosta p, V ja ℋ ovat riippumattomia. Tällöin differentiaalimuoto (dℋ - V dp) on funktio, joka riippuu vain kahdesta muuttujasta, ja se tarvitsee integrointitekijän. Tämä tekijä 1/T johtaa siihen, että (1/T)(dℋ - V dp) on täydellinen differentiaali, jonka integroimiseksi saadaan kaava dℋ = dp/n + TdS.

Näin ollen lämpötila T ja entropia S määritellään käyttämällä näitä yhtälöitä. Integrointitekijä 1/T ja funktio S eivät ole yksikäsitteisiä, mutta termodynamiikan sääntöjen mukaan voidaan todeta, että lämpötila T määräytyy lineaaristen muunnosten kautta (Werle, 1957). Tiedetään, että tietyissä symmetrisissä ratkaisumalleissa kaikki metriset komponentit ja termodynaamiset suureet riippuvat vain kahdesta muuttujasta, jolloin lämpötila ja entropia saavat selkeän määritelmän.

Kuitenkin, jos metrikassa on yksiulotteinen symmetriaryhmä tai ei ole symmetriaa lainkaan, niin funktiot ϵ, p ja n riippuvat kolmesta tai neljästä muuttujasta, ja silloin integrointitekijän olemassaolo (dℋ - V dp) on lisäolettamus. Tällaista tilaa kutsutaan termodynamiikkaa hyväksyväksi avaruusajaksi. Bona ja Coll (1985, 1988) olivat ensimmäisiä, jotka huomasivat, että kaikkiin sellaisiin avaruusaikoihin, joilla ei ole symmetriaa, ei voida soveltaa yksinkertaista termodynaamista mallia. He osoittivat myös, että Stephani-uni-versumissa (Stephani, 1967a), joka yleensä ei omaa symmetriaa, esiintyy 3-ulotteinen symmetriaryhmä, joka vaikuttaa 2-ulotteisiin orbiitteihin, kun termodynamiikan kaavio on otettu käyttöön.

Tämä ongelma on ollut keskeinen myös kosmologian ja tähtitieteen alalla, sillä se on vaikuttanut siihen, miten termodynamiikkaa voidaan soveltaa epäsymmetrisiin malliratkaisuihin. Edelleen, tämä herättää tarpeen pohtia yksikomponenttisten nesteiden termodynamiikan tarkempia piirteitä.

Tässä kohdassa voidaan tarkastella yksikomponenttisten nesteiden termodynamiikkaa tarkemmin. Edellisten yhtälöiden (15.55) – (15.58) ja (12.17) avulla voidaan johtaa täydellisten nesteiden liikkeen kuvaus seuraavaksi:

0 = nuβ (ℋuα);β - p,α = n uβ (ℋuα);β - ℋ,α + TS,α.

Koska uαuα = 1 ja uβuβ;α = 0, saadaan yksinkertaistettu muoto:

0 = uβ [(ℋuα);β - (ℋuβ);α] + TS,α = uβ [(ℋuα),β - (ℋuβ),α] + TS,α.

Tämä osoittaa, että entropia on vakio täydellisen nesteen virtaviivoilla, ja erityisesti kun S,α = 0, eli entropia on vakio koko tarkasteltavassa tilavuudessa. Tällöin puhutaan isentrooppisesta liikkeestä.

Tämä puolestaan tarkoittaa sitä, että yksikomponenttisen täydellisen nesteen tilanyhtälö saadaan yksinkertaistettua muotoon ϵ = ϵ(n) ja p = p(n), jolloin tilanyhtälöstä tulee barotrooppinen. Tämä on yleisesti käytetty lähestymistapa kosmologiassa, erityisesti Robertson-Walker-mallien symmetrian vuoksi.

On myös tärkeää huomata, että tietyissä tilanteissa täydelliset nesteet voivat käyttäytyä eri tavalla riippuen siitä, onko kyseessä symmetrinen vai ei-symmetrinen malli. Tällöin termodynamiikan mallin rakenne voi poiketa yksinkertaisista oletuksista, ja tämän ymmärtäminen on välttämätöntä, kun tarkastellaan epäsymmetrisiä avaruusaikoja tai monimutkaisempia kosmologisia malleja.

Miten geometrian kaarevuus vaikuttaa sähkömagneettisen aallon etenemiseen?

Maxwellin yhtälöiden ensimmäisen kertaluvun termit toimivat lähteinä nollakertaluvun termeille. Verrattaessa tätä kaavaa Maxwellin yhtälöihin tyhjässä avaruudessa, havaitaan, että sähkömagneettinen aalto ei itse asiassa etene tyhjiöön. Korkeamman kertaluvun termit toimivat välineenä, jossa on virtoja ja varauksia, joiden vaikutuksesta nollakertaluvun aaltoa voidaan hajottaa. Samalla tavoin ensimmäisen kertaluvun termit saavat vaikutteita toisen kertaluvun termeistä ja niin edelleen. Tämä on geometrian kaarevuuden vaikutus sähkömagneettisen aallon etenemiseen. (Tasaisessa avaruudessa kartesiolaisilla koordinaateilla vakio $B_0^{\alpha\beta}$ , jossa $B_i^{\alpha\beta} \equiv 0$ kun $i \geq 1$ , on ratkaisu yhtälöille (16.5) - (16.6).)

Oletetaan, että tämä kaava on itsenäinen (tästä olettamuksesta ei näyttäisi olevan virallista todistusta) ja että "häntä"-termit pysyvät pieninä. Tämän jälkeen tarkastellaan yhtälön (16.4) seurauksia. Yhtälön (16.4) toinen lauseke voidaan kirjoittaa muotoon:

k^\alpha B_0^{\beta\gamma} + k^\beta B_0^{\gamma\alpha} + k^\gamma B_0^{\alpha\beta} = 0. \, (16.7)

Kun (16.3) on voimassa, vektorikentän $k^\alpha$ pyörteisyys, joka määritellään myöhemmin tässä osassa, on nolla. Näin ollen geometrinen optiikka on tämän osalta yleisempi: aallon kuvaus ei salli säteiden kiertymistä. Tätä tulosta soveltamalla ja käyttäen (16.4) saadaan:

k^\alpha k_\alpha = 0, \, (16.8)

mikä tarkoittaa, että säteen aalto-vektori on nollavektori. Tästä seuraa, että:

k^\alpha_{;\beta} k^\beta = 0, \, (16.9)

Koska $k^\alpha = S_{,\alpha}$ , saamme:

k^\alpha_{;\beta} = k^\beta_{;\alpha},

ja (16.9) soveltaen:

k^\beta_{;\alpha} k^\alpha = 0, \, (16.10)

mikä tarkoittaa, että $k^\alpha$ on geodeettinen ja sen parametrisaatio on affiininen. Lisäksi, kun (16.7) kerrotaan $B_0^{\beta\gamma}$ ja käytetään (16.4), saadaan:

B_0^{\alpha\beta}(B_0)_{\alpha\beta} = 0. \, (16.11)

Tämän jälkeen saadaan vielä seuraava:

k^\alpha B_0^{\beta\gamma}(B_0)_{\delta\gamma} - k^\beta B_0^{\alpha\gamma}(B_0)_{\delta\gamma} = 0, \, (16.12)

Tämä yhtälö on muodoltaan:

k^\alpha V_\beta - k_\beta V^\alpha = 0, \quad V^\delta \text{ on tämän yhtälön yläindeksi.}

Tämä tarkoittaa, että vektorit $V^\alpha$ ja $k^\alpha$ ovat suhteellisia (kollineaarisia), joten:

B_0^{\alpha\gamma}(B_0)_{\delta\gamma} = U_\delta k^\alpha,

missä $U_\delta$ on (vektori)proportionaali vakio. Indeksi $\delta$ alennettuna, (16.13) vasenpuoleinen termi on symmetrinen $(\alpha \delta)$ suhteen, joten:

U_\delta k^\alpha - U_\alpha k^\delta = 0,

ja saman argumentin mukaan:

U_\alpha = \mu k_\alpha.

Lopputulos on:

B_0^{\alpha\gamma}(B_0)_{\delta\gamma} = \mu k^\alpha k_\delta. \, (16.14)

Yhtälöiden (16.11) ja (16.14) perusteella nähdään, että sähkömagneettisen kentän energia-momenttijännitystensorin (13.10) kenttä (16.1) - (16.2) on:

T^{\alpha\beta} = \frac{1}{4\pi} (\mu k^\alpha k^\beta + O(\epsilon)),

mikä on, lineaarisilla $\epsilon$ -termeillä, täydellisen nesteen tyyppinen väline, jonka "4-nopeus" on $k^\alpha$ . Koska $k^\alpha$ on nollavektori, virtaustila vastaa valonnopeutta, joten tämä on fotonivirta. Tällöin $T^{\alpha\beta}_{;\beta} = 0$ ja (16.10) käyttöön ottaen saamme:

(\mu k^\alpha)_{;\alpha} = 0, \, (16.16)

mikä tarkoittaa, että fotonivirta on säilynyt.

Seuraavaksi tarkastellaan punasiirtymää. Liikkuva havaitsija, jonka 4-nopeus on $u^\alpha$ , mittaa valoaallon vaihemuutoksen nopeuden $v_p = S_{,\alpha} u^\alpha = k^\alpha u_\alpha$ . Lyhyen aikavälin $\Delta s$ kuluessa vaihe muuttuu:

\Delta S = k^\alpha u_\alpha \Delta s.

Toiselle havaitsijalle, joka liikkuu nopeudella $u^\alpha_1$ ja mittaa vaiheen muutosta toisessa aika-avaruuspisteessä, jossa $k^\alpha = k^\alpha_1$ , sama vaihemuutos $\Delta S$ vie yleisesti eri aikavälin $\Delta s_1$ :

\Delta S = k^\alpha_1 u_1^\alpha \Delta s_1.

Näin ollen:

\frac{\Delta s_1}{\Delta s} = \frac{k^\alpha u_\alpha}{k^\alpha_1 u_1^\alpha}.

Jos sähkömagneettinen aalto on jaksollinen, niin $\Delta S$ liittyy taajuuteen $\nu$ seuraavasti:

\Delta S = 2\pi\nu \Delta s.

Silloin, kahdelle eri havaitsijalle mitattuna, meillä on:

\nu_1 \Delta s_1 = \nu_2 \Delta s_2,

joten punasiirtymän kaava on:

\frac{\nu_e}{\nu_o} = 1 + z.

Tämä kaava johtaa tunnettuun kosmologiseen punasiirtymään, joka on johdettu ilman mitään erityistä kosmologista mallia.

Lopuksi, on tärkeää ymmärtää, että vaikka tämä kaava toimii kaikissa kosmologisissa malleissa, se pätee vain lähialueiden valolähteille. Pitkän matkan päässä olevien valolähteiden tapauksessa on otettava huomioon tarkempia laskelmia geodeettisten kaarien integroimisen kautta.

Miten hallituksen projektien kustannuksia ja hyötyjä arvioidaan?
Kuinka monta toistoa tekee vedonlyönnistä houkuttelevamman, vaikka yksittäinen veto hylätään?
Miten digitaalinen muutos vaikuttaa teollisuuden laskentarakenteisiin ja prosesseihin?