Kuinka monta toistoa tekee vedonlyönnistä houkuttelevamman, vaikka yksittäinen veto hylätään?

Tarkastellaan tilannetta, jossa henkilö kieltäytyy yksittäisestä vedosta, mutta hyväksyy saman vedon toistuvan useita kertoja. Tällaisessa kontekstissa keskustellaan erityisesti, kuinka usean toiston sarjat voivat vaikuttaa päätökseen verrattuna yhden vedon hyväksymiseen. Tämä kysymys liittyy odotusarvon ja riskin hallintaan taloudellisessa päätöksenteossa.

Klassinen esimerkki liittyy heikkoon lakiin suurista luvuista, joka sanoo, että summan keskiarvo $\frac{1}{n} Z_n$ lähestyy varmasti odotusarvoa $m(\mu)$ kun $n \to \infty$. Näin ollen, vaikka yksittäinen veto hylättäisiin, niin toistuva vedonlyönti voisi silti tulla houkuttelevammaksi, koska useiden toistojen myötä riski kumuloituu tasaisemmin, ja pitkässä juoksussa häviöt pienenevät.

Käytännössä tämä tarkoittaa sitä, että vaikka yksittäinen veto, jonka odotusarvo on alle riskittömän vaihtoehdon, ei olisi houkutteleva, niin vedon toistaminen useaan kertaan voi tuoda paremman lopputuloksen. Tämä on ilmiö, jossa yksittäinen veto hylätään, mutta useiden toistojen jälkeen päätös saattaa muuttua houkuttelevammaksi. Tämä periaate on erityisen tärkeä esimerkiksi vakuutusmarkkinoilla tai tilanteissa, joissa riski hajautetaan useiden samankaltaisten toistojen kautta.

Kun tarkastellaan useiden vedonlyöntien sarjojen riskipreemioita, havaitaan, että yhteisvedon riskipreemio voi laskea, koska vedonlyöjän kokema riskitunne pienenee usean toiston myötä. Tämä ei kuitenkaan ole aina totta. Esimerkiksi eksponentiaalisen hyötyfunktion kanssa riskin väheneminen on rajallista, koska eksponentiaalinen hyöty ei reagoi merkittävästi toistojen määrän kasvuun. Toisaalta, HARA (Hyperbolic Absolute Risk Aversion) -hyötyfunktion avulla havaitaan, että riskipreemio voi vähentyä merkittävästi ja vedon houkuttelevuus kasvaa, jos toistojen määrä kasvaa riittävästi.

Yhteenvetona voidaan todeta, että vedon hyväksyminen tai hylkääminen voi riippua paitsi yksittäisten vetojen odotusarvoista myös siitä, kuinka monta kertaa sama veto toistetaan. Tämä tekee päätöksenteosta monimutkaisempaa, sillä vaikka yksittäinen veto ei tunnu houkuttelevalta, useiden toistojen sarja voi muuttaa tilannetta niin, että vedon ottaminen tulee järkevämmäksi. Tällöin voimme puhua asenteen muuttumisesta riskin suhteen, kun kokonaisriski jakautuu useisiin itsenäisiin tapahtumiin.

Kuinka riski mitataan: riskimittarit ja niiden sovellukset taloudellisessa päätöksenteossa

Riskimittarit, erityisesti konveksiset riskimittarit, ovat keskeisiä välineitä taloudellisten päätösten arvioimisessa ja mallintamisessa. Erityisesti tämä pätee tilanteisiin, joissa arvioidaan mahdollisia tappioita, joita saattaa syntyä erilaisten taloudellisten tapahtumien seurauksena. Tällöin riskin mittaamisessa otetaan huomioon ei vain odotettu tappio, vaan myös se, kuinka todennäköisiä nämä tappiot ovat, ja kuinka haitallisia ne voivat olla. Tämä tarkastelu perustuu usein erilaisiin todennäköisyysmalleihin ja niiden pohjalta laskettaviin odotuksiin.

Yksi tärkeimmistä työkaluista konvexin riskimittarin määrittämisessä on niin sanottu "rangaistusfunktio". Tämä funktio määrittelee, kuinka paljon "rangaistusta" tai "penaltiä" tulee soveltaa eri riskimalleihin, jotka poikkeavat perusmallista P. Näin riskimittari voi ottaa huomioon riskin suuruuden suhteessa siihen, kuinka paljon mallin uskotaan poikkeavan todellisuudesta.

Erityisesti huomioitavaa on, että tietyt riskimittarit voivat olla yhteensopivia eri taloudellisten mallien kanssa, mutta samalla ne voivat myös olla epäjohdonmukaisia tietyissä olosuhteissa. Esimerkiksi, entropinen riskimittari, joka käyttää suhteellista entropiaa rangaistusfunktiona, ei ole johdonmukainen kaikilla arvoilla. Tällöin riski ei voi aina laskea yksiselitteisesti, ja mallin arviointi saattaa tuottaa ristiriitaisia tuloksia. Tämä on tärkeää ottaa huomioon, koska taloudelliset päätökset perustuvat usein pitkälti siihen, kuinka hyvin malli heijastaa todellista maailmaa.

Riskin jatkuvuus on myös tärkeä tekijä, jota on tarkasteltava, kun työskentelemme konvexien riskimittarien kanssa. Jatkuvuus alhaalta päin (continuity from below) tarkoittaa, että kun satunnaismuuttuja lähestyy tiettyä arvoa, riskimittarin arvo lähestyy myös sitä. Tämä on erityisen tärkeää silloin, kun tarkastellaan pitkäaikaisia taloudellisia päätöksiä, joissa on paljon epätietoisuutta ja riskin aste vaihtelee ajan kuluessa.

Erityinen esimerkki tästä on niin sanottu "divergenssiriski", jossa käytetään erityistä divergenssifunktiota, kuten g-divergenssia, arvioimaan riskin suuruutta. Tämä lähestymistapa on hyödyllinen silloin, kun mallien tarkkuus on vaihteleva ja epävarmuus on suurta. Tällöin divergenssiriski voi auttaa ymmärtämään, kuinka kauas mahdollinen malli poikkeaa todellisuudesta ja kuinka suuri riski siitä seuraa.

On myös syytä muistaa, että taloudelliset riskit voivat olla sekä lyhyen että pitkän aikavälin. Esimerkiksi lyhyen aikavälin riskit saattavat liittyä markkinahäiriöihin, jotka voivat vaikuttaa nopeasti, kun taas pitkän aikavälin riskit voivat liittyä talouden fundamentteihin, kuten inflaatioon tai korkotasoihin. Tämän vuoksi riskimittarien käyttöä tulisi tarkastella erilaisten aikahorisonttien näkökulmasta, ja erityisesti ottaa huomioon riskin kehittyminen ajan kuluessa.

Endtext

Mikä on superhedging-strategian ja sen kustannusten rooli epätäydellisissä markkinamalleissa?

Superhedging-strategian käsite on keskeinen rahoitusmarkkinoilla, erityisesti silloin, kun käsitellään amerikkalaisia optioita tai muita rahoitusinstrumentteja, joiden hinnoittelu ei ole suoraan saavutettavissa markkinoilta. Tätä käsitettä on tarkasteltu erityisesti osakkeiden ja muiden arvopaperien osalta, mutta se on myös olennaisen tärkeä epätäydellisten markkinamallien yhteydessä, joissa täydellisiä vakuutuksia tai suojautumismahdollisuuksia ei ole saatavilla. Tässä osassa tarkastellaan, miten superhedging-strategiat toimivat ja mitä niiden kustannukset merkitsevät.

Superhedging-strategian ydin on etsiä sijoitusstrategia, joka takaa, että osapuoli, joka on sitoutunut maksamaan tulevia kassavirtoja (esimerkiksi ostamalla amerikkalaisen option), ei joudu tilanteeseen, jossa hän ei pysty suojautumaan mahdollisilta tappioilta. Jos markkinat ovat epätäydelliset, tämä suojaus voi olla haasteellista, mutta teoreettisesti se on mahdollista, ja tällöin puhutaan niin kutsutusta "superhedgingista". Superhedging-strategialla tarkoitetaan käytännössä tällaista strategiaa, jossa kaupankäynnissä käytettävä alkupääoma (alkukustannus) kattaa mahdolliset riskit, jotka liittyvät johdannaisten tai muiden rahoitusinstrumenttien käyttämiseen.

Teoreettisesti voidaan todeta, että superhedging-strategian toteuttamiseen tarvittava alkupääoma on minimalisoitu, ja tämä summa on usein nimetty πsup(H):ksi. Tämä on pienin mahdollinen määrä, joka tarvitaan, jotta strategia voidaan toteuttaa ilman riskiä. Tämä ei kuitenkaan ole sama asia kuin markkinoiden vapaa-arbitraasihinta, ja usein tämä summa on suurempi kuin se hinta, jolla vastaava optio myytäisiin markkinoilla, jos markkinat olisivat täydelliset.

Tämän strategian rakenteelliset osat ovat hyvin samanlaisia kuin arbitraasivapaan hinnoittelun ja optioiden hinnoittelun perusperiaatteet. Vaikka superhedging-strategia ei takaa, että optio olisi täysin arbitraasivapaa, se tarjoaa kuitenkin tavan suojautua mahdollisilta tappioilta ja varmistaa, että osapuoli voi kattaa kaikki mahdolliset kustannukset, joita tulevaisuuden kassavirrat voivat aiheuttaa.

On tärkeää ymmärtää, että superhedging-strategian kustannus ei ole aina sama kuin markkinoiden arbitraasivapaa hinta. Tämä saattaa johtaa siihen, että superhedging-hinta voi olla epärealistisesti korkea markkinahinnoittelun kannalta, ja tämä voi luoda arbitraasimahdollisuuksia. Jos ostaja maksaa superhedging-hinnan ja käyttää strategiaa, hän voi luoda tilanteen, jossa ostaja saa mahdollisuuden käyttää markkinoiden epätäydellisyyksiä hyväkseen, saaden riskittömän tuoton.

Kun käsitellään epävarmuutta markkinoilla, erityisesti silloin, kun amerikkalainen optio ei ole suoritettavissa kaikilla mahdollisilla ajanhetkillä, tulee superhedging-strategian ja sen kustannusten ymmärtäminen erityisen tärkeäksi. Tämä on erityisesti relevanttia epätäydellisten markkinoiden mallinnuksessa, joissa osapuolten on turvattava itsensä mahdollisilta tappioilta, vaikka markkinat eivät tarjoaisikaan täydellistä suojautumismahdollisuutta.

Tässä kontekstissa on myös huomionarvoista, että vaikka superhedging-strategia on varteenotettava tapa suojautua, se ei aina ole täydellinen ratkaisu kaikille mahdollisille markkinatilanteille. Tämä tarkoittaa, että osapuolten on arvioitava tarkasti strategian soveltuvuus ja varmistettava, että kaikki mahdolliset kustannukset ja riskit otetaan huomioon, ennen kuin sitoutuvat käyttämään tätä strategiaa käytännössä.