Multiplicatiivinen dualisummability ja sen sovellukset ei-Newtonin laskennassa

Tässä vaiheessa voidaan tehdä lyhyt analyysi moninkertaisen dualisummabiliteetin menetelmistä. On havaittavissa, että $v_n$ on pelkistettävissä $u_n$ :ksi seuraavasti:

\prod_{k=1}^{\infty} v_n = b \ln y_k n_k \prod_{k=1}^{\infty} \prod_{j=1}^{\infty} \ln x_j n_j = a \ln x_j n_j = u_n.

Kuitenkin tuotannon järjestystä ei voida kääntää, ja näin ollen menetelmät A ja B eivät ole välttämättä ekvivalentteja. Tuotannon osatuotteet oikeanpuoleisilla yhtälöissä (1.52) ja (1.53) ovat yhteydessä toisiinsa seuraavalla suhteella:

\prod_{m} \prod_{m-1} (\ln y_k a \ln x a k n_k n_k) = a \ln y_m n_m \quad \text{kaikille} \ m, n \in \mathbb{N}_0.

Tästä voidaan päätellä, että jos toinen osapuoli oikeanpuoleisista (1.52) ja (1.53) konvergoi annetulle $n \in \mathbb{N}_0$ , niin toinen puoli konvergoi vain ja ainoastaan silloin, kun

\lim_{m \to \infty} a \ln y_m n_m = z_n.

Jos tämä pätee, niin (1.54):stä saamme, että

u_n = v_n z_n \quad \text{kaikille} \ n \in \mathbb{N}_0.

Tästä seuraa, että jos $y_n$ :llä on $*$ -raja joko menetelmällä A tai B, niin se on moninkertaisesti rajautuva toisella menetelmällä vain ja ainoastaan silloin, kun (1.55) pätee ja

\lim_{n \to \infty} z_n = \alpha.

Näin ollen menetelmien A ja B rajat eroavat toisistaan vain $\alpha$ :lla. Joten A- ja B-lopputulokset kaikille sekvensseille ovat moninkertaisesti rajautuvia jollain niistä, mikäli B:n moninkertaisuus rajautuvuus merkitsee sitä, että (1.56) pätee $\alpha = 1$ . Vastakkainen väite pätee, jos A ja B vaihdetaan keskenään. Näin ollen voidaan päätellä, että jos (1.56) pätee $\alpha \neq 1$ , niin menetelmät A ja B ovat epäjohdonmukaisia ja toisinpäin.

Eräs tämän työn tarkoituksista on laajentaa ei-Newtonin laskenta ei-Newtonin reaalilaskentaan reaaliarvoisten funktioiden käsittelyä varten. Teoreettisilla esimerkeillä on osoitettu joitakin yhtäläisyyksiä (CC) ja (NC) välillä. On todistettu tärkeitä epäyhtälöitä, kuten ei-Newtonin kolmioepäyhtälö, ei-Newtonin Minkowskin epäyhtälö ja muita epäyhtälöitä, joita käytetään usein (NC):ssä. Derivoimme klassisia sekvenssitiloja ei-Newtonin laskennassa ja pyrimme ymmärtämään niiden rakennetta ei-Newtonin vektoritilana.

Yleisesti työskentelemme vektoritilojen parissa, jotka liittyvät fysiikkaan ja laskentaan. Monia tekniikoita on kehitetty (CC):n mukaisesti. Mikäli (NC):tä käytetään yhdessä (CC):n kanssa kaavoituksessa, niin monet monimutkaiset ilmiöt fysiikassa tai tekniikassa voivat olla helpommin analysoitavissa. Itse asiassa joitakin biologisia ja talousongelmia voidaan ratkaista eksponentiaalisen laskennan avulla, joka on eräänlainen ei-Newtonin laskenta.

Viime aikoina Talo ja Başar ovat tutkineet tiettyjä fuzzy-lukujen sekvenssien joukkoja ja määritelleet klassiset joukot $\ell_\infty(F)$ , $c(F)$ , $c_0(F)$ ja $\ell_p(F)$ , jotka koostuvat rajallisista, konvergoivista, nollasta lähestyvistä ja täysin $p$ -summoista sekvensseistä fuzzy-lukuja. He ovat myös määritelleet $\alpha$ -, $\beta$ - ja $\gamma$ -duaalit fuzzy-lukujen sekvenssien joukoille ja antaneet duaalit klassisille fuzzy-luku-sekvenssien joukoille yhdessä luonteenomaisten äärettömien matriisien luokkien kanssa, jotka muuntavat yhden klassisista joukoista toiseksi.

Jatkamme tätä lähestymistapaa esittämällä vastaavat tulokset ei-Newtonin laskennassa fuzzy-arvoisten sekvenssien tulosten saamiseksi, alkaen Talo ja Başar [54] työstä. Luonnollisena jatkumona tälle lähestymistavalle on, että on järkevää määritellä $\alpha$ -, $\beta$ - ja $\gamma$ -duaalit ei-Newtonin reaalilukuista sekvenssien tilasta ja määrittää klassisten $\ell_\infty(N)$ , $c(N)$ , $c_0(N)$ ja $\ell_p(N)$ duaalit yhdessä matriisimuunnosten luonteen määrittämisen kanssa klassisten sekvenssitilojen välillä ei-Newtonin reaalikentällä $R(N)$ .

Tämän lisäksi voidaan saavuttaa samankaltaisia tuloksia käyttämällä toisen tyyppistä laskentaa ei-Newtonin laskennan sijaan. On luonnollista odottaa, että Banachin tilat $\ell_\infty(N)$ , $c(N)$ , $c_0(N)$ ja $\ell_p(N)$ voidaan laajentaa täydellisiksi paranormoiduiksi sekvenssitiloiksi $\ell_\infty(p,N)$ , $c(p,N)$ , $c_0(p,N)$ ja $\ell(p,N)$ , samalla tavalla kuin Maddoxin tilat $\ell_\infty(p)$ , $c(p)$ , $c_0(p)$ ja $\ell(p)$ johdetaan reaalisilta tai kompleksisilta kentiltä klassisista sekvenssitiloista $\ell_\infty$ , $c$ , $c_0$ ja $\ell_p$ , vastaavasti. Tämän aiheen tutkimus voisi olla lukijalle omistettu uusi tutkimus.

Seuraavaksi Grossman ja Katz [32], Türkmen ja Başar [57] ovat rakentaneet geometristen kompleksilukujen joukon $C(G)$ ja antaneet kolmion ja Minkowskin epäyhtälöt geometristen laskentojen yhteydessä. He ovat myöhemmin määritelleet klassiset joukot $\omega(G)$ , $\ell_\infty(G)$ , $c(G)$ , $c_0(G)$ ja $\ell_p(G)$ , jotka sisältävät kaikki, rajalliset, konvergoivat, nollasta lähestyvät ja $p$ -absoluuttisesti summoituvat sekvenssit geometristen kompleksilukuisten arvojen joukossa ja osoittaneet, että kukin joukoista muodostaa täydellisen vektoritilan kentällä $C(G)$ . Tietenkin voidaan määritellä $\alpha$ -, $\beta$ - ja $\gamma$ -duaalit geometristen kompleksilukujen sekvenssitiloista ja luonnehtia joitakin matriisimuunnosten luokkia näiden tilojen välillä geometristen laskentojen yhteydessä.

Miten G-Integraatio ja G-Derivaatta Eroavat Perinteisestä Laskennasta?

G-integraatio ja G-differointi ovat matemaattisia operaatioita, jotka eroavat perinteisestä, Newtonin ja Leibnizin kehittämästä laskennasta. Näitä operaatioita käsitellään erityisesti ei-Newtonilaisissa sekvenssitasoissa ja bigeometrisessa integraalilaskennassa, joissa käsitellään funktioiden integraaleja ja derivoitumista ei-tavanomaisella tavalla. Tämän lähestymistavan ymmärtäminen on keskeistä, koska se avaa uusia näkökulmia laskennan soveltamiseen tietyissä matemaattisissa ja insinööritieteellisissä ongelmissa.

G-integraation perusperiaate on yksinkertainen: jos tavallisessa integraatiossa funktioiden yhdistämistä käsitellään tavanomaisilla perusoperaatioilla, kuten summilla ja kertolaskuilla, G-integraatiossa käytetään geometrisesti muokattuja operaatioita, jotka liittyvät muun muassa eksponenttifunktioihin ja luonnollisiin logaritmeihin. Tällöin integraation tulos saadaan usein eksponenttimuodossa, joka eroaa perinteisistä integraaleista.

Esimerkiksi, G-integraation peruskaava voidaan esittää seuraavasti:

G - \int f(x) \cdot dxG = e^x \cdot F(x)

Missä $F(x)$ on integraalin tulos ja $e^x$ on eksponenttifunktio, joka esiintyy lähes kaikissa G-integraatioissa. Tällainen lähestymistapa on erityisen hyödyllinen, kun tarkastellaan erikoistapauksia, kuten geometrista integraatiota tai funktioiden, joiden derivoitumisessa esiintyy eksponentteja ja trigonometristen funktioiden yhdistelmiä, integraaleja.

G-differointi taas toimii käänteisesti integraation suhteen, ja sen avulla voidaan erottaa geometristen funktioiden muotoja. Yksinkertaistettuna, G-differointi käyttää tiettyjä sääntöjä, jotka voivat johtaa tulokseen, joka poikkeaa perinteisestä derivoitumisesta – erityisesti silloin, kun käsitellään funktioita, jotka sisältävät trigonometrisia elementtejä, kuten $\sin(x)$ ja $\cos(x)$ .

Esimerkiksi:

\frac{d}{dx} \left[ \ln(f(x)) \right] = \frac{f'(x)}{f(x)}

Tämä on perinteinen logaritmin derivaatan sääntö, mutta G-differoinnissa tämä sääntö voi saada erikoismuotoja, erityisesti silloin, kun funktio $f(x)$ sisältää käänteisiä trigonometrisia funktioita, kuten $\sec(x)$ tai $\csc(x)$ .

G-Integraation ja Tavanomaisen Integraation Ero

G-integraation ja tavanomainen integraatio eroavat toisistaan paitsi laskentateknisesti myös matemaattisesti. G-integraation avulla voidaan laskea monimutkaisempia funktioita, joissa on geometrisia elementtejä. Tämä eroavaisuus ilmenee erityisesti silloin, kun käsitellään funktioiden eksponentiaalisten ja trigonometristen osien yhdistelmiä.

Tavanomaisessa integraatiossa integraali voidaan laskea perinteisillä menetelmillä, kuten osittaisilla murtoluvuilla, osittaisilla integraaleilla ja substituutioilla. G-integraatiossa käytetään sen sijaan enemmän geometristen elementtien integrointia ja differointia, jotka saavat tulokseksi arvoja, jotka ovat vaikeammin käsiteltävissä perinteisillä menetelmillä.

Erityisesti G-integraation osalta on tärkeää huomata, että kun otetaan huomioon erityiset säännöt, kuten seuraava:

G - \int e^{ -x} \sec(x) \csc(x) \cdot dxG = \cot(x)

Tässä esimerkissä G-integraatio tuottaa saman tuloksen kuin perinteinen integraatio, mutta sen laskentatapa eroaa tavanomaisista menetelmistä.

G-Integraation Ominaisuudet

G-integraatioilla on useita tärkeitä ominaisuuksia, jotka erottavat ne tavanomaisista integraatioista. Yksi tärkeimmistä ominaisuuksista on se, että G-integraatio tuottaa eksponenttimuotoisia tuloksia, jotka ovat monimutkaisempia ja vähemmän intuitiivisia kuin perinteiset integraalit.

Tässä muutamia keskeisiä G-integraation ominaisuuksia:

Skaalausominaisuus: Jos $f(x)$ on funktio ja $c$ on vakio, niin:

$G - \int c \cdot f(x) \cdot dxG = c \cdot G - \int f(x) \cdot dxG$

Tämä ominaisuus muistuttaa tavanomaista integraation lineaarisuutta, mutta siihen liittyy erityisiä geometristen funktioiden käsittelyä.
Tulo-ominaisuus: Jos funktiot $f(x)$ ja $g(x)$ ovat erillisiä, niin niiden G-integraalituote voidaan laskea seuraavalla kaavalla:

$G - \int f(x) \cdot g(x) \cdot dxG = G - \int f(x) \cdot dxG \cdot G - \int g(x) \cdot dxG$

Tämä sääntö muistuttaa tavanomaisia integraation sääntöjä, mutta on erityisen hyödyllinen silloin, kun käsitellään geometristen funktioiden yhdistelmiä.

Mitä On Hyvä Tietää G-Integraatiosta?

G-integraatio ei ole vain matemaattinen temppu. Se avaa uusia näkökulmia matemaattisiin ongelmiin, jotka liittyvät esimerkiksi geometristen funktioiden tai eksponenttifunktioiden yhdistelmiin. Jos haluat syventää ymmärrystäsi G-integraation sovelluksista, on tärkeää harjoitella sen perusoperaatioita ja tutustua sen erityispiirteisiin.

G-integraation käsittely vaatii tietynlaista matemaattista tarkkuutta, mutta sen avulla voidaan ratkaista ongelmia, joita tavanomaisilla menetelmillä ei voida käsitellä. Erityisesti insinööritieteet ja tietyt fysikaaliset ongelmat hyödyntävät G-integraatiota erikoistuneissa laskennoissa, joissa tarvitaan tarkkaa käsittelyä geometristen ja eksponentiaalisten funktioiden yhdistelmissä.

Miten nanohiukkaset ja pinnoitteet parantavat korroosionestokykyä ja estävät jään muodostumista rakenteilla?
Miksi ja kuinka Snowflaken materiaaliset näkymät parantavat suorituskykyä ja käytettävyyttä?
Miten ihmiskunnan on kohdattava tekoälyn kehittyvä voima ja mahdollinen tulevaisuus?
Miksi tekstiviestivastaus puuttuneisiin puheluihin on elintärkeä liiketoiminnallesi?