Miten tarkastella hyperbolisesti symmetrisen avaruusaikakäyrän ominaisuuksia ja sen käyttäytymistä massan tiheydellä

Avaruusaikakäyrät, joilla on hyperbolinen symmetria, ovat monivaiheisia ja mielenkiintoisia tutkimusalueita relativistisessa kosmologiassa. Tällaisilla avaruusaikakäyrillä symmetria orbits muodostavat nollakäyräisen tai negatiivisen kaarevuuden pinnan, joka on lähellä kaksilehtistä hyperboloidia. Tämän tyyppisissä malleissa alkuperäiset metrit ovat erilaisia kuin tavanomaisissa sfäärisesti symmetrisissä malleissa, mutta niiden geometria on silti samalla tavalla vakiintunut tietyillä reunaehdoilla.

Hyperbolisesti symmetrisessä avaruusaikakäyrässä, jossa symmetrian orbits muodostavat hyperbolisen pinnan, metriset kaavat voivat muotoutua seuraavasti:

Tällöin metrin eri parametrit riippuvat aikavälistä $t$ ja radiaalivaihtelusta $r$, ja symmetrian orbits voidaan kuvata vakiomuotoisilla muunnoksilla, jotka liittyvät hyperboliseen geometrian kuvaukseen. Tämä mahdollistaa ajallis-horisonttien ja muiden geometristen erityispiirteiden tarkastelun.

Hyperbolisen symmetrian tapauksessa, kun radiaalinen etäisyys $r$ kasvaa kohti äärettömyyttä, voidaan nähdä, että suurilla $r$-arvoilla tiheydet lähestyvät vakioarvoja, mutta erityiset geometriset olosuhteet voivat aiheuttaa epävakautta, joka ilmenee muuttuvina massakenttinä ja tiheyskuvioina. Esimerkiksi alueella, jossa $E < 0$, ajan horisontit käyttäytyvät seuraavasti: $t_{AH- } \to -\infty$, kun $r \to -E_1$, ja $t_{AH+} \to +\infty$, kun $r \to E_2$. Tämä tarkoittaa, että alkuperäisen geometrian rakenteet voivat rikkoa perinteiset rajat ja luoda uudenlaista geometrista käyttäytymistä.

Käytännössä tällaisissa mallitarkasteluissa on tärkeää tutkia avaruusaikakäyrän geometrian ja massan jakauman välistä vuorovaikutusta. On selvää, että massan tiheys ei ole aina staattinen, vaan se voi muuttua ajan kuluessa, mikä vaikuttaa suoraan avaruusaikakäyrän topologiaan. Siksi on tärkeää huomioida, että vaikka ääripisteet voivat olla komoveerattuja vain tietyissä olosuhteissa, ne liikkuvat usein tiheysaaltoina tai geometrian epälineaaristen muutosten seurauksena. Tämä voi johtaa siihen, että alkuperäisistä symmetrisistä rakenteista poiketaan.

Mikä estää singulariteetin muodostumisen ja miten sähkövaraus vaikuttaa romahdukseen?

Tarkastellaan tilannetta, jossa alkuperäiset olosuhteet täyttyvät ja romahdus pysähtyy ja kääntyy kuten edellisessä tapauksessa (b). Nyt tulkitsemme ehdot (19.66). Ehto Q, 2 < G/c4N, jossa Qm = 0 ja Qe = Q, tarkoittaa ∣ρe∣ < Gϵ/c. Kun M < 0, BB/BC-singulariteetti vältetään vain, jos E > 0 ja (19.64) täyttyy, ilman muita ehtoja ρe:lle. Tämä on ei-relativistinen pomppu, koska se tapahtuu myös Newtonin teoriassa samoissa olosuhteissa (M = Gℳ − (ρe/ρμ)Q < 0 (19.50)).

Kun M > 0, nonsingularinen pomppu voi tapahtua vain, jos ∣ρe∣ < Gϵ/c, eli jos varaus tiheys on riittävän pieni (mutta ei nolla) verrattuna massatiheyteen. Tämä on puhtaasti relativistinen ilmiö, joka ei esiinny Newtonilaisessa rajassa: M > 0, R = 0 on aina sallituissa Newtonilaisissa ratkaisuissa. Relativistisen pompun fysikaalinen tulkinta on seuraava: kuten (19.48) voidaan nähdä, varaukset antavat korjauksen tehokkaaseen massaan M, jolloin M = M + (1/2)Q2Q, 2 4 N −G/c /R ohjaa evoluutiota. Tämä korjaus on negatiivinen pienen varaus tiheyden (Q, 2 N < G/c4) kohdalla, jolloin se heikentää gravitaatiota ja auttaa pölyn pomppauksessa. Kuitenkin suurilla varaus tiheyksillä (Q, 2 > G/c4N) varaukset lisäävät tehokasta massaa ja estävät pomppauksen. Tässä tapauksessa Newtonilainen sähköstaattinen hylkiminen voi kuitenkin hallita, jos M < 0 samanaikaisesti. Tämä ilmiö muistuttaa sitä, jonka kohtasimme keskustellessamme hiukkasten liikkeestä Reissner–Nordström -aikatajuudessa (Luku 14.16), jossa sähkövaraus gravitaatiokentän lähteessä luo tehokasta anti-gravitaatiota, jos varaus on riittävän pieni verrattuna massaan.

Jos EM < 0 ja Q, 2 N = G/c4, niin (19.63) saa aikavapauden ratkaisun R = −M/E. Tällöin sähköstaattinen hylkiminen tasapainottaa gravitaation vetovoiman, ja koko konfiguraatio on staattinen, mutta epästabiili. Pieni häiriö tästä R:n arvosta vie pölyn joko romahdukseen, joka päättyy R = 0, tai laajenemiseen R → ∞. Minkä tapauksen tapahtuessa riippuu E:n merkitsemisestä: E > 0 vain suurempaan R:ään suuntautuva häiriö on mahdollinen, E < 0 vastakkainen tapaus. Varatun pallon pinnalla, jossa Q,N (rb) = 0 (19.60), yhtälö (19.63) vastaa (14.180) (aikamuutoksen lisäksi) jos J0 = 0 (radiaalinen liike), m = M − qeΓ/μ ja e2 1 − q2/μ2 = GQ2/c4 (tämä viimeinen yhtälö voi pitää paikkansa vain, jos (q/μ)2 < 1). Tämän seurauksena varatun pölypallon pinta noudattaa radiaalisen hiukkasen liikkeen yhtälöä Reissner–Nordström -aikatehtävässä. Kuten Luvussa 14.16 on osoitettu, tällaisen hiukkasen kaatumisen käänne voi tapahtua vain sisäisessä R–N horisontissa, R < r− = m − m2 − e2. Tällöin varatun pölypallon pinnan on jatkuvasti kaaduttava, kunnes se ylittää sisäisen horisontin R = r−, ja voi pompata R < r−. Kuten kuvassa 14.12 nähdään, sen ei voida laajentua takaisin samaan aikavyöhykkeeseen, josta se kaatui, koska tämä edellyttäisi liikettä taaksepäin ajassa. Pinta kulkisi näin ollen singulariteettitunnelin läpi ja laajenisi toiseen kopioon asymptottisesti litteästä alueesta. Pienen varauksen tiheyden tapauksessa (Q, 2 N < G/c4) pomppu olisi fysikaalisesti mielenkiintoinen, koska todellisessa maailmankaikkeudessa ei ole havaittavissa olevaa nettovarausta, joten vain pieniä varauksia voisi esiintyä.

Tällaisessa tilanteessa on tärkeää ymmärtää, että varauksen ja massan välinen suhde vaikuttaa ratkaisevasti siihen, estetäänkö singulariteetti. Relativistiset ilmiöt, kuten tämä pomppu, voivat olla mahdottomia tai mahdollisia riippuen siitä, kuinka suuri sähkövaraus suhteessa massaan on. Pienen varauksen olemassaolo voi estää romahduksen, mutta suuri varaus taas saattaa estää sen ja johtaa fysikaalisesti epävakaaseen tilanteeseen, jossa ei tapahdu pomppua. Tätä on tärkeää tarkastella, sillä se voi vaikuttaa siihen, miten ymmärrämme romahdusten ja singulariteettien muodostumisen maailmankaikkeudessa.