Kuinka Diffuusiomonte Carlo (DMC) toimii ja miten se liittyy kvanttimekaniikan maapallon tilaan?

Kvanttimonte Carlo -menetelmissä optimointi tähtää valitun kokeellisen aallonfunktion parametrien säätämiseen niin, että kustannusfunktio, kuten varianssi tai energia, minimoidaan. Tämä kustannusfunktio arvioidaan kävelijöiden, eli satunnaisten tilanäytteiden, avulla, joita käytetään variatiivisessa Monte Carlo -menetelmässä (VMC). Kuitenkaan optimointi eikä VMC voi parantaa kokeellista aallonfunktiota sen valittujen raja-arvojen yli. Vaikka voimme tehdä koulutettuja arvauksia tarvittavista funktioista, yritykset kuvata monikehon järjestelmän fysiikkaa voivat silti epäonnistua. Se, että edes tuhannet parametrit eivät tuota tunnettua maapallon energiaratkaisua, viittaa selvästi siihen, että kokeellinen aallonfunktio jää puutteelliseksi.

Onneksi QMC:ssä aallonfunktiota ei tarvita kvanttimekaanisen odotusarvon laskemiseksi, koska integraalit lähestytään aina summilla, kuten kaavassa 1/M E ≈ ∑EL(xi), jossa i = 1, 2, ..., M. Maapallon energian arvioimiseksi tarvitaan vain kävelijöitä {xi}, joiden tiedetään otaksuvan tarkasti maapallon tilan. Tässä luvussa käsitellään algoritmin kehittämistä ja toteuttamista, joka näyttelee kävelijöitä maapallon tilasta: diffuusiomonte Carlo (DMC).

Miksi diffuusio? Mitä diffuusiolla on tekemistä kvanttimekaanisen maapallon tilan kanssa? Yksi tapa tehdä yhteys uskottavaksi on ajatella maapallon tilaa sellaisena, jossa meillä on vähiten tietoa järjestelmästä, olettaen Hamiltonianin ja bosoni/fermi-symmetrian. Maapallon aallonfunktio antaa vähiten tietoa hiukkasten paikoista samoilla oletuksilla. Hiukkasten paikat puolestaan muistuttavat pilveä, ja tiedämme vähiten paikoista, jos levitämme pilven mahdollisimman ohueksi — aivan kuten diffuusiossa. Tämä on varsin epämääräistä, mutta seuraavassa osiossa johdetaan diffuusiotason yhtälöt Schrödingerin yhtälöstä.

Projektoituminen maapallon tilaan

Hamiltonianin aika-avaruuden eigenfunktiot ovat Φn(x, t), ja vaikka emme voi ratkaista niitä, voimme silti käyttää niitä. Käytetyt Hamiltonianit tässä kirjassa ovat aika-independentejä. Aikaevoluutiolle määritellään operaattori Uˆ (t, 0) := e^(-iHˆ t/ħ), ja eigenfunktiot saavat aika-avaruuden vaihekerroksen: Φ(x, t) = e^(-iEnt/ħ)Φn(x, 0). Näissä funktioissa kompleksiset vaihekerrokset oscilloivat taajuudella, joka riippuu eigenarvosta En.

Aallonfunktio Ψ(x, t) on näiden eigenfunktioiden superpositio: Ψ(x, t) = ∑cnΦn(x, t), jossa n on indeksi. Aikaevoluutio on unitaarista, mikä tarkoittaa sitä, että aallonfunktion normi ei muutu ajan kuluessa, joten järjestelmä ei itsestään siirry maapallon tilaan, ei vaikka kuinka kauan odottaisimme. Yleisesti, kun haluamme tuoda järjestelmän maapallon tilaan, jäähdytämme sen lähelle absoluuttista nollaa. Jäähdyttäminen poistaa energiaa järjestelmästä, joten lisäksi järjestelmän Hamiltonianille Hˆ tarvitaan toinen Hamiltonian ympäristölle ja niiden välinen vuorovaikutus energian siirtämiseksi.

Tässä haluamme kuitenkin pitää asiat yksinkertaisina ja vähentää lämpötilaa, eli poistaa virexcitetit Ψ(x, t):n superpositiosta manipuloimalla vain järjestelmää, ilman ympäristön viittaamista. Vaihtoehdot ovat hyvin rajalliset. Emme voi muuttaa Hˆ:ta — se muuttaisi maapallon tilaa, jota etsimme. Jäljelle jää vain aika t, ja voimme tehdä siitä imaginaarisen, jolloin t → -it/ħ. Tämä muunnos aiheuttaa sen, että eigenfunktioiden oskilloivat vaihekerrokset muuttuvat eksponentiaaliseksi hajoamiseksi tai vahvistumiseksi.

Imaginaariajan Schrödingerin yhtälö

Imaginaariajan Schrödingerin yhtälö kuvaa evoluutiota, joka vie järjestelmän sen maapallon tilaan, ja voimme odottaa, että tämä evoluutio on yhteydessä diffuusioon. Diffuusio ilmenee hiukkasvirrassa, joka liikkuu kohti matalamman tiheyden alueita, kuten Fickin lain mukaan: j(r, t) = -D∇n(r, t), jossa n(r, t) on hiukkastiheys ja D diffuusiokvantiteetti. Tiheys n(r, t) noudattaa jatkuvuusyhtälöä ∂n(r, t)/∂t + ∇⋅j(r, t) = lähteet.

Stokastinen esitys aallonfunktiosta

Kvanttimekaniikassa käytettävät stochastiset menetelmät, kuten diffuusiomonte Carlo, tarjoavat välineen, jolla voidaan projisoida järjestelmä maapallon tilaan ilman, että tarvitaan täydellistä tietoa systeemistä. Tämä menetelmä perustuu satunnaisiin tilanäytteisiin, jotka seuraavat diffuusioprosessia kohti matalimman energian tilaa, missä hiukkasten tiheys on alhaisin ja järjestelmä on lähestymässä maapallon energiatilaa.

Tämä lähestymistapa on käytännöllinen erityisesti silloin, kun käsitellään monimutkaisempia monikehon järjestelmiä, joissa tavanomaiset analyyttiset tai numeeriset menetelmät eivät ole riittäviä. Stokastinen aaltofunktion esitys mahdollistaa tarkan kvanttimekaanisen kuvauksen ilman, että joudutaan käsittelemään liian monimutkaisia analyysejä kunkin hiukkasen vuorovaikutuksesta.

Mikä on superfluidisuuden rooli ja sen mittaaminen kokeellisesti?

Superfluidisuus on ilmiö, jossa neste tai kaasu virtaa ilman viskositeettia eli ilman kitkaa. Tämä ilmiö on tiiviisti yhteydessä kvanttimekaniikkaan, ja sen ymmärtäminen vaatii laaja-alaista lähestymistapaa sekä teoreettisesti että kokeellisesti. Superfluidisuuden kuvaaminen ja mittaaminen on monivaiheinen prosessi, joka on kehittynyt vuosikymmenten tutkimustyön myötä. Yksi keskeisimmistä teorioista superfluidisuudelle on Landau'n kehittämä malli, joka erottelee nesteen massan normaaliksi nesteeksi (rn) ja superfluidiksi (rs). Yhteensä nämä määrät antavat kokonaismassan r, ja tämä malli tunnetaan kahden nesteen mallina.

Landau'n mukaan superfluidisuutta esiintyy, kun kvasi-hiukkasten luominen on rajoitettua ja sen määrä jää tietyn kynnyksen alle. Tämä tarkoittaa, että järjestelmässä on enemmän massaa kuin kvasi-hiukkasten mukana liikkuvaa massaa, ja siten osa nesteestä on immuuni häiriöille. Näin ollen superfluidisuus ilmenee tietyissä olosuhteissa, erityisesti, kun lämpötila on nolla kelviniä (T = 0), jolloin kaikki neste on superfluidia.

Superfluidisuuden käsittelemiseksi kvanttimekaniikassa, yksinkertaisesti ajattelemalla, voisi olettaa, että spektrissä on energiaero (Δ) kvasi-hiukkasten luomiseksi, mutta Landau osoitti, että todellinen kriteeri on se, että kvasi-hiukkasten spektri ∈(p) täyttää ehdon:

missä p on kvasi-hiukkasen momentti ja v on nesteen nopeus. Koska kvasi-hiukkasen momentti p toimii vastakkaiseen suuntaan nesteen nopeuden v kanssa, voi olla olemassa ei-nolla kriittinen nopeus, joka tunnetaan Landau'n kriittisenä nopeutena.

Tämä lähestymistapa on kuitenkin vain semimikroskooppinen, ja haluamme kaavan, joka antaa superfluidin tiheyden mikroskooppisessa teoriassa ja PIMC:ssä (Path Integral Monte Carlo). Feynman esitteli 1950-luvulla ajattelutavan, joka selittää superfluidisuuden kvanttimekaniikan polkukenttämuodossa. Tämä pohdinta oli vakuuttavaa mutta laadullista, ja siitä jäi tunne, että jotain jäi puuttumaan.

Vuonna 1987 Pollockin ja Ceperleyn julkaisemassa työssä vuosikymmenien tutkimus saatiin tiivistettyä. Aluksi ei ollut selkeää käsitystä siitä, mitä etsitään, mutta PIMC-simulaatioiden avulla alkoi hahmottua, että superfluidisuus liittyy niin sanottuihin kierteisiin polkuihin. Tämä yhteys oli aiemmin jäänyt huomaamatta. Vastaavasti heidän tutkimuksensa PIMC-simulaatioiden avulla toi esiin He4:n superfluidisiirtymän yksityiskohdat, ja tämä saatiin kokeellisesti toteen.

Yksi tunnetuimmista kokeista superfluidisuuden mittaamiseksi on Andronikashvilin kokeilu vuodelta 1947, jossa hän tutki He4-nesteen liikettä, joka kiertää levylaattojen välissä. Tämä kokeellinen asettelu paljastaa sen, että normaalin nesteen liike on kitkasta johtuvaa, kun taas superfluidi neste liikkuu ilman kitkaa. Kun neste on alle kriittisen lämpötilan (T < 2,17 K), osa nesteestä jatkaa pyörimistä ilman kitkaa, ja tämä osa on superfluidi.

Tämän lisäksi superfluidisuuden havainnointi ja mittaaminen voidaan suorittaa vertaamalla nesteen inertian poikkeamia tavanomaisesta, eli mittaamalla niin sanottua ei-luonnollista pyörimisjännitettä (NCRI). Tämä poikkeama inertian tavanomaisesta käyttäytymisestä on erinomainen menetelmä superfluidisuuden havaitsemiseksi, ja se on erityisen tärkeä pieniä järjestelmiä tutkittaessa. Tällöin voidaan tarkastella, kuinka pieni määrä He4-atomeja saattaa osoittaa superfluidisuutta jopa pienissä pisaroissa.

Supersolideihin, eli aineen tilaan, jossa esiintyy sekä kiinteän aineen että superfluidisuuden piirteitä, on viime aikoina kiinnitetty huomiota. Supersolidi on mielenkiintoinen käsite, jossa aine käyttäytyy kiinteän aineen tavoin, mutta sen viskositeetti on nolla. Supersolidit on havaittu esimerkiksi optisissa häkissä loukutetuissa ultra-kylmissä atomeissa, ja ne ovat herättäneet paljon keskustelua erityisesti kvanttifysiikan piirissä.

On kuitenkin tärkeää huomata, että superfluidisuus ei ole rajoittunut pelkästään pieniin tiloihin tai spesifisiin kokeellisiin järjestelmiin. Se on laajempi ilmiö, jonka ymmärtäminen vaatii tarkkaa erottelua normaalin nesteen ja superfluidin välillä sekä monimutkaisempien mallien käyttöä kvanttimekaniikassa. Lisäksi superfluidisuuden havaitsemisessa on tärkeää muistaa, että teoriat voivat muuttua ja kehittyä kokeellisen tiedon myötä, kuten on käynyt useaan otteeseen superfluidisuuden tutkimuksessa.